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绵阳东辰学校高2018届高三第二次考试
《理科数学试题》
本试卷分第I卷和第Ⅱ卷两部分，共5页。满分150分。考试时间120分钟。
第I卷（选择题，共60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则（C ）
A. B. C. D.
2.复数（为虚数单位)的虚部为（ A ）
A.－2 B. C.－2 D.1
3．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯
A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏
【答案】B
【解析】设塔的顶层共有灯盏，则各层的灯数构成一个首项为，公比为2的等比数列，结合等比数列的求和公式有：，解得，即塔的顶层共有灯3盏，故选B．
4.在平面直角坐标系中，点M(3，m)在角α的终边上，点N(2m,4)在角α＋的终边上，则m＝(D )
A．－6或1 B．－1或6
C．6 D．1
5.函数f(x)＝有且只有一个零点的充分不必要条件是(D )
A．a≤0或a＞1 B．0＜a＜
C.＜a＜1 D．a＜0
6.设函数，则下列结论错误的是
A．的一个周期为 B．的图像关于直线对称
C．的一个零点为 D．在(,)单调递减
【答案】D
【解析】当 时， ，函数在该区间内不单调.
本题选择D选项.
7.设m,n为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若，使，则两向量反向，夹角是，那么
；若，那么两向量的夹角为，并不一定反向，即不一定存在负数，使得，所以是充分而不必要条件，故选A.
8.若，则（ C）
（A） （B） （C） （D）
9.已知定义的R上的函数满足且在上是增函数，不等式
对任意恒成立，则实数的取值范围是（ B ）
A. B． C． D．
【答案】B
10.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是
（参考数据：lg3≈0.48）
（A）1033 （B）1053
（C）1073 （D）1093
【答案】D
【解析】设，两边取对数，，所以，即最接近，故选D.
11.如图，在边长为2的正六边形中，动圆的半径为1，圆心在线段（含端点）上运动， 是圆上及内部的动点，设向量（， 为实数），则的取值范围是（ C ）
A. B. C. D.
12. 已知为常数，函数有两个极值点，，则( D)
A． ， B. ，
C． ， D. ，
第II卷（非选择题，共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题 ~ 第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题 ~ 第23题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13．已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则| a +2b |= .
【答案】
【解析】，所以.
秒杀解析：利用如下图形，可以判断出的模长是以2为边长，一夹角为60°的菱形的对角线的长度，则为.
14． 设x，y满足约束条件则的最小值为 .
【答案】
【解析】不等式组表示的可行域如图所示，
易求得，
由得在轴上的截距越大，就越小，
所以，当直线过点时，取得最小值，
所以的最小值为.
15.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，
则此山的高度 100 m.
16.若平面向量满足，则的最小值是 -6 .
三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（本题满分12分）
已知向量，，，
且、、分别为的三边、、所对的角．
（1）求角的大小；
（2）若，设D为AB边上中点，求的最小值。
17.解：（1）
对于
又，
（2），
18．（本题满分12分）
在公比不为1的等比数列中，．
(Ⅰ)求数列的通项公式；
(Ⅱ)设，且为递增数列，若，求证：
（1）时， ………………4分
（2）由题意知： ………………6分
∴
∴ ………………8分
∴ ………………10分
∴ ………………12分
19．（本小题满分12分）
已知函数的图象如图所示·
(1) 求在上的单调递增区间；
(2) 设是函数的一个零点，
求的值．
19．解：(Ⅰ) 由图象知，，故，
，即，于是由，解得．
∵ ，且，解得．
∴ ．…………………………………………………4分
由≤≤，，解得≤x≤，，
即在R上的单调递增区间为．………………6分
(Ⅱ)由条件得：，即．
∵ 且在上是增函数，>0，>0，在上是减函数，
∴ ，∴ ，……………………………………9分
∴ ， …………………………………10分
∴
． …………………………………………………………12分
20．（本题满分12分）
已知函数y＝lg（1＋tx－x2）的定义域为M，其中t．
（I）若，求函数在M上的最小值及相应的x的值；
（II）若对任意函数满足求t的取值范围．
【解析】
21. （本题满分12分）已知函数.
（1）若在恒单调递减，求的取值范围；
（2）若函数有两个极值点，求的取值范围并证明.
(1)因为,所以由在上恒成立得
,
令,易知在单调递增单调递减, 所以,
即得： ……………5分
(2)函数有两个极值点,
即有两个不同的零点,且均为正， ,
令,由可知
1. 时,函数在上是增函数,不可能有两个零点.
2. 时, 在是增函数在是减函数,
此时为函数的极大值,也是最大值.
当时,最多有一个零点,所以才可能有两个零点,
得： ……………7分
此时又因为, , ,
令,在上单调递增, 所以
,即
综上,所以的取值范围是 ……………8分
下面证明
由于在是增函数在是减函数, , 可构造出
构造函数
则,故在区间上单调减. 又由于,
则,即有在上恒成立，即有成立.
由于,, 在是减函数, 所以
所以成立 ……………12分
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4−4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为
.
（1）若a=−1，求C与l的交点坐标；
（2）若C上的点到l距离的最大值为，求a.
【解析】（1）曲线的普通方程为.
当时，直线的普通方程为.
由解得或
从而与的交点坐标为，.
23.已知函数,.
（1）解不等式；
（2）若对任意的，都有，使得成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）或.
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