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题型二 二次函数的图象与性质
1．对于抛物线 y＝－(x＋1)2＋3，下列结论：
①抛物线的开口向下；
②对称轴为直线 x＝1；
③顶点坐标为(－1，3)；
④x＞1 时，y 随 x 的增大而减小，
其中正确结论的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
2．(2017·遵义)如图，抛物线 y＝ax2＋bx＋c 经过点(－1，0)，对称轴 l 如图所示，
则下列结论：①abc＞0；②a－b＋c＝0；③2a＋c＜0；④a＋b＜0，其中所有正确的结论是
( )
A．①③ B．②③ C．②④ D．②③④
3．(2017·乐山)已知二次函数 y＝x 2－2mx(m 为常数)，当－1≤x≤2 时，函数值 y 的
最小值为－2，则 m 的值是( )
A.
3
2 B. 2
C.
3
2或 2 D．－
3
2或 2
4．(2017·商丘模拟)抛物线 y＝ax2＋bx＋3(a≠0)过 A(4，4)，B(2，m)两点，点 B 到
抛物线对称轴的距离记为 d，满足 0＜d≤1，则实数 m 的取值范围是( )
A．m≤2 或 m≥3 B．m≤3 或 m≥4
C．2＜m＜3 D．3＜m＜4
5．(2017·泰安)已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的 y 与 x
的部分对应值如下表：
x －1 0 1 3
y －3 1 3 1
下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为 x＝1；③当 x＜1 时，函数值 y
随 x 的增大而增大；④方程 ax2＋bx＋c＝0 有一个根大于 4，其中正确的结论有( )
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
6．(2016·镇江)a、b、c 是实数，点 A(a＋1、b)、B(a＋2，c)在二次函数 y＝x2－2ax
＋3 的图象上，则 b、c 的大小关系是 b__________c(用“＞”或“＜”号填空).
7．如图，抛物线 y＝x2－2x＋k(k＜0)与 x 轴相交于 A(x1，0)、B(x2，0)两点，其中 x1
＜0＜x2，当 x＝x1＋2 时，y__________0(填“＞”、“＝”或“＜”号). 2
8．A(x1，y1)、B(x2，y2)在二次函数 y＝x2－4x－1 的图象上，若当 1＜x1＜2，3＜x2＜
4 时，则 y1 与 y2 的大小关系是 y1________y2.(用“＞”、“＜”、“＝”填空)
9．(2016·天津改编)已知二次函数 y＝(x－h)2＋1(h 为常数)，在自变量 x 的值满足
1≤x≤3 的情况下，与其对应的函数值 y 的最小值为 5，则 h 的值为__________．3
题型二 二次函数的图象与性质
1．C 【解析】①∵a＝－1＜0，∴抛物线的开口向下，正确；②对称轴为直线 x＝－
1，错误；③顶点坐标为(－1，3)，正确；④∵x＞－1 时，y 随 x 的增大而减小，∴x＞1 时，
y 随 x 的增大而减小，正确；综上所述，正确的结论是①③④共 3 个.
2．D 【解析】①∵二次函数图象的开口向下，∴a＜0，∵二次函数图象的对称轴在 y
轴右侧，∴－
b
2a＞0，∴b＞0，∵二次函数的图象与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴上，∴c＞0，∴
abc＜0，故①错误；②∵抛物线 y＝ax2＋bx＋c 经过点(－1，0)，∴a－b＋c＝0，故②正确；③
∵a－b＋c＝0，∴b＝a＋c.由图可知，x＝2 时，y＜0，即 4a＋2b＋c＜0，∴4a＋2(a＋c)＋
c＜0，∴6a＋3c＜0，∴2a＋c＜0，故③正确；④∵a－b＋c＝0，∴c＝b－a.由图可知，x＝
2 时，y＜0，即 4a＋2b＋c＜0，∴4a＋2b＋b－a＜0，∴3a＋3b＜0，∴a＋b＜0，故④正
确．故选 D.
3．D 【解析】y＝x2－2mx＝(x－m)2－m2，①若 m＜－1，当 x＝－1 时，y＝1＋2m＝－
2，解得：m＝－
3
2；②若 m＞2，当 x＝2 时，y＝4－4m＝－2，解得：m＝
3
2＜2(舍)；③若－1
≤m≤2，当 x＝m 时，y＝－m2＝－2，解得：m＝ 2或 m＝－ 2＜－1(舍)，∴m 的值为－
3
2
或 2，故选 D.
4．B 【解析】把 A(4，4)代入抛物线 y＝ax2＋bx＋3 得：16a＋4b＋3＝4，∴16a＋4b
＝1，∴4a＋b＝
1
4，∵对称轴 x＝－
b
2a，B(2，m)，且点 B 到抛物线对称轴的距离记为 d，满
足 0＜d≤1，∴0＜|2－(－
b
2a)|≤1，∴0＜|
4a＋b
2a |≤1，
∴|
1
8a|≤1，a≥
1
8或 a≤－
1
8，把 B(2，m)代入 y＝ax2＋bx＋3 得：4a＋2b＋3＝m，2(2a＋
b)＋3＝m，2(2a＋
1
4－4a)＋3＝m，∴
7
2－4a＝m，a＝
7
8－
m
4，∴
7
8－
m
4≥
1
8或
7
8－
m
4≤－
1
8，∴m≤3
或 m≥4.
5．B 【解析】由表格可知，二次函数 y＝ax2＋bx＋c 有最大值，当 x＝
0＋3
2 ＝
3
2时，
取得最大值，∴抛物线的开口向下，故①正确；其图象的对称轴是直线 x＝
3
2，故②错误；
当 x＜
3
2时，y 随 x 的增大而增大，故③正确；方程 ax2＋bx＋c＝0 的一个根大于－1，小于
0，则方程的另一个根大于 2×
3
2＝3，小于 3＋1＝4，故④错误，故选 B.
6．＜ 【解析】∵二次函数 y＝x2－2ax＋3 的图象的对称轴为 x＝a，二次项系数 1＞
0，∴抛物线的开口向上，在对称轴的右边，y 随 x 的增大而增大，∵a＋1＜a＋2，点 A(a＋
1、b)、B(a＋2，c)在二次函数 y＝x2－2ax＋3 的图象上，∴b＜c.
7．
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