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2017—2018学年第一学期高二数学10月份联考试卷
2017-10-11
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共22小题，共150分.共4开，考试时间120分钟，考生作答时将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效.
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
一、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．直线的倾斜角的大小为( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
2．已知直线l1：x＋y＋1＝0,l2：2x＋2y－3＝0,则l1,l2之间的距离为( )
A． B. C. D．
3．在同一直角坐标系中，表示直线y＝ax与y＝x＋a正确的是( )
4．圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为( )
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
5．已知直线与圆心为的圆相交于两点，且为等边三角形，则实数（ ）
A. B. C. 或 D.
6．圆(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直线3x＋4y－11＝0的距离等于1的点的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
7．若{(x，y)|ax＋2y－1＝0}∩{(x，y)|x＋(a－1)y＋1＝0}＝，则a等于( )
A. B.2 C.－1 D.2或－1
8．已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2截y轴所得线段与截直线y＝2x＋b所得线段的长度相等，则b＝( )
A．－ B．± C．－ D．±
9．若直线y＝kx－1与曲线y＝－有公共点，则k的取值范围是( )
A. B. C. D．[0,1]
10．如图所示,定圆半径为,圆心为,则直线与直线的交点在( )
A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限
11．在约束条件，当时，目标函数的最大值的变化范围是（ ）
A. B. C. D.
12．若圆(x－a)2＋(y－b)2＝b2＋1始终平分圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的周长，则a、b应满足的关系式是( )
A．a2－2a－2b－3＝0 B．a2＋2a＋2b＋5＝0
C．a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0 D．3a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
一、 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知点A(3,2)和B(－1,4)到直线ax＋y＋1＝0的距离相等，则a的值为________；
14．若直线l1：y＝k(x－6)与直线l2关于点(3,1)对称，则直线l2恒过定点________；
15．若点在不等式组所表示的平面区域内，则的取值范围是_________；
16．已知圆C：，直线经过点，若对任意的实数m，直线被圆C截得的弦长都是定值，则直线的方程为________。
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17． (本小题满分10分)菱形ABCD中，A(－4,7)，C(6，－5)，BC边所在直线过点P(8，－1).求：
(1)AD边所在直线的方程；
(2)对角线BD所在直线的方程.
18． (本小题满分12分)自点A(－3,3)发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在的直线与圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0相切，求光线l所在直线的方程．
19．(本小题满分12分)过原点O的圆C，与x轴相交于点A(4,0)，与y轴相交于点B(0,2)．
(1)求圆C的标准方程；
(2)直线l过B点与圆C相切，求直线l的方程，并化为一般式．
20．(本小题满分12分)已知点A(－3,0)，B(3,0)，动点P满足|PA|＝2|PB|.
(1)若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；
(2)若点Q在直线l1：x＋y＋3＝0上，直线l经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求|QM|的最小值．
21．(本小题满分12分)已知：以点C为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O，B，其中O为原点．
(1)求证：△OAB的面积为定值；
(2)设直线y＝－2x＋4与圆C交于点M，N，若|OM|＝|ON|，求圆C的方程．
22．(本小题满分12分)如图，l1，l2是通过某城市开发区中心O的两条南北和东西走向的街道，连结M、N两地之间的铁路线是圆心在l2上的一段圆弧．若点M在点O正北方向，且|MO|＝3 km，点N到l1，l2的距离分别为4 km和5 km.
(1)建立适当的坐标系，求铁路线所在圆弧的方程；
(2)若该城市的某中学拟在点O正东方向选址建分校，考虑环境问题，要求校址到点O的距离大于4 km，并且铁路线上任意一点到校址的距离不能少于 km，求该校址距点O的最近距离．(注：校址视为一个点)
2017-2018学年度高二数学第一学期十月份联考试卷
参考答案
1-5 CBCBD 6-10 CBDDB 11-12 DB
13． _____－4或___;
14． _____(0,2)___;
15． ________;
16． ______.
17． (本小题满分10分)
【解】 (1)kBC＝2，∵AD∥BC，∴kAD＝2，
∴直线AD方程为y－7＝2(x＋4)，即2x－y＋15＝0……………………..5
(2)kAC＝－，∵菱形对角线互相垂直，∴BD⊥AC，∴kBD＝，而AC中点(1,1)，也是BD的中点，
∴直线BD的方程为y－1＝(x－1)，即5x－6y＋1＝0.…………………….10
18． (本小题满分12分)
【解】 如图所示，已知圆C：x2＋y2－4x－4y＋7＝0关于x轴对称的圆为C1：(x－2)2＋(y＋2)2＝1，其圆心C1的坐标为(2，－2)，半径为1，由光的反射定律知，入射光线所在直线方程与圆C1相切．设l的方程为y－3＝k(x＋3)，
即kx－y＋3＋3k＝0…………………………………………………………..……………..4
则＝1，
即12k2＋25k＋12＝0，∴k1＝－，k2＝－………………………………………..10
则l的方程为4x＋3y＋3＝0或3x＋4y－3＝0……………………………………....12
19．(本小题满分12分)
解析：(1)设圆C的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
则分别代入原点和A(4,0)，B(0,2)得到，
解得
则圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5……………………………………………6
(2)由(1)得到圆心C为(2,1)，半径r＝，
由于直线l过B点与圆C相切，
则设直线l：x＝0或y＝kx＋2，
当l：x＝0时，C到l的距离为2，不合题意，舍去；
当l：y＝kx＋2，由直线与圆相切，得到d＝r，
即有＝，解得k＝2，…………………………………………………….10
故直线l：y＝2x＋2，即为2x－y＋2＝0………………………………………………12
20．(本小题满分12分)
【解】 (1)设点P的坐标为(x，y)，
则＝2，
化简可得(x－5)2＋y2＝16，
此即为所求．………………………………………………………………………………….5
(2)曲线C是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图，则直线l是此圆的切线，连接CQ，则|QM|＝＝.
当CQ⊥l1时，|CQ|取最小值，
|CQ|＝＝4，
∴|QM|最小＝4………………………………………………………………………………….12
21．(本小题满分12分)
解析：(1)证明：由题意知圆C过原点O.
|OC|2＝t2＋，
则圆C的方程为(x－t)2＋2＝t2＋，
令x＝0，得y1＝0，y2＝；
令y＝0，得x1＝0，x2＝2t.
∴S△OAB＝|OA|×|OB|＝×|2t|×＝4，即△OAB的面积为定值．…………………….6
(2)∵|OM|＝|ON|，|CM|＝|CN|，
∴OC垂直平分线段MN.
∵kMN＝－2，∴kOC＝，
∴直线OC的方程为y＝x，
∵C在直线OC上，
∴＝t，解得t＝2或t＝－2…………………………………………………………………..8
当t＝2时，圆心C的坐标为(2,1)，|OC|＝，此时圆心C到直线y＝－2x＋4的距离d＝，圆C与直线y＝－2x＋4不相交，∴t＝－2不符合题意，应舍去．
∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5…………………………………………………………..12
22．(本小题满分12分)
【解】 (1)分别以l2、l1为x轴、y轴建立直角坐标系，依题意得M(0,3)，N(4,5)，故kMN＝＝，M、N中点为(2,4)．故线段MN的垂直平分线方程为：y－4＝－2(x－2)．令y＝0得x＝4，故圆心A的坐标为(4,0)，半径r＝＝5.
∴⊙A的方程为(x－4)2＋y2＝25，
∴的方程为(x－4)2＋y2＝25(0≤x≤4,3≤y≤5)．…………………………………………..6
(2)设校址选在B(a,0)(a>4)，则≥对0≤x≤4恒成立，即≥对0≤x≤4恒成立，整理得(8－2a)x＋a2－17≥0①
对0≤x≤4恒成立．∵a>4，∴8－2a
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