佛山一中2018届高三上学期期中考试
数学（文科）
命题人：黄泳如 黄俊斌 审题人：黄泳如 黄俊斌
本试题卷共4页，23题。全卷满分150分。考试用时120分钟。
注意事项:
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
回答第Ⅰ卷时，选择每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效．
回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上完成，写在本试题上无效．
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.某人到甲、乙两市各7个小区调查空置房情况，调查得到的小区空置房的套数绘成了如图的茎叶图，则调查中甲市空置房套数的中位数与乙市空置房套数的中位数之差为（ ）
A.4 B.3 C.2 D.1
2、若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为N≡n（modm），例如10≡4（mod6），如图程序框图的算法源于我国古代《孙子算经》中的“孙子定理”的某一环节，执行该框图，输入a=2，b=3，c=5，则输出的N=（ ）
A.6 B.9 C.12 D.21
3、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A. B. C. D.
4、命题“”的否定是（ ）
A、 B、
C、 D、
5、下面四个条件中，使a＞b成立的必要而不充分条件是（ ）
A.a-1＞b B.a+1＞b C.|a|＞|b| D.
6、，则（ ）
A. B.2 C. D.
7、在锐角中，角所对的边长分别为， ，则角A等于( )
A、 B. C. D.
8、设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是( )
（A）函数有极大值和极小值
（B）函数有极大值和极小值
（C）函数有极大值和极小值
（D）函数有极大值和极小值
9、已知{}是公差不为零的等差数列，同时成等比数列，且，则= （ ）
A、24 B、26 C、28 D、30
10、设等差数列{}满足，且，为其前n项和，则数列的最大项为（ ）
A、 B、 C、 D、
11、已知的图象在x=-1与x=1处的切线互相垂直，则a=( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
12、已知函数f（x）=，若对任意的x∈[1，2]，f′（x）•x+f（x）＞0恒成立，则实数t的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，] B．（﹣∞，） C．（﹣∞，] D．[，+∞）
第Ⅱ卷
二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分。
13、某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为30秒，小明来到该路
口遇到红灯，则至少需要等待10秒才出现绿灯的概率为 ______ ．
14、函数的图像向右平移个单位后,与函数的图像重合,则___________.
15、ABCD是同一球面上的四个点，△ABC中，，AB=AC，AD⊥平面ABC，AD=6，，则该球的表面积为 ______ ．
16. 设是定义在上的函数，它的图象关于点对称，当时，(为自然对数的底数)，则的值为__________．
三、解答题：满分70分，解答应写出必要的文字说明，演算步骤或证明过程．
17、（本题12分）在等差数列{}中，＝3，其前n项和为，等比数列{}的各项均为正数，，公比为q，且，
(1)求与； (2)证明：
18、（本题12分）某汽车美容公司为吸引顾客，推出优惠活动：对首次消费的顾客，按200元/次收费，并注册成为会员，对会员逐次消费给予相应优惠，标准如表：
消费次数
第1次
第2次
第3次
第4次
≥5次
收费比例
1
0.95
0.90
0.85
0.80
该公司从注册的会员中，随机抽取了100位进行统计，得到统计数据如表：
消费次数
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
频数
60
20
10
5
5
假设汽车美容一次，公司成本为150元，根据所给数据，解答下列问题：
（1）估计该公司一位会员至少消费两次的概率；
（2）某会员仅消费两次，求这两次消费中，公司获得的平均利润；
（3）该公司从至少消费两次的顾客中，用分层抽样方法抽出8人，再从这8人中抽出2人发放纪念品，求抽出2人中恰有1人消费两次的概率．
19、(本题12分）设函数的图象关于直线x=π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈（，1）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若y=f（x）的图象经过点（，0），求函数f（x）在区间[0，]上的取值范围．
20、（本题12分）已知函数在处取得极值为
（1）求a、b的值；（2）若有极大值28，求在上的最值．
21．(本题12分)已知函数f（x）=lnx﹣+（2﹣）x．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）设g（x）=﹣2，对任意给定的∈（0，e]，方程f（x）=g（）在（0，e]有两个不同的实数根，求实数a的取值范围．（其中a∈R，e=2.71828…为自然对数的底数）．
选做题（共10分）请考生在第（22）、（23）两题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．
22、 在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C：，过点P(－2，－4)的直线l的参数方程为
(t是参数)，直线l与曲线C分别交于M、N两点.
(1)写出曲线C和直线l的普通方程；
(2)若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．
23、已知函数。
（1）当时，解不等式；
（2）若，求的取值范围。
佛山一中2018届高三上学期期中考试数学（文科）答案
一、 选择题
BADC BDAD CCAB
二、 填空题
13、 14、 15、 16、
一、 解答题
17、（本题12分）在等差数列{}中，＝3，其前n项和为，等比数列{}的各项均为正数，，公比为q，且，
(1)求与；(2)证明：
(1)解 设数列{an}的公差为d.
因为所以..............................2分
解得q＝3或q＝－4(舍)，d＝3 ..............................4分
故an＝3＋3(n－1)＝3n，bn＝3n－1. ..............................5分
(2)证明 因为Sn＝，
所以＝＝(－)． ..............................6分
故＋＋…＋
＝[(1－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)]＝(1－)． ............8 分
因为n≥1，所以0＜≤，所以≤1－＜1， .....................10分
所以≤(1－)＜，
即 ..........................................12分
18、（本题12分）某汽车美容公司为吸引顾客，推出优惠活动：对首次消费的顾客，按200元/次收费，并注册成为会员，对会员逐次消费给予相应优惠，标准如表：
消费次数
第1次
第2次
第3次
第4次
≥5次
收费比例
1
0.95
0.90
0.85
0.80
该公司从注册的会员中，随机抽取了100位进行统计，得到统计数据如表：
消费次数
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
频数
60
20
10
5
5
假设汽车美容一次，公司成本为150元，根据所给数据，解答下列问题：
（1）估计该公司一位会员至少消费两次的概率；
（2）某会员仅消费两次，求这两次消费中，公司获得的平均利润；
（3）该公司从至少消费两次的顾客中，用分层抽样方法抽出8人，再从这8人中抽出2人发放纪念品，求抽出2人中恰有1人消费两次的概率。
解：（1）100位会员中，至少消费两次的会员有40人，所以估计一位会员至少消费两次的概率为p==0.4． ...............................................2分
（2）该会员第1次消费时，公司获得利润为200-150=50（元）， ..............3分
第2 次消费时，公司获得利润为200×0.95-150=40（元）， ...................4分
所以，公司这两次服务的平均利润为（元）． ...................5分
（3）至少消费两次的会员中，消费次数分别为2，3，4，5的比例为20：10：5：5=4：2：1：1， ...............................6分
所以 抽出的8人中，消费2次的有4人，设为A1，A2，A3，A4，消费3次的有2人，设为B1，B2，消费4次和5次的各有1人，分别设为C，D，
从中取2人，
取到A1的有：A1A2，A1A3，A1A4，A1B1，A1B2，A1C，A1D 共7种；
取到A2的有：A2A3，A2A4，A2B1，A2B2，A2C，A2D 共6种； 类推。。。
去掉A1，A2，A3，A4，B1，B2，后，取到C的有：CD 共1种， ..............7分
总的取法有n=7+6+5+4+3+2+1=28 ......................................................9分
其中恰有1人消费两次的取法共有：m=4+4+4+4=16种， ..................11分
所以，抽出2人中恰有1人费两次的概率为p=． ........ .........12分
19、(本题12分）设函数f（x）=sin2ωx﹣cos2ωx+2sinωxcosωx+λ的图象关于直线x=π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈（，1）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若y=f（x）的图象经过点（，0），求函数f（x）在区间[0，]上的取值范围．
（Ⅰ）f（x）=sin2ωx+2sinωx•cosωx﹣cos2ωx+λ
=sin2ωx﹣cos2ωx+λ .........................................2分
=2sin（2ωx﹣）+λ， .................. 3分
∵图象关于直线x=π对称，∴2πω﹣=+kπ，k∈z．.............4分
∴ω=+，又ω∈（，1），
令k=1时，ω=符合要求， ................... 5分
∴函数f（x）的最小正周期为=； .................. 6分
（Ⅱ）∵f（）=0，
∴2sin（2××﹣）+λ=0，
∴λ=﹣， ....................... 7分
∴f（x）=2sin（x﹣）﹣，
.................. 9分
.............................................10分
∴f（x）∈[﹣1﹣，2﹣]． .................................................12分
20、（本题12分）已知函数在处取得极值为
（1）求a、b的值；（2）若有极大值28，求在上的最值．
解：（Ⅰ）因 故.................. 1分
由于 在点 处取得极值
故有即 ， ...................2分
化简得解得 ........................4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，..............5分
令 ，得 ..........................................6分
当时，故在上为增函数；
当 时， 故在 上为减函数
当 时 ，故在 上为增函数。 ........7分
由此可知 在 处取得极大值， 在 处取得极小值
由题设条件知 得.................... 9分
此时，因此 上的最小值为，最大值为28........................ 12分
21．(本题12分)已知函数f（x）=lnx﹣ax2+（2﹣a）x．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）设g（x）=﹣2，对任意给定的x0∈（0，e]，方程f（x）=g（x0）在（0，e]有两个不同的实数根，求实数a的取值范围．（其中a∈R，e=2.71828…为自然对数的底数）．
解：（Ⅰ）f′（x）=﹣2ax+（2﹣a）=，...............................1分
当a=0时，f′（x）=＞0，f（x）在（0，+∞）单调递增．.....................2分
当a＜0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）单调递增．.................... 3分
当a＞0时，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜，令f′（x）＜0，解得：x＞，
故f（x）在（0，）递增，在（，+∞）递减．.............................. 4分
（Ⅱ）g（x）=﹣2，g′（x）=，x∈（﹣∞，1），g′（x）＞0，g（x）递增，
x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
∴x∈（0，e]时，g（x）的值域为（﹣2，﹣2]，................................5分
由已知，，......................................7分
由f（e）=1﹣ae2+2e﹣ea≤﹣2，∴a≥......................................... 8分
由f（）=ln﹣+﹣1＞﹣2，.......................................9分
∴
令h（x）=知h（x）单调递增，
而h（e）=0，∴a∈（0，e）时，..........................................11分
∴a∈（0，e），综合以上，． .................................... 12分
选做题（共10分）请考生在第（22）、（23）两题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．
22、在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C：ρsin2θ＝2acosθ(a＞0)，过点P(－2，－4)的直线l的参数方程为(t是参数)，直线l与曲线C分别交于M、N两点.
(1)写出曲线C和直线l的普通方程；(2)若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．
解：(1)曲线C的普通方程为C：y2＝2ax，
直线l的普通方程为x－y－2＝0. ................5分
l 将直线的参数表达式代入抛物线得t2－(4＋a)t＋16＋4a＝0，
∴t1＋t2＝8＋2a，t1t2＝32＋8a. ................................7分
又|PM|＝|t1|，|PN|＝|t2|，|MN|＝|t1－t2|， .............................8分
由题意知，|t1－t2|2＝|t1t2|⇒(t1＋t2)2＝5t1t2， ............................9分
代入得a＝1或a＝－4(舍)． .............................10分
23、已知函数。
（1）当时，解不等式；（2）若，求的取值范围。
解：（1）当时，
.............3分
所以当时，由得，所以；
当时，由，得，所以；
当时，由，得，舍去
综上所述，不等式的解集为. .......................5分
（2）...6分
所以与同号，即，即 ......7分
当时，的取值范围是；当时，的取值范围是，
当时，的取值范围是 ..........................10分
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