成都外国语学校2017-2018学年度高二上期十月月考
数学试题(理科)
注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两个部分。
2. 本堂考试120分钟，满分150分。
3．答题前，考生务必先将自己的姓名、班级、考号、座位号填写在答题卷的密封线内。
4．考试结束后，将所有答题卷和机读卡交回。
第Ⅰ卷（60分）
一．选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题所给出的四个选项中只
有一项是符合题目要求的）。
1.圆 关于原点对称的圆的方程是( A )
A. B.
C. D.
2.设则“且”是“”的( A )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.即不充分也不必要条件
3．椭圆 的左右焦点分别为,一直线过交椭圆于A，B 两点，
则 的周长为 （ B ）
A.32 B.16 C. 8 D. 4
4. 已知命题；命题 ， 下列命题为
真命题的是（ B ）
A、p∧q B、p∧￢q C、￢p∧q D、￢p∧￢q
5．已知点M（a,b）（ab≠0），是圆 内一点，直线m是以M为中点的弦所在的
直线，直线的方程是，则（ C ）
A. ∥m且与圆相交 B. ⊥m且与圆相切
C. ∥m且与圆相离 D. ⊥m且与圆相离
6. 已知椭圆C：，（a>b>0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为
直径的圆与直线相切，则C的离心率为（ A ）
A． B． C． D．
7．已知为椭圆上的一点，分别为圆和圆上的点，则的最小值为（ B ）
A．5 B．7 C．13 D．15
8．平面内到点（1，1）的距离为1且到点（1，4）的距离为2的直线有（ C ）条。
A. 1 B. 2 C.3 D.4
9．若关于的方程有且只有两个不同的实数根，则实数的
取值范围是 ( D )
A. B. C. D.
10.已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点．若，则（ B ）
A.1 B. C. D.2
11．已知椭圆 ，点 为其长轴 AB 的 6 等分点，分别过这五点作斜率为 的一组平行线，交椭圆 C于 ，则10条直线 的斜率乘积为（ D ）
A. B. C. D.
【解析】设其中的任一等分点为 ，过 的直线交椭圆于点 、 ，不妨设直线 的方程为 ，则与椭圆方程联立可得： 整理后可得 ．
从中可以得到 所以 ．
当 分别取 、 、 、 、 时，算出斜率的乘积为 ．
12．关于下列命题,假命题的个数是（ C ）
（1）若点在圆外，则或. （假）
（2）已知圆与直线，对于，总 使直线与圆恒相切. （假）
（3）已知点P是直线上一动点，PA、PB是圆C：的两条切线，A、B是切点，则四边形PACB的最小面积是为2 . （真）
（4）设直线系，中的直线所能围成的正三角形
面积等于.（假）
A．1 B.2 C.3 D．4
第Ⅱ卷（90分）
二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷上的相应位置）.
13.若为圆的弦AB的中点,
则直线AB的方程是 ▲ . .
14．若命题“,使得”是假命题,
则实数a的取值范围是 ▲ .
15. 在平面直角坐标系中，已知△ABC顶点和，顶点B在椭圆
上，则 ▲ .
16．已知以为周期的函数，其中。若方程恰有5个实数解，则的取值范围为 ▲ .
三、解答题：(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤)。
17．（本小题满分10分）已知 .
（1）若p是q 的充分条件，求实数m的取值范围；
（2）若m=5，“”为真命题，“”为假命题，求实数x的取值范围．
解：（1） 由题知 ：．
因为 是 的充分条件，所以 是 的子集，
所以 解得 ．所以实数 的取值范围是 ．
（2） 当 时，：，依题意得， 与 一真一假．
当 真 假时，有 无解；
当 假 真时，有 解得 或 ．
所以实数 的取值范围为 ．
18.（本小题满12分）已知 的顶点 ，AB边上的中线 CM 所在直线方程为 ，AC边上的高 BH 所在直线方程为 ．求：
（1）顶点C的坐标； （2）直线BC的方程．
解： （1） ， ，
直线 的方程为 ，整理得 ．
由 解得 顶点 的坐标为 ．
（2） 设顶点 的坐标为 ，点 在直线 上，
线段 的中点 的坐标为 ，点 在中线 上，
，整理得
由 联立，解方程组得 ，，即点 的坐标为 ．
又 ， 直线 的方程为 ，整理得 ．
19．（本小题满分12分）椭圆与直线相交于A，B两点，C是AB的中点，若|AB|＝2，OC的斜率为，求椭圆的方程．
解析 方法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
代入椭圆方程并作差，得
a(x1＋x2)(x1－x2)＋b(y1＋y2)(y1－y2)＝0.而＝－1，＝kOC＝，
代入上式可得b＝a.
再由|AB|＝|x2－x1|＝|x2－x1|＝2，
其中x1，x2是方程(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0的两根．
故()2－4·＝4.将b＝a代入，得a＝，∴b＝.
∴所求椭圆的方程是＋＝1.
方法二：由得(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝＝·.
∵|AB|＝2，∴＝1.①
设C(x，y)，则x＝＝，y＝1－x＝.
∵OC的斜率为，∴＝. 代入①，得a＝，b＝.
∴椭圆方程为＋y2＝1.
方法三：利用中点弦的斜率求解
20.（本小题满分12分）平面上两点，在圆
上取一点，求:①恒成立，求的范围
②求的最值及此时点的坐标。
解析：①由，得，由圆的参数方程的，所以
②设，则，此为圆
上的点到原点的距离平方，所以最小值为20，；最大值为100， 。
21．（本小题满分12分）已知椭圆C：（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），
P3（–1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上.
（1）求C的方程；
（2）设直线不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，
求证：过定点.
试题解析：（1）由于，两点关于y轴对称，故由题设知C经过，两点.
又由知，C不经过点P1，所以点P2在C上.
因此，解得.
故C的方程为.
（2）设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，
如果l与x轴垂直，设l：x=t，由题设知，且，可得A，B的坐标分别为（t，），（t，）.
则，得，不符合题设.
从而可设l：（）.将代入得
由题设可知.
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=.
而
.
由题设，故.
即.
解得.
当且仅当时，，欲使l：，即，
所以l过定点（2，）
22．（本小题满分12分）平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别是，以为圆心以3为半径的圆与以为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆上.
(Ⅰ)求椭圆的方程；
（Ⅱ）设椭圆，为椭圆上任意一点，过点的直线
交椭圆于两点，射线 交椭圆于点.
( i )求的值； （ii）求面积的最大值.
试题解析：（I）由题意知 ，则 ,又 可得 ,
所以椭圆C的标准方程为.
（II）由（I）知椭圆E的方程为,
(1) 设， ，由题意知 因为,
又 ，即 ,所以 ，即 .
（ii）设 将代入椭圆E的方程，
可得由 ，可得 …
则有
所以
因为直线与轴交点的坐标为
所以的面积
令 ,将 代入椭圆C的方程可得
由 ，可得 …………………………………………②
由①②可知
因此 ,故
当且仅当 ，即 时取得最大值
由（i）知， 面积为 ,所以面积的最大值为 .
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