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第28章 《锐角三角函数》单元培优检测题
一．选择题
1．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tan∠ABC的值为（ ）
A． B． C． D．
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，那么sin∠B等于（ ）
A． B． C． D．
3．若斜坡的坡比为1：，则斜坡的坡角等于（ ）
A．30° B．45° C．50° D．60°
4．如图，这是某市政道路的交通指示牌．BD的距离为3m，从D点测得指示牌顶端A点和底端C点的仰角分别是60°和45°，则指示牌的高度，即AC的长度是（ ）
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A．3 B．3 C．3﹣3 D．3﹣3
5．在直角坐标系中，P是第一象限内的点，OP与x轴正半轴的夹角α的正切值是，则cosα的值是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，CD⊥AB于D，则tan∠BCD的值为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为90m，那么该建筑物的高度BC约为（ ）
A．100m B．120m C．100m D．120m
8．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点D为边BC的中点，点M为边AB上的一动点，点N为边AC上的一动点，且∠MDN＝90°，则sin∠DMN为（ ）
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A． B． C． D．
9．如图，从地面B处测得热气球A的仰角为45°，从地面C处测得热气球A的仰角为30°，若BC为240米则热气球A的高度为（ ）
A．120米 B．120（﹣1）米 C．240米 D．120（+1）米
10．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，那么AB的长为（ ）
A．5sinA B．5cosA C． D．
11．如图，城关镇某村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为m米，那么这两树在坡面上的距离AB为（ ）
A．mcosα B． C．msinα D．
12．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝，BC＝，则∠A的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
二．填空题
13．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝3，BC＝1，那么∠A的正弦值是 ．
14．已知α为锐角，且sinα＝cosα，则α＝ ．
15．如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道（B，C在同一水平上），某工程师乘坐热气球从B地出发，垂足上升100m到达A处，在A处观察C地的俯角为30°，则BC两地之间的距离为 m．
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16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是边AB的中线，若CD＝6.5，BC＝12．sinB的值是
17．为了测量某建筑物BE的高度（如图），小明在离建筑物15米（即DE＝15米）的A处，用测角仪测得建筑物顶部B的仰角为45°，已知测角仪高AD＝1.8米，则BE＝ 米．
18．如图，某中学综合楼入口处有两级台阶，台阶高AD＝BE＝15cm，深DE＝30cm，在台阶处加装一段斜坡作为无障碍通道，设台阶起点为A，斜坡的起点为C，若斜坡CB的坡度i＝1：9，则AC的长为 cm．
三．解答题（共7小题）
19．计算：2cos30°﹣tan60°+sin30°+tan45°．
20．如图，某小区A栋楼在B栋楼的南侧，两楼高度均为90m，楼间距为MN．春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为55.7°，A栋楼在B栋楼墙面上的影高为DM
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；冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为30°，A栋楼在B栋楼墙面上的影高为CM．已知CD＝44.5m．
（1）求楼间距MN；
（2）若B号楼共30层，每层高均为3m，则点C位于第几层？（参考数据：tan30°≈0.58，sin55.7°≈0.83，cos55.7°≈0.56，tan55.7°≈1.47）
21．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边上的中线，过点B作BE⊥CD，BE分别与CD、AC相交于点F、E，FB＝2CF．
（1）求sinA的值；
（2）如果CD＝5，求AE的值．
22．在△ABC中，锐角∠C＝θ°，BC＝a，AC＝b．
（1）试说明S△ABC＝ab•sinθ；
（2）若a＝3，b＝4，θ＝45°，则S△ABC＝ ．
23．如图所示，小河中学九年级数学活动小组选定测量学校前面小河对岸大树BC
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的高度，他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是30°，朝大树方向下坡走6米到达坡底A处，在A处测得大树顶端B的仰角是48°，若斜坡FA的坡比，求大树的高度．（结果保留整数）
24．2018年首届“进博会”期间，上海对周边道路进行限速行驶．道路AB段为监测区，C、D为监测点（如图）．已知C、D、B在同一条直线上，且AC⊥BC，CD＝400米，tan∠ADC＝2，∠ABC＝35°．
（1）求道路AB段的长；（精确到1米）
（2）如果AB段限速为60千米/时，一辆车通过AB段的时间为90秒，请判断该车是否超速，并说明理由．（参考数据：sin35°≈0.57358，cos35°≈0.8195，tan35°≈0.7）
25．如图，两幢建筑物AB和CD，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝15m，CD＝20m．AB和CD之间有一景观池，小双在A点测得池中喷泉处E点的俯角为42°，在C点测得E点的俯角为45°，点B、E、D在同一直线上．求两幢建筑物之间的距离BD．（结果精确到0.1m）【参考数据：sin42°＝0.67，cos42°＝0.74，tan42°＝0.90】
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参考答案
一．选择题
1．解：如图，∠ABC所在的直角三角形的对边是3，邻边是4，
所以，tan∠ABC＝．
故选：D．
2．解：∵∠C＝90°，
∴sin∠B＝，
故选：A．
3．解：∵斜坡的坡比为1：，设坡角为α，
∴tanα＝＝，
∴α＝60°．
故选：D．
4．解：由题意可得：∠CDB＝∠DCB＝45°，
故BD＝BC＝3m，
设AC＝x，
则tan60°＝＝，
解得：x＝3﹣3，
故选：D．
5．解：如图：过点P作PE⊥x轴于点E，
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∵tanα＝，
∴设PE＝4x，OE＝3x，
在Rt△OPE中，由勾股定理得
OP＝，
∴cosα＝．
故选：C．
6．解：∵∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，
∴BC＝3，
在Rt△ABC与Rt△BCD中，∠A+∠B＝90°，∠BCD+∠B＝90°．
∴∠A＝∠BCD．
∴tan∠BCD＝tanA＝＝，
故选：D．
7．解：由题意可得：tan30°＝＝＝，
解得：BD＝30，
tan60°＝＝＝，
解得：DC＝90，
故该建筑物的高度为：BC＝BD+DC＝120（m），
故选：D．
8．解：连结AD，如图，
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∵∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，
∴BC＝10，
∵点D为边BC的中点，
∴DA＝DC＝5，
∴∠1＝∠C，
∵∠MDN＝90°，∠A＝90°，
∴点A、D在以MN为直径的圆上，
∴∠1＝∠DMN，
∴∠C＝∠DMN，
在Rt△ABC中，sinC＝＝＝，
∴sin∠DMN＝，
故选：A．
9．解：如图所示，过点A作AD⊥BC于点D，
由题意知，∠B＝45°，∠C＝30°，BC＝240米，
设AD＝x米，
则BD＝AD＝x米，CD＝＝＝x米，
由BC＝BD+CD可得x+x＝240，
解得：x＝120（﹣1），
即热气球的高度为120（﹣1）米，
故选：B．
10．解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，
∴sinA＝＝，
∴AB＝，
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故选：C．
11．解：由题意可得：cosα＝，
则AB＝．
故选：B．
12．解：∵∠C＝90°，AB＝，BC＝，
∴sinA＝＝＝，
∴∠A＝45°．
故选：B．
二．填空题（共6小题）
13．解：∵∠ACB＝90°，AB＝3，BC＝1，
∴∠A的正弦值sinA＝＝，
故答案为：．
14．解：∵sinα＝cos（90°﹣α），
∴α＝90°﹣α，
解得，α＝45°，
故答案为：45°．
15．解：根据题意得∠C＝30°，AB＝100，
∵tanC＝，
∴BC＝＝＝100（m）．
故答案为100．
16．解：∵在Rt△ABC中，CD是斜边AB的中线，且CD＝6.5，
∴AB＝2CD＝13，
则AC＝＝＝5，
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∴sinB＝＝，
故答案为：
17．【解答】解：过A作AC⊥BE于C，
则AC＝DE＝15，
根据题意：在Rt△ABC中，有BC＝AC×tan45°＝15，
则BE＝BC+CE＝16.8（米），
故答案为：16.8．
18．解：过B作BF⊥AC，
由题可知BF＝30cm，AF＝30cm．
∵tan∠BCA＝＝，
∴CF＝270cm，
∴AC＝CF﹣AF＝270﹣30＝240（cm）．
故答案为：240．
三．解答题（共7小题）
19．解：原式＝2×﹣++
＝1．
20．解：（1）过点P作PE∥MN，交B栋楼与点E，
则四边形PEMN为矩形．
∴EP＝MN
由题意知：∠EPD＝55.7°
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∠EPC＝30°．
在Rt△ECP中，EC＝tan∠EPC×EP
＝tan30°×EP＝EP≈0.58EP，
在Rt△EDP中，ED＝tan∠EPD×EP
＝tan55.7°×EP≈1.47EP，
∵CD＝ED﹣EC，
∴1.47EP﹣0.58EP＝44.5
∴EP＝MN＝50（m）
答：楼间距MN为50m．
（2）∵EC＝0.58EP
＝0.58×50＝29（m）
∴CM＝90﹣29＝61（m）
∵61÷3≈20.3≈21（层）
答：点C位于第21层．
21．解：（1）∵∠ACB＝90°，CD是斜边上的中线，
∴CD＝AD，
∴∠A＝∠ACD，
∵∠ACB＝90°，BE⊥CD，
∴△EFC∽△CFB，
∴＝＝＝，
∴CF＝2EF，
由勾股定理得，CE＝＝EF，
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∴sin∠ACD＝＝，
∴sinA＝；
（2）∵CD＝5，
∴AB＝10，
∵sinA＝，
∴BC＝2，
由勾股定理得，AC＝4，又EC＝BC＝，
∴AE＝3．
22．（1）证明：过B作BD⊥AC，
在Rt△BCD中，∠C＝θ°，BC＝a，
∴BD＝asinθ，
则S△ABC＝AC•BD＝ab•sinθ；
（2）解：∵a＝3，b＝4，θ＝45°，
∴S△ABC＝ab•sinθ＝3，
故答案为：3
23．解：过点O作OM⊥BC于点M，ON⊥AC于点N，
则四边形OMCN是矩形，
∵OA＝6，斜坡FA的坡比i＝1：，
∴ON＝AD＝3，AN＝AO•cos30°＝6×＝3，
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设大树的高度为x，
∵在斜坡上A处测得大树顶端B的仰角是48°，
∴tan48°＝≈1.11，
∴AC＝，
∴OM＝CN＝AN+AC＝3+，
∵在△AOM中，＝，
∴x﹣3＝（3+）•，
解得：x≈13．
答：树高BC约13米．
24．解：（1）∵AC⊥BC，
∴∠C＝90°，
∵tan∠ADC＝＝2，
∵CD＝400，
∴AC＝800，
在Rt△ABC中，∵∠ABC＝35°，AC＝800，
∴AB＝＝≈1395 米；
（2）∵AB＝1395，
∴该车的速度＝＝55.8km/h＜60千米/时，
故没有超速．
25．解：由题意得：∠AEB＝42°，∠DEC＝45°，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴在Rt△ABE中，∠ABE＝90°，AB＝15，∠AEB＝42°，
∵tan∠AEB＝，
∴BE＝≈15÷0.90＝，
在Rt△DEC中，∠CDE＝90°，∠DEC＝∠DCE＝45°，CD＝20，
∴ED＝CD＝20，
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∴BD＝BE+ED＝+20≈36.7（m）．
答：两幢建筑物之间的距离BD约为36.7m．
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