广东省中山市第一中学2018届高三第二次统测理数试题（含答案）.doc

www.ks5u.com 广东省中山市第一中学2018届高三第二次统测 数学（理）试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎2.若复数在复平面内对应的点在轴上，则（ ）‎ A．1 B．‎3 C. 2 D．4‎ ‎3设，则（ ）‎ A． B． C. D． ‎ ‎4.已知均为单位向量，它们的夹角为，那么（ ）‎ A． B． C. 4 D．13‎ ‎5.已知角的终边过点，则的值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎6.已知等差数列中，.若，则数列的前5项和等于（ ）‎ A．30 B．‎45 C. 90 D．186‎ ‎7.下列选项中，说法正确的是（ ）‎ A若，则 ‎ B.向量垂直的充要条件是 C命题“”的否定是“”‎ D.已知函数在区间上的图象是连续不断的，则命题“若，则在区间内至少有一个零点”的逆命题为假命题 ‎8.函数满足对任意都有成立， 且函数的图象关于点对称，，则（ ）‎ A．12 B． ‎8 C. 4 D．0‎ ‎9.设函数在处取得极值，则的值为（ ）‎ A．1 B． C. D．2‎ ‎10.如图可能是下列哪个函数的图象（ ）‎ A． B． C. D． ‎ ‎11.将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若 在上为增函数，则的最大值为（ ）‎ A．3 B．‎2 C. D． ‎ ‎12.已知函数（为自然对数的底数）与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知函数（且）恒过定点，则 ．‎ ‎14．已知函数的图象上的一个最高点和它相邻的一个最低点的距离为，且过点，则函数 ．‎ ‎15.已知与的夹角为,，，且，则的值为 ．‎ ‎16.已知数列中，，，记.若，则 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知，且.‎ ‎（1）求的值.‎ ‎（2）求.‎ ‎18. 已知的内角的对边分别为，且.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，且成等差数列，求的面积.‎ ‎19.已知正数数列的前项和满足.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）设，求证：.‎ ‎20.张老师开车上班，有路线①与路线②两条路线可供选择. 路线①：沿途有两处独立运行的交通信号灯，且两处遇到绿灯的概率依次为，若处遇红灯或黄灯，则导致延误时间2分钟；若处遇红灯或黄灯，则导致延误时间3分钟；若两处都遇绿灯，则全程所花时间为20分钟.‎ 路线②：沿途有两处独立运行的交通信号灯，且两处遇到绿灯的概率依次为，若处遇红灯或黄灯，则导致延误时间8分钟；若处遇红灯或黄灯，则导致延误时间5分钟；若两处都遇绿灯，则全程所花时间为15分钟.‎ ‎（1）若张老师选择路线①，求他20分钟能到校的概率；‎ ‎（2）为使张老师日常上班途中所花时间较少，你建议张老师选择哪条路线？并说明理由.‎ ‎21. 已知函数.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）设，证明：当时，；‎ ‎（3）设是的两个零点，证明：.‎ ‎22. 已知在平面直角坐标系中，直线的参数方程是 （是参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）判断直线与曲线的位置关系；‎ ‎（2）设为曲线上任意一点，求的取值范围.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: DCBAB 6-10: CDCDC 11、12：CA 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16. 1343‎ 三、解答题 ‎17.（1）由得 ‎.‎ ‎∴.‎ 于是.‎ ‎（2）由得.‎ 又∵，∴.‎ 由，得：‎ ‎ ‎ 所以.‎ ‎18.（1）由，可得.‎ 所以，即.‎ ‎（2）因为，，所以 ‎，又成等差数列，‎ 由正弦定理，得，所以 ，所以.‎ 由，得，所以的面积.‎ ‎19.（1）当，，又所以；‎ 当时，，所以 ‎ 因此是以为首项，2为公比的等比数列.‎ 故.‎ ‎（2）令，‎ 则，‎ 两式相减得，‎ 所以.‎ ‎20. （1）走路线①，20分钟能到校意味着张老师在两处均遇到绿灯，记该事件为，则.‎ ‎（2）设选择路线①的延误时间为随机变量,则的所有可能取值 为 0， 2， 3， 5.‎ 则， ‎ ‎.‎ 的数学期望.‎ 设选择路线②的延误时间为随机变量，则的可能取值为0， 8， 5， 13.‎ 则， ‎ ‎.‎ 的数学期望.‎ 因此选择路线①平均所花时间为分钟，选择路线②平均所花时间为分钟，‎ 所以为使张老师日常上班途中所花时间较少，建议张老师选择路线②. ‎ ‎21. （1）的定义域为.‎ 由已知，得，‎ 若，则，此时在上单调递增.‎ 若，则由，得.‎ 当时，；当时，.‎ 此时在上单调递减，在上单调递增. ‎ ‎（2）令，则 所以.‎ 当时，，所以在上是减函数.‎ 而，所以.故当时，.‎ ‎（3）由（1）可知，当时，函数至多有一个零点， 故，从而的最小值为，且.不妨设，则，所以.‎ 由（2），得.‎ 从而，于是.‎ 由（1）知，.‎ ‎22．（1）直线的普通方程为.‎ 曲线的直角坐标方程为.‎ 圆心到直线的距离，‎ 所以直线与曲线的位置关系是相离.‎ ‎（2）设，（为与轴正半轴所成的角）‎ 则.因为 所以. ‎