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班级 姓名 准考证号 考场号 座位号
2019届高三第二次模拟考试卷
理 科 数 学（二）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．[2019·乐山调研]若与互为共轭复数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．[2019·济南外国语]已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
3．[2019·九江一模]的部分图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
4．[2019·榆林一模]已知向量，满足，，，则（ ）
A．2 B． C． D．
5．[2019·湘潭一模]以双曲线的焦点为顶点，且渐近线互相垂直的双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
6．[2019·武邑中学]在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则角（ ）
A． B． C．或 D．或
7．[2019·新乡调研]某医院今年1月份至6月份中，每个月为感冒来就诊的人数如下表所示：（ ）
上图是统计该院这6个月因感冒来就诊人数总数的程序框图，则图中判断框、执行框依次应填（ ）
A．； B．；
C．； D．；
8．[2019·优创名校联考]袋子中有四个小球，分别写有“美、丽、中、国”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“国”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率．利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“中、国、美、丽”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：
232 321 230 023 123 021 132 220 001
231 130 133 231 031 320 122 103 233
由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．[2019·成都一诊]在各棱长均相等的四面体中，已知是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
10．[2019·长沙一模]已知是函数图象的一个最高点，，是与相邻的两个最低点．设，若，则的图象对称中心可以是（ ）
A． B． C． D．
11．[2019·湖北联考]已知偶函数满足，现给出下列命题：①函数是以2为周期的周期函数；②函数是以4为周期的周期函数；③函数为奇函数；④函数为偶函数，则其中真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．[2019·宜昌调研]已知椭圆：上存在、两点恰好关于直线：对称，且直线与直线的交点的横坐标为2，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．[2019·泉州质检]若函数的图象在点处的切线过点，则______．
14．[2019·湖北联考]设，满足约束条件，则的最大值为____．
15．[2019·镇江期末]若，，则_______．
16．[2019·遵义联考]已知三棱锥中，面，且，，，，则该三棱锥的外接球的表面积为__________．
三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）[2019·潍坊期末]已知数列的前项和为，且，，成等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）数列满足，求数列的前项和．
18．（12分）[2019·开封一模]大学先修课程，是在高中开设的具有大学水平的课程，旨在让学有余力的高中生早接受大学思维方式、学习方法的训练，为大学学习乃至未来的职业生涯做好准备．某高中成功开设大学先修课程已有两年，共有250人参与学习先修课程，这两年学习先修课程的学生都参加了高校的自主招生考试（满分100分），结果如下表所示：
分数
人数
25
50
100
50
25
参加自主招生获得通过的概率
（1）这两年学校共培养出优等生150人，根据下图等高条形图，填写相应列联表，并根据列联表检验能否在犯错的概率不超过的前提下认为学习先修课程与优等生有关系？
优等生
非优等生
总计
学习大学先修课程
250
没有学习大学先修课程
总计
150
（2）已知今年全校有150名学生报名学习大学选项课程，并都参加了高校的自主招生考试，以前两年参加大学先修课程学习成绩的频率作为今年参加大学先修课程学习成绩的概率．
（i）在今年参与大学先修课程学习的学生中任取一人，求他获得高校自主招生通过的概率；
（ii）某班有4名学生参加了大学先修课程的学习，设获得高校自主招生通过的人数为，求的分布列，试估计今年全校参加大学先修课程学习的学生获得高校自主招生通过的人数．
参考数据：
参考公式：，其中．
19．（12分）[2019·湖北联考]如图，在四棱锥中，，，，且，．
（1）证明：平面；
（2）在线段上，是否存在一点，使得二面角的大小为？如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由．
20．（12分）[2019·河北联考]在直角坐标系中，直线与抛物线交于，两点，且．
（1）求的方程；
（2）试问：在轴的正半轴上是否存在一点，使得的外心在上？若存在，求的坐标；若不存在，请说明理由．
21．（12分）[2019·泉州质检]已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）当时，，求的取值范围．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
[2019·九江一模]在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系（，），点为曲线上的动点，点在线段的延长线上，且满足，点的轨迹为．
（1）求，的极坐标方程；
（2）设点的极坐标为，求面积的最小值．
23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】
[2019·湘潭一模]设函数．
（1）当时，求关于的不等式的解集；
（2）若在上恒成立，求的取值范围．
2019届高三第二次模拟考试卷
理科数学（二）答 案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】A
【解析】∵，，
又与互为共轭复数，∴，，则．故选A．
2．【答案】C
【解析】∵集合，，
∴，，∴．故选C．
3．【答案】B
【解析】，则函数是偶函数，图象关于轴对称，排除A，D，
，排除C，故选B．
4．【答案】A
【解析】根据题意得，，
又，∴，
∴，∴．故选A．
5．【答案】D
【解析】由题可知，所求双曲线的顶点坐标为，
又∵双曲线的渐近线互相垂直，
∴，则该双曲线的方程为．故选D．
6．【答案】A
【解析】∵，，，∴由正弦定理可得，
∵，由大边对大角可得，
∴解得．故选A．
7．【答案】C
【解析】∵要计算1月份至6月份的6个月的因感冒来就诊的人数，
∴该程序框图要算出所得到的和，
①当时，，没有算出6个月的人数之和，需要继续计算，因此变成2，进入下一步；
②当时，用前一个加上，得，
仍然没有算出6个月的人数之和而需要继续计算，因此变成3，进入下一步；
③当时，用前一个加上，得，
仍然没有算出6个月的人数之和而需要继续计算，因此变成4，进入下一步；
④当时，用前一个加上，得，
仍然没有算出6个月的人数之和而需要继续计算，因此变成5，进入下一步；
⑤当时，用前一个加上，得，
仍然没有算出6个月的人数之和而需要继续计算，因此变成6，进入下一步；
⑥当时，用前一个加上，得，
刚好算出6个月的人数之和，因此结束循环体，并输出最后的值，
由以上的分析，可得图中判断框应填“”，执行框应填“”．
故选C．
8．【答案】C
【解析】∵随机模拟产生18组随机数，
由随机产生的随机数可知，恰好第三次就停止的有，，，共4个基本事件，
根据古典概型概率公式可得，恰好第三次就停止的概率为，故选C．
9．【答案】C
【解析】设各棱长均相等的四面体中棱长为2，取中点，连结，，
∴是棱的中点，∴，
∴是异面直线与所成角（或所成角的补角），
，，
∴，
∴异面直线与所成角的余弦值为，故选C．
10．【答案】D
【解析】结合题意，绘图
又，，∴周期，解得，
∴，，
令，得到，∴，
令，，得对称中心，
令，得到对称中心坐标为，故选D．
11．【答案】B
【解析】偶函数满足，
即有，
即为，，
可得的最小正周期为4，故①错误；②正确；
由，可得，
又，即有，故为奇函数，故③正确；
由，若为偶函数，即有，
可得，即，可得6为的周期，这与4为最小正周期矛盾，故④错误．
故选B．
12．【答案】C
【解析】由题意可得直线与直线的交点，，
设，，则，，
∵、是椭圆上的点，∴①，②，
①﹣②得：，∴，
∴，∴，∴，故选C．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．【答案】1
【解析】函数，可得，∴，
又，∴切线方程为，切线经过，∴，解得．
故答案为1．
14．【答案】5
【解析】作出，满足约束条件，所示的平面区域，如图：
作直线，然后把直线向可行域平移，结合图形可知，平移到点时最大，
由可得，此时．故答案为5．
15．【答案】
【解析】由得，
即，
又，解得，
∴．
16．【答案】
【解析】取的中点，连结、，
∵平面，平面，
∴，可得中，中线，
由，，，可知，
又∵，、是平面内的相交直线，∴平面，可得，
因此中，中线，∴是三棱锥的外接球心，
∵中，，，∴，可得外接球半径，
因此，外接球的表面积，
故答案为．
三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）∵，，成等差数列，∴，
当时，，∴，
当时，，，
两式相减得，∴，
∴数列是首项为，公比为的等比数列，
∴．
（2），
∴，
∴．
18．【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解析】（1）列联表如下：
优等生
非优等生
总计
学习大学先修课程
50
200
250
100
900
1000
没有学习大学先修课程
总计
150
1100
1250
由列联表可得，
因此在犯错误的概率不超过的前提下认为学习先修课程与优等生有关系．
（2）（i）由题意得所求概率为．
（ii）设获得高校自主招生通过的人数为，则，
，，1，2，3，4，
∴的分布列为
0
1
2
3
4
估计今年全校参加大学先修课程的学生获得大学自主招生通过的人数为．
19．【答案】（1）见证明；（2）见解析．
【解析】（1）∵在底面中，，，且，
∴，，∴，
又∵，，平面，平面，∴平面，
又∵平面，∴，
∵，，∴，
又∵，，平面，平面，
∴平面．
（2）方法一：在线段上取点，使，则，
又由（1）得平面，∴平面，
又∵平面，∴，作于，
又∵，平面，平面，∴平面，
又∵平面，∴，
又∵，∴是二面角的一个平面角，
设，则，，
这样，二面角的大小为，
即，即，
∴满足要求的点存在，且．
方法二：取的中点，则、、三条直线两两垂直
∴可以分别以直线、、为、、轴建立空间直角坐标系，
且由（1）知是平面的一个法向量，
设，则，，
∴，，
设是平面的一个法向量，
则，∴，
令，则，它背向二面角，
又∵平面的法向量，它指向二面角，
这样，二面角的大小为，
即，
即，
∴满足要求的点存在，且．
20．【答案】（1）；（2）在轴的正半轴上存在一点，使得的外心在上．
【解析】（1）联立，得，则，，
从而．
∵，∴，
即，解得，故的方程为．
（2）设线段的中点为，
由（1）知，，，
则线段的中垂线方程为，即．
联立，得，解得或，
从而的外心的坐标为或．
假设存在点，设的坐标为，
∵，
∴，则．
∵，∴．
若的坐标为，则，
，则的坐标不可能为．
故在轴的正半轴上存在一点，使得的外心在上．
21．【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】解法一：（1），
①当时，
0
↘
极小值
↗
∴在上单调递减，在单调递增．
②当时，的根为或．
若，即，
0
0
↗
极大值
↘
极小值
↗
∴在，上单调递增，在上单调递减．
若，即，
在上恒成立，∴在上单调递增，无减区间．
若，即，
0
0
↗
极大值
↘
极小值
↗
∴在，上单调递增，在上单调递减．
综上：当时，在上单调递减，在单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增，无减区间；
当时，在，上单调递增，在上单调递减．
（2）∵，∴．
当时，恒成立．
当时，．
令，，
设，
∵在上恒成立，
即在上单调递增．
又∵，∴在上单调递减，在上单调递增，
则，∴．
综上，的取值范围为．
解法二：（1）同解法一；
（2）令，∴，
当时，，则在上单调递增，
∴，满足题意．
当时，令，
∵，即在上单调递增．
又∵，，
∴在上有唯一的解，记为，
0
↘
极小值
↗
，满足题意．
当时，，不满足题意．
综上，的取值范围为．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．【答案】（1）；；（2）2．
【解析】（1）∵曲线的参数方程为（为参数），
∴曲线的普通方程为，∴曲线的极坐标方程为，
设点的极坐标为，点的极坐标为，
则，，，，
∵，∴，∴，，
∴的极坐标方程为．
（2）由题设知，，
当时，取得最小值为2．
23．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）∵，
∴的解集为．
（2）∵，∴，即，则，
∴．
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