2018届“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”
高三10月联考
数学（理）试题
命题学校：襄阳四中 命题人：马海俊 审题人：韩正洪、高江涛
本试卷共2页，全卷满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.
3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.
4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．已知集合，，则( )
（A） （B） （C） （D）
2．将函数的图象向左平移个单位，所得的图象对应的函数解析式是( )
（A） （B） （C） （D）
3．已知函数，则不等式的解集是( )
（A） （B） （C） （D）
4．如图，直线和圆，当从开始在平面上绕点按逆时针方向匀速转动（转动角度不超过）时，它扫过的圆内阴影部分的面积是时间的函数.这个函数图像大致是( )
5．下列说法正确的是( )
①命题“”的否定是“”；
②对任意的恒成立；
③是其定义域上的可导函数，“”是“在处有极值”的充要条件；
④圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分.
（A）① ② （B）② ③ （C）① ④ （D）② ④
6．已知函数.当时，其瞬时变化率为，则( )
（A） （B） （C） （D）
7．函数在内的值域为，则的取值范围是( )
（A） （B） （C） （D）
8．已知点A（4，1），将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB，设点C（4，0），COB=，则tan等于( )
（A） （B） （C） （D）
9．若函数在区间单调递增，则的取值范围是( )
（A） （B） （C） （D）
10．已知函数，若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是( )
（A） （B） （C） （D）
11．在△中，为的中点，满足，则△的形状一定是( )
（A）直角三角形 （B）等腰三角形 （C）等边三角形 （D）等腰三角形或直角三角形
12．已知定义在上的函数满足：函数的图象关于直线
对称，且当时（是函数的导函数）成立.若, ，，则的大小关系是( )
（A） （B） （C） （D）
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13．计算______________.
14．已知函数，当时，有最大值，则=__________．
15．是定义在上的奇函数，且对任意实数，恒有成立.当时.则____________.
16．已知函数，其中为自然对数的底数.若不等式对恒成立，则的最小值等于____________.
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（本小题满分10分）
在中，角的对边分别为．（I）求； （II）若，且，求的周长．
18．（本小题满分12分）
已知首项为的等比数列的前n项和为，（），且成等差数列，
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）求的最值.
19．（本小题满分12分）
如图，四边形为等腰梯形， ，将沿折起，使得平面平面，为的中点，连接（如图2）.
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）求直线与平面所成的角的正弦值.
20．（本小题满分12分）
省环保研究所对某市市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性
污染指数与时刻(时)的关系为，，其中是与气象有关的参数，且，若用每天的最大值为当天的综合放射性污染指数，并记作．
（Ⅰ）令，．求的取值范围；
（Ⅱ）求；
（Ⅲ）省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问目前该市市中心的综合放射性污染指数是否超标．
21．（本小题满分12分）
已知椭圆中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,且经过、、三点.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）在直线上任取一点，连接，，分别与椭圆交于、两点，判断直线是否过定点？若是，求出该定点.若不是，请说明理由.
22．（本小题满分12分）
已知函数，在处的切线方程为.
（Ⅰ）求的值
（Ⅱ）当且时，求证：.
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数学（理）参考答案
BCCDC CBBBA DC
13． 14． 15． 1 16．
17． 解：（I）,，……………………………………………………1分
又，解得．………………………………………………3分
，是锐角．……………………………………………………4分
（II）．又 ． ． ． ．…………………………………………………9分
的周长为： ………………………………………………………………10分
18．解：（I）当时，，，，
，故…………………………………………………………………2分
由及，得，或（舍）. …4分
……………………………………………………………6分
（II）由（I）知.
当为奇数时，，关于单调递减，此时最大值为，且有.……8分
当为偶数时，，关于单调递增，此时最小值为，且有.…10分
综上，最大值为，最小值为. ………………………………………………12分
19．解：（I）证明：在图中，作于，则，又 ， ……………………………………………………………2分
平面平面，且平面平面，平面，……………4分
又平面，.………………………………………………………………………5分
（II）取中点，连接，易得两两垂直，以所在直线分别为轴、
轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示，
，………………………………………………7分
设为平面的法向量，则，即，取.…9分
设直线与平面所成的角为，则，……………………………11分
直线与平面所成的角的正弦值为.……………………………………………………12分
20.解：(I)当时，；……………………………………………………………………………1分
当时， (当x＝1时取等号)，∴，…………3分
综上t的取值范围是.………………………………………………………………………………4分
(II)当时，记，则.…………5分
∵在[0，a]上单调递减，在上单调递增，且,
. 故.………………………………8分
（Ⅲ）当时，令，得.;
当时，令，得.………………………………………10分
故当时不超标，当时超标．……………………………………………12分
21.解: (I)设椭圆方程为,将、、代入椭圆E的方程,得计算得出,……………………………………3分
椭圆E的方程;………………………………………………………………4分
(II)（法一）由题知直线方程为：；直线方程为：
联立得，
，.即.……………………………6分
同理，可得。…………………………………………………………………8分
当时，直线,恒过.…………………………………10分
当时，，，直线,过.
当时，，，直线,过.
综上，直线MN恒过定点.………………………………………………………………………12分
（法二）易知,设MN为，.
则直线AM为BN为
由，得.
则② …………………………………………6分
因为T在AM上，所以同理T在BN上，
所以.①
因为N在C上，所以，可得.
由①可得③…………………8分
将②代入③，得
，……………………………………10分
化简可得，所以MN为，所以MN恒过（1，0）……………………………12分
（法三）其他方法如曲线系方程等酌情给分。
22.解:(I), ………1分 由题意知： 所以…………4分
(II)设则
当时， 故在
上为减函数；当时，故在上为增函数.又，
（如图），所以，当时，故F（x）在（0，1）上为减函数；当时，故F（x）在上为增函数.
因此，对一切有都成立. ……………8分
设
故在上为增函数，又，
当所以
当所以……………………10分
综上可得：，从而有……………………12分
注：其他构造函数证明方法酌情给分。
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