惠州市2018届高三第二次调研考试
理科数学
全卷满分150分，时间120分钟．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
（1）若(为虚数单位)，则复数在复平面内对应的点在（ ）
(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限
（2）已知集合，，若，
则实数的取值范围是（ ）
(A) (B) (C) (D)
（3）设为三条不同的直线，为一个平面，下列命题中正确的个数是（ ）
①若，则与相交； ②若则；
③若||，||，，则； ④若||，，，则||.
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
（4）“不等式在上恒成立”的一个必要不充分条件是（ ）
(A) (B) (C) (D)
（5）设随机变量服从正态分布，若，
则实数等于（ ）
(A)7 (B)6 (C)5 (D)4
（6）《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：
卦名
符号
表示的二进制数
表示的十进制数
坤
000
0
震
001
1
坎
010
2
兑
011
3
依次类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号“”表示的十进制数是（ ）
(A) (B) (C) (D)
（7）已知等差数列的前项和为，且，，
则数列的前10项和为（ ）
(A) (B) (C) (D)
（8）旅游体验师小明受某网站邀请，决定对甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅游，若甲景区不能最先旅游，乙景区和丁景区不能最后旅游，则小李旅游的方法数为（ ）
(A)24 (B)18 (C)16 (D)10
（9）已知，为双曲线的左右顶点，点在双曲线上，为等腰三角形，且顶角为，则双曲线的离心率为（ ）
(A) (B) (C) (D)
（10）某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，
则最大值为( )
(A) (B) (C) (D)
（11）函数部分图像如图所示，且，对不同的，若，有，则（ ）
(A)在上是减函数 (B)在上是增函数
(C)在上是减函数 (D)在上是增函数
（12）函数是定义在上的奇函数, 当时, ，则函数在上的所有零点之和为（ ）
(A)8 (B) (C) (D)0
二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
（13）已知，且，则 ____________．
（14）某班共有56人，学号依次为1,2,3,…,56，现用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知学号为2，30，44的同学在样本中，则还有一位同学的学号应为_____．
（15）已知数列满足，则数列的通项公式为 ．
（16）在四边形中，，已知，与的夹角为，且，，则___________．
三．解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
（17）（本小题满分12分）
已知中，角的对边分别为，.
（1）求角的大小；
（2）若，，求的面积.
（18）（本小题满分12分）
如图，四棱锥中，底面是边长为的菱形，，，．
（1）求证：平面平面；
（2）若，求二面角的余弦值.
（19）（本小题满分12分）
某学校为了丰富学生的业余生活，以班级为单位组织学生开展古诗词背诵比赛，随机抽取题目，背诵正确加10分，背诵错误减10分，背诵结果只有“正确”和“错误”两种。其中某班级背诵正确的概率为，背诵错误的概率为，现记“该班级完成首背诵后总得分为”.
（1）求且的概率；
（2）记，求的分布列及数学期望.
（20）（本小题满分12分）
已知点为圆的圆心，是圆上的动点，点在圆的半径上，且有点和上的点，满足，.
（1）当点在圆上运动时，求点的轨迹方程；
（2）若斜率为的直线与圆相切，与（1）中所求点的轨迹交于不同的两点,是坐标原点，且时，求的取值范围.
（21）（本小题满分12分）
已知函数，．
（1）若函数的图象在处的切线与轴平行，求的值；
（2）若，恒成立，求的取值范围．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。答题时请写清题号并将相应信息点涂黑。
（22）（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]
已知曲线（为参数）和定点，、是此曲线的左、右焦点，以原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求直线的极坐标方程；
（2）经过点且与直线垂直的直线交此圆锥曲线于、两点，
求的值．
（23）（本小题满分10分）[选修4-5：不等式选讲]
已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若二次函数与函数的图象恒有公共点，
求实数的取值范围.
惠州市2018届高三第二次调研考试
理科数学参考答案
一、选择题：（每小题5分，共60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
D
C
C
B
B
B
D
D
C
B
A
1．【解析】由题意知，其对应点的坐标为，在第一象限．
2．【解析】集合，由可得，.
3．【解析】②错，①③④正确.
4．【解析】“不等式在上恒成立”即，，
同时要满足“必要不充分”，在选项中只有“”符合.
5．【解析】由随机变量服从正态分布可得对称轴为，又
，与关于对称，，
即.
6．【解析】由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦符合“”表示二进制数的，
转化为十进制数的计算为
7．【解析】由及等差数列通项公式得，又，，，，，
8．【解析】第1种：甲在最后一个体验，则有种方法；第2种：甲不在最后体验，则有
种方法，所以小明共有.
9．【解析】设双曲线方程为，不妨设点M在第一象限，所以，，作轴于点，则，故，，所以，将点代入双曲线方程，得，所以.
10．【解析】依题意，题中的几何体是三棱锥PABC(如图所示)，
其中底面ABC是直角三角形，，面ABC，
，，，因此
，
当且仅当，即时取等号，因此xy的最大值是64.
11．【解析】由题意，，，又，有，，即，且，即，解得，
，，单调递增.解得.所以选项B符合.
12．【解析】令，所以求的零点之和和的交点横坐标之和，分别作出时，和图象，如图
由于和都关于原点对称，因此的零点之和为0，而当时，，即两函数刚好有1个交点，而当时的图象都在的上方，因此零点之和为8.
二．填空题：本题共4小题，每小题5分。
13． 14. 16 15. 16. 2
13．【解析】；，由且可得.
14．【解析】由题意得，需要从56人中分成4组，每组的第2位学号为抽出的同学，所以有.
15．【解析】由两边同除可得，又，成以为首，公差为的等差数列，，.
16．【解析】，，，又，，代入式子可得
三．解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.解：（1），
由正弦定理可得 …………2分
，即
又，，，即. …………6分
（2）由余弦定理可得， …………9分
又，，，的面积为.………12分
18.解：（1）取中点，连接、、，
∵四边形是边长为的菱形，∴．
∵，∴是等边三角形．
∴，． ……2分
∵，∴．
∵，∴．∴． ……4分
∵，∴平面．
∵平面，∴平面平面． ……5分
（2）∵，∴．
由（1）知，平面平面，∴平面，
∴直线两两垂直．以为原点建立空间直角坐标系，如图，
则．
∴． ……6分
设平面的法向量为，
由，得，取，得， ……8分
设平面的法向量为，由，得，
取，得， ……10分
∴，由图可知二面角为锐二面角，∴二面角的的余弦值为． ……12分
19.解：（Ⅰ）当时，即背诵6首后，正确个数为4首，错误2首；
由可得：若第一首和第二首背诵正确，则其余4首可任意背诵对2首；
若第一首正确，第二首背诵错误，第三首背诵正确，则其余3首可任意背诵对2首，
此时的概率为：；……4分
（Ⅱ）∵的取值为10，30，50，又，，
∴， ……6分
， ……8分
……10分
ξ
30
50
∴的分布列为：
∴． ……12分
20.解：（1）由题意知中线段的垂直平分线，所以
所以点的轨迹是以点，为焦点，焦距为2，长轴为的椭圆，……2分
，， ……3分
故点的轨迹方程是 ……4分
（2）设直线，
直线与圆相切
联立 ……6分
……7分
……8分
……9分
……10分
所以
为所求. ……12分
21.解：（1），的图象在处的切线与轴平行，
即在处的切线的斜率为0，即， ……4分
（2）f′(x)＝2(ex－x＋a)，又令h(x)＝2(ex－x＋a)，则h′(x)＝2(ex－1)≥0，
∴h(x)在[0，＋∞)上单调递增，且h(0)＝2(a＋1)． ……5分
①当a≥－1时，f′(x)≥0恒成立，即函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，
从而必须满足f(0)＝5－a2≥0，解得－≤a≤，又a≥－1，∴－1≤a≤. ……8分
②当a0，使h(x0)＝0且x∈(0，x0)时，h(x)0，即f(x)单调递增．
∴f(x)min＝f(x0)＝2ex0－(x0－a)2＋3≥0，
又h(x0)＝2(ex0－x0＋a)＝0，从而2 ex0－(ex0)2＋3≥0, 解得0
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