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眉山一中2019届第六学期2月月考试题（理科数学）
第I卷 （选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合,,则（ ）
2.在复平面内，复数满足，则的共轭复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3.下图是某地区2015年~2018年空气质量监测数据中指标为优与良占全年优良指标的比例，下列说法正确的是（ ）
2018年空气质量比2015年好
从2015年到2018年，空气质量一直在好转
2018年空气质量指标中为优的天数最多
2018年空气质量指标中指标为优的在全年优良中比例最大
4．已知随机变量，若，则（ ）
5.执行如图所示的程序框图，若，，，则输出的结果是（ ）
和
6.已知，则展开式中的系数为（ ）
24 32 44 56
7.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）
8. 已知是内一点，，现向内投掷飞镖，则飞镖落在内的概率是（ ）
9.函数（）的部分图象如图所示，其中，，则下列说法错误的是（ ）
函数的一个周期为
函数的图象关于中心对称
将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于轴对称
10．将数字“124467”重新排列后得到不同的偶数个数为（ ）
72 120 192 240
11.已知双曲线（）的两个焦点分别为，过的直线与以实半轴长为半径，原点为圆心的圆相切，与双曲线在第一象限交于点，若，则双曲线的离心率为（ ）
2
12.已知函数（），方程对于任意都有9个不等实根，则实数的取值范围为（ ）
第II卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.设满足约束条件，则的最大值为
14．面积为的等边三角形ABC中，D是AB边上靠近B的三等分点，则___ __．
15.某省普通高校招生考试方案规定：每位考生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科中随机选3门参加选考科目的考试，假设每位考生选考任何3门科目的可能性相同，那么从该省的所有考生中，随机选取4人，他们的选考科目中都含有物理的概率为
16.若函数的图象存在经过原点的对称轴，则称为“旋转对称函数”，下列函数中是“旋转对称函数”的有 （填写所有正确结论的序号）
① ② ③
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. （本小题满分12分）若数列的前项和满足
（1）求证：数列是等比数列；
（2）设，求数列的前项和
18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，．
（1）证明：平面平面；
（2）若，为棱的中点，，，求二面角的余弦值．
19. （本小题满分12分）球员的比赛得分是反映球员能力和水平的重要数据之一，在
2017—2018赛季常规赛中，球员和在某15场常规赛中的每场比赛得分如图所示
（1）试以此样本估计球员在本赛季的场均得分以及球员在本赛季参加的75场常规赛中，得分超过32分的场数
（2）效率值是更能反映球员能力和水平的一项指标，现统计了球员在上述15场比赛中部分场次的得分与效率值，如表所示：
若球员每场比赛的效率值与得分具有线性相关关系，试用最小二乘法求出关于的回归直线方程
（结果精确到），并由此估计在上述15场比赛中，效率值超过31的场数
参考公式：，
参考数据：，
20. （本小题满分12分）已知椭圆（）的离心率为，上顶点到直线的距离为3
（1）求椭圆的方程
（2）设直线过点且与椭圆相交于两点，不经过点，证明：直线的斜率与直线的斜率之和为定值
21.（本小题满分12分）已知函数
（1）当时，求的最小值
（2）若在区间上有两个极值点
①求实数的取值范围
②求证：
请考生在第22,23题两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分
22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
将圆上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的得到曲线
（1）写出曲线的参数方程
（2）以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的参数方程为（为参数，），若直线与曲线交于两点，求的最小值
23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数
（1）解不等式
（2）若不等式有解，求实数的取值范围
眉山一中2019届第六学期2月月考试题（理科数学）
参考答案
ＢＤＤＡＢ ＡＣＡＤＤ ＣＤ
12题 解析：，若，则，单调递增，方程不可能有9个不等实根，因此，令，得；当时，，所以，又是奇函数，且过定点和，可知的大致图象如图所示：只需极小值点处的函数值小于，此时任取，
令，方程的三个根，，都在区间中，而方程，，，一共有9个不等实根，满足题意，由上述分析有，即解得
13. 5 14． ____． 15. 16. ① ②
16题 解析： ①根据函数与函数的图象关于直线对称，知函数 的图象关于直线对称，满足题意
②，其中，则，因此是偶函数，轴是其对称轴，满足题意
③当时，，，当时，，因此和为该函数的两条渐近线，若其具有对称轴，则对称轴必为这两条渐近线所成钝角的角平分线所在直线，即，取函数图象上的一点，该点关于的对称点为，将该点代入原函数中并不成立。因此该函数没有经过原点的对称轴
17. 解析：（1）证明：当时，，解得…………………………1分
当时，由题意知……………………2分
，即………………3分
所以，即………………………4分
所以数列是首项为，公比为2的等比数列…………………………6分
（2）解：由（1）知，所以……………………8分
所以，…………………………10分
所以………………12分
18．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴CD⊥BC.
∵平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD=BC，CD平面ABCD，
∴CD⊥平面PBC， ∴CD⊥PB.
∵PB⊥PD，CD∩PD=D，CD、PD平面PCD，∴PB⊥平面PCD.
∵PB平面PAB，∴平面PAB⊥平面PCD.
（2）设BC中点为,连接，
，又面 面，且面 面 ，所以面.
以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.由（1）知PB⊥平面PCD，故PB⊥，设，
可得
所以由题得，解得.
所以
设是平面的法向量，则，即，可取.
设是平面的法向量，则，即，可取
.
则， 所以二面角的余弦值为.
19. 解：（1）由样本数据可得球员在15场比赛中的场均得分为 分
故球员在本赛季的场均得分均为29分
由样本数据可得球员在15场比赛中，得分超过32分的有6场，故球员在本赛季参加的75场常规赛中，得分超过32分的场数约为
（2）由已知数据可得，
因为，，所以
于是，故回归直线方程为
由于与正相关，且当时，
当时，，所以估计在15场比赛中，当球员的得分为33,36,37,38,39,41时，效率值超过31，共6场
20. 解：（1）由题意得，解得…………………………3分
所以椭圆的方程为………………………………4分
（2）证明：易知直线斜率恒小于0，设直线的方程：（且），
，，联立得……6分
则，………………………………8分
因为………………………………10分
所以为定值
21. 解析：（1）当时，，，
令，得…………2分
的单调性如下表：
—
0
+
单调递减
单调递增
………………………………………………………………………………………………………………3分
易知………………………………………………………………………………………4分
（2）①，令，则
令得，……………………………………………………………………………………5分
的单调性如下表：
—
0
+
单调递减
单调递增
……………………………………………………………………………………………………………6分
在区间上有两个极值点，即在区间上有两个零点
结合的图象可知，且，即且……………………7分
所以，即的取值范围是……………………………………………………8分
②由①知，所以…………9分
又，，，结合的图象可知，………………10分
令，则，当时，，，
所以在上单调递增，而，………………………………11分
因此
22. 解：（1）由题意得，则，即，
故曲线的参数方程为 （为参数）……………………4分
（2）将直线的参数方程代入，得
所以，，所以
因为，所以，所以的最小值为1……………………10分
23. 解：（1）不等式可化为不等式组：①或②
或③ ……………………2分
解①得， 解②得， 解③得………………4分
所以，故不等式的解集为……………………5分
（2）由可得整理得
…………………………7分
令，则 ，因此当时 ，取得最小值
…………………………9分
故不等式有解，实数的取值范围为……………………10分
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