市质检数学（文科）试题 第 1 页（共 9 页）
保密★启用前
泉州市 2019 届普通高中毕业班第一次质量检查
文 科 数 学
2019.2
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的．
1．已知集合 0,1,2A ， = | 2 1,B x x n n A ，则 AB中元素的个数为
A．1 B．3 C． 4 D．5
【命题意图】
本小题主要考查集合的表示法、运算等基础知识，考查运算求解能力，体现基础性，导向对数学运算
素养的关注．预测难度 0.95，实测难度.
【试题简析】
由已知可得 = 1,1,3B ，所以 1,0,1,2,3AB 共有 5 个元素，故选 D．
【错选原因】
错选 A：集合的并集、交集概念不清，求成 AB；
错选 B：概念不清；
错选 C：概念不清．
2．记等差数列{}na 的前 n 项和为 nS ．若 4 24S ， 1310aa ，则 7a
A．15
2 B． 25
3 C．15 D． 18
【命题意图】
本小题主要考查等差数列的通项公式、前 n 项和公式及性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化
归与转化思想、函数与方程思想等，体现基础性，导向对发展数学运算、数学建模等核心素养的关注．预
测难度 0.9，实测难度.
【试题简析】
解法一：由已知可得 41
1 3 1
4 6 24,
2 2 10,
S a d
a a a d
解得 1 3,
2,
a
d
所以 716 15a a d ，故选 C．
解法二：由已知可得 4 1 3 2 4 14S a a a a ，所以 2 4 1 3 24a a a a d ，即 2d ，
又 1 3 22 10a a a ，即 2 5a ，所以 725 15a a d ，故选 C．
解法三：由已知可得 4 1 3 2 4 32 14S a a a a a ，所以 3 7a ；又由 ，和
；由 ， ，得 .所以 ，故选 C． 市质检数学（文科）试题 第 2 页（共 9 页）
【错选原因】
错选 A：等差数列的前 n 项和公式 nS 记忆错误；
错选 B：等差数列的前 项和公式 记忆错误；
错选 D：等差数列的性质运用错误．
3．“微信”和“QQ”是腾讯社交体系中的两款产品，小明为了
解不同群体对这两款产品的首选情况，统计了周围老师和同
学关于首选“微信”或“QQ”的比例，得到如下等高条形
图．根据等高条形图中的信息，可判断下列说法正确的是
A．对老师而言，更倾向于首选“微信”
B．对学生而言，更倾向于首选“QQ”
C．首选“微信”的老师比首选“微信”的同学多
D．如果首选“微信”的老师比首选“微信”的同学多，则小明统计的老师人数一定比学生多
【命题意图】
本小题以等高条形图为常见统计图表的抽测案例，考查对统计图表的识图能力（即阅读理解能力）、
信息提取能力，考查抽象概括能力，考查统计思想、数形结合思想，体现基础性与应用性，导向对数据分
析素养、直观想象素养的关注．预测难度 0.8，实测难度.
【试题简析】
思路 1（直接法）：由图形直观判断，老师群体中首选“微信”的比例，明显高于首选“QQ”的比例，
故选 A.
思路 2（排除法）：由图形直观判断，学生群体中首选“QQ”的比例（约 40%），低于首选“QQ”的
比例（约 60%），排除 B；由于图表中没有老师群体和学生群体的统计人数，所以无法比较首选“微信”的
老师和学生的人数，排除 C；若参与统计的老师和学生的人数相等，从图表中也可直观判断首选“微信”
的老师比首选“微信”的同学多，故 D 的结论条件不充分，排除 D.
【错选原因】
错选 B：把学生群体内部的比较，理解成不同群体（老师群体与学生群体）之间的比较；
错选 C：该条形图统计的是比例，有可能小明统计的同学人数比老师多；
错选 D：即使统计的老师人数和学生人数一样多，首选“微信”的老师也会比首选“微信”的同学多．
4．若向量 13( , )22AB ， ( 1,0)BC ，则 BAC
A．30 B．60 C．120 D．150
【命题意图】
0.3
首选“微信”
首选“QQ”
老师学生
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.2
0.1
0市质检数学（文科）试题 第 3 页（共 9 页）
本小题主要考查向量的坐标运算、数量积运算及夹角公式等基础知识，或向量及坐标的几何意义，考
查推理论证能力、运算求解能力等，考查数形结合思想、化归与转化思想，体现基础性与综合性，导向对
发展直观想象、数学运算等核心素养的关注．预测难度 0.8，实测难度.
【试题简析】
方法一：因为 1 3 1 3( , )+( 1,0) ( , )2 2 2 2AC AB BC ，
所以
2222
1 1 3 3
12 2 2 2cos 21 3 1 3
2 2 2 2
AB ACBAC
AB AC
，
得 60BAC ，故选 B．
方法二：直接画图，构造三角形 ABC ，即可直观判断 ．
【错选原因】
错选 A：三角函数值记忆错误；
错选 C：向量夹角公式记忆错误；
错选 D：向量夹角公式与三角函数值记忆错误．
5．已知双曲线
2
2
2:1xCya （ 0a ）的渐近线方程为 1
2yx ，则C 的焦距为
A． 2 B． 23 C． 25 D．6
【命题意图】
本小题主要考查双曲线的方程、双曲线基本量间关系、焦距等基础知识；考查运算求解、推理论证
能力；考查转化与化归思想、数形结合思想、函数与方程思想；体现基础性与综合性，导向对数学运算、
逻辑推理素养的关注．预测难度 0.75，实测难度.
【试题简析】
方法一：因为双曲线C 的焦点在 x 轴，则C 的渐近线方程为 byxa ，依题意得 11
2a ，故 2a ，
2 2 2 5c a b ，焦距 2 2 5c ，故选 C．
方法二：在刻画双曲线性质的特征图形中，利用平几知
识易直接求出长方形对角线的长，即焦距 ，故选 C．
【错选原因】
错选 A：基本量关系误算成 1c a b ；
k=tanα=
1
2
α
c b=1
a市质检数学（文科）试题 第 4 页（共 9 页）
错选 B：基本量关系算成 2 2 2 3c a b ；
错选 D：基本量关系误算成 ，并将焦距错算成 22c ．
6．若 ,xy满足约束条件
2 0,
3 5 0,
2 4 0,
xy
xy
xy
则 2z x y 的最小值为
A． 3 B． 3
2 C．0 D． 2
【命题意图】
本小题主要考查直线的方程、线性规划等基础知识，考查抽象概括能力、推理论证能力和运算求解
能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想，体现基础性、综合性和应用性，导向对发
展直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养的关注．预测难度 0.75，实测难度.
【试题简析】
该可行域是一个以 11 7(2,0), ( , ), (1,2)22A B C 为顶点的三角形区域(包括边界)．当动直线
22
xzy
过点 (1,2)C 时，截距
2
z 取得最大值， z 取得最小值，此时 1 2 2 3z ，故选 A．
【错选原因】
错选 B：误当成动直线 过点 11 7( , )22B 时， z 取最小值；
错选 C：代入坐标时误把横坐标与纵坐标搞混了；
错选 D：误把求最小值求成最大值．
7．执行如图所示的程序框图，若输出 1
3S ，则判断框内可以填入
A． 6i B． 7i C． 8i D． 9i
开始
结束
输出
=2 1，Si
1ii
1
1
SS S
S
是
否
【命题意图】 市质检数学（文科）试题 第 5 页（共 9 页）
本小题主要考查程序框图、循环结构、周期性概念等基础知识，考查推理论证能力和运算求解能力，
考查数形结合思想、分类与整合思想等，体现基础性和综合性，导向对发展逻辑推理、数学运算、数学建
模等核心素养的关注．预测难度 0.7，实测难度.
【试题简析】
解法一：执行该程序框图： 1 1 13, 2; , 3; , 4 , 82 3 3 S i S i S i S i ，故选 C．
解法二：执行该程序框图： 113, 2; , 3; , 4; 2, 523 S i S i S i S i ， S 的取值将出现周
期性的循环，每 4 个取值循环一次，参考 1 ,43Si，可选 C．
【错选原因】错选 A：计算出错；
错选 B：少循环一次；
错选 D：多循环一次．
8．已知正三棱锥 A BCD 的所有顶点都在球O 的球面上， 3BC ．若球心 在三棱锥的高 AQ 的三等分点
处，则球 的半径为
A． 36
4
B. 2 C. 3 D. 4
【命题意图】
本小题主要考查三棱锥与球、外接球的有关概念，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能
力等，考查转化与化归思想、数形结合思想等，体现综合性、应用性和创
新性，导向对发展直观想象、数学抽象、逻辑推理、数学运算及数学建模
等核心素养的关注．预测难度 0.65，实测难度.
【试题简析】
设球O 的半径为 R ，则 OA OB R， 1
2OQ R . 为正三棱锥
的高，则 3 33BQ BC，且 AQ BQ ，
所以在直角 BOQ 中， 2213 4RR ，解得 2R ，故选 B.
【错选原因】
错选 A：将正三棱锥 当成正四面体；错选 C：计算过程出错；错选 D：计算过程出错．
9．若直线 1y kx为函数 ( ) lnf x x a的图象的一条切线，则 ka 的最小值为
A. 2 B. 1 C.1 D. 2
【命题意图】
Q
O D
CB
A市质检数学（文科）试题 第 6 页（共 9 页）
本小题主要考查函数导数的应用、导数几何意义、函数图象的切线、直线方程等基础知识，考查抽
象概括能力、推理论证能力、运算求解能力等，综合考查函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归思
想、分类与整合思想、特殊与一般思想、有限与无限思想，全面体现“四翼”考查要求，导向对发展逻辑
推理、数学抽象、数学运算、直观想象、数学建模等核心素养的关注．预测难度 0.6，实测难度.
【试题简析】
方法一：由题意设切点为 ,ln ( 0)t t a t，则曲线在 ,lnt t a 处的切线为 1 lny x t t at ，
整理得 1 ln 1y x t at ，故
1,
1 1 ln ,
k t
ta
解得
1,
ln ,
k t
at
所以有 1 lnk a tt .设
1( ) ln , 0g t t tt ，则 22
1 1 1() tgt t t t
，所以 ()gt 在 0,1 递减，在 1, 递增，故
min ( ) (1) 1g t g，故选 C.
方法二：仿法一得 消去t ，得 1()ak e .考察关于 a 的函数 图象和斜率恒为 1 的动直
线 ka ，可知，当直线 与 图象相切时， ka 取得最小值（此时切点为
01 1 （ ，）， ），故选 C.
【错选原因】
错选 A：计算错误；错选 B：计算错误；错选 D：计算错误．
10．已知各项均为正数的数列 na 的前 n 项和为 nS ．若 1 2a ， 1
1
21nn
nn
Sa
aS
，则 10S
A．1022 B．1024 C． 2046 D． 2048
【命题意图】
本小题主要考查数列的递推关系、等比数列的定义、通项公式和数列求和等基础知识，考查抽象概
括、运算求解、推理论证能力，考查函数与方程思想、转化与化归思想、特殊与一般思想等，体现基础性、
综合性和创新性，导向对发展数学抽象、逻辑推理、数学运算、数学建模等核心素养的关注．预测难度 0.55，
实测难度.
【试题简析】
解法一 （消 na 思 路 ）：由 1
1
21nn
nn
Sa
aS
可得 1120n n n nS a S a ， 又 0na ， 所以
1 0nnSa ，所以 1 0n n nS S S ， 1 2nnSS，所以数列 nS 是首项为 2 ，公比为 的等比数列，市质检数学（文科）试题 第 7 页（共 9 页）
所以 9
10 2 2 1024S ，故选 B．
解 法 二 （消 nS 思 路 ）：由 1
1
21nn
nn
Sa
aS
可得 1120n n n nS a S a ， 又 0na ， 所以
1 0nnSa ， 1 02nnS a n ，所以 11 0n n n nS a S a ，即 1 22nna a n ，所以
1
2, 1,
2 , 2,n n
na
n
所以 29
10 2 2 2 2 1024S ，故选 B．
解法三（消 na 思路）：由 可得 22
112n n n nS a S a ，所以
22
112n n n n n nS S S S S S ，所以 112 2 0n n n nS S S S ，又 ，所以 1nnSS，
120nnSS ，所以 1 20nnSS，即 1 2nnSS，所以数列 nS 是首项为 2 ，公比为 的等比数列，
所以 10S 92 2 1024 ，故选 B.
解法四：令
1
n
n
St a
，得 22 1, 2 0t t tt
，解得 1t ，即 .下同前述解法.
【错选原因】
错选 A：计算错误；错选 C：错将数列 na 算成首项为 ，公比为 的等比数列；错选 D：多算一项．
11．田忌赛马是中国古代对策论与运筹思想的著名范例．故事中齐将田忌与齐王赛马，孙膑献策：以下马
对齐王上马，以上马对齐王中马，以中马对齐王下马，结果田忌一负两胜从而获胜.该故事中以局部的
牺牲换取全局的胜利成为军事上一条重要的用兵规律.在比大小游戏中（大者为胜），已知我方的三个数
为 cosa ， sin cosb ， cos sinc ，对方的三个数以及排序如下表：
第一局 第二局 第三局
对方 2 tan sin
当 π0 4时，则我方必胜的排序是
A． ,,abc B． , , ,b c a C． ,,c a b D． ,,c b a
【命题意图】
本小题主要考查三角函数的性质、同角三角函数关系、和差角公式等知识，考查推理论证能力与运
算求解能力，考查转化与化归思想、函数与方程思想，结合并展现传统文化中的数学思想与数学方法的光
芒，体现综合性、应用性和创新性，导向对发展数学抽象、逻辑推理、数学运算及数学建模等核心素养的
关注．预测难度 0.5，实测难度. 市质检数学（文科）试题 第 8 页（共 9 页）
【试题简析】
当 π0, 4
时，对方三个数的大小顺序是 2 tan sin，我方三个数的大小顺序是
2 bac ， sin cos 2 sin 1, 24b
，对方的最大数 2 大的最大数b ，故我方
已无取得三胜的可能性，只能争取一负二胜.
当 时，因为 1 tanb ， 2cos sin2a ，所以根据“田忌赛马”的策略，我方
对阵排序应为 ,,c b a ，故选 D．
【错选原因】
错选 A：误认为cos sin sin ；错选 B：误认为 tan 是对方三个数中最大的，或者误认为
sin cos 2；错选 C：误认为 ．
12．在直角坐标系 xOy 中，点 F 是抛物线 pyxC 2: 2 （ 0p ）的焦点，过C 上的点 A 作准线l 的垂
线交 于 B ，过 A 作 FB 的垂线交 于 D ，若 pOD ，则直线 AF 的斜率为
A. 1
2 B. 3
4 C. 1 D. 4
3
【命题意图】
本小题主要考查抛物线的定义与几何性质、直线斜率等基础知识，考查运算求解、推理论证能力，
考查数形结合、转化与化归、分类与整合思想，体现综合性与应用性，导向对数学运算、直观想象、逻辑
推理等核心素养的关注．预测难度 0.45，实测难度.
【试题简析】
抛物线定义可知， ABAF ，又 BFAD ，故 D 为 BF 的中点，又由抛物线焦点与准线的特征，
可知 D 落在 x 轴上，故 B 点横坐标为 2p ，从而 A 点横坐标也为 ．
①当 )2,2( ppA ， )2,0( pF ，可知直线 的斜率为
4
3 ；
②当 ( 2 ,2 )A p p ， ，可知直线 的斜率为 3
4 ，故选 B． 市质检数学（文科）试题 第 9 页（共 9 页）
【错选原因】
错选 A：将抛物线的焦点 F 坐标算成(0, )p ；错选 C：误认为计算OA的斜率；错选 D：将抛物线的
焦点 坐标算成( ,0)2
p ，或者错用斜率公式．
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