2019年3月北京市石景山区中考数学模拟试卷（含答案）.doc

2019 年北京市石景山区中考数学模拟试卷（3 月份） 一．选择题（共 10 小题，满分 30 分） 1．已知数 a、b、c 在数轴上的位置如图所示，化简|a+b|﹣|c﹣b|的结果是（　　） A．a+c B．c﹣a C．﹣a﹣c D．a+2b﹣c 2．石墨烯（Grann）是人类已知强度最高的物质，据科学家们测算，要加 55 牛顿的压力才 能使 0.000001 米长的石墨烯断，其中 0.00001 用科学记数法表示为（　　） A．1×10﹣5 B．10×10﹣7 C．0.1×10﹣5 D．1×106 3．如图，直线 a∥b，AC⊥AB，AC 交直线 b 于点 C，∠1＝55°，则∠2 的度数是（　　） A．35° B．25° C．65° D．50° 4．下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 5．在趣味运动会“定点投篮”项目中，我校七年级八个班的投篮成绩（单位：个）分别为： 24，20，19，20，22，23，20，22．则这组数据中的众数和中位数分别是（　　） A．22 个、20 个 B．22 个、21 个 C．20 个、21 个 D．20 个、22 个 6．如图，P，Q 分别是⊙O 的内接正五边形的边 AB，BC 上的点，BP＝CQ，则∠POQ＝（　　）A．75° B．54° C．72° D．60° 7．小李家距学校 3 千米，中午 12 点他从家出发到学校，途中路过文具店买了些学习用品， 12 点 50 分到校．下列图象中能大致表示他离家的距离 S（千米）与离家的时间 t（分钟） 之间的函数关系的是（　　） A． B． C． D． 8．如图，等腰三角形 ABC 的底边 BC 长为 4，面积是 16，腰 AC 的垂直平分线 EF 分别交 A C，AB 边于 E，F 点．若点 D 为 BC 边的中点，点 M 为线段 EF 上一动点，则△CDM 周长的 最小值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 9．甲、乙两人参加某体育项目训练，为了便于研究，把最后 5 次的训练成绩分别用实线和 虚线连接起来，如图，下面的结论错误的是（　　） A．乙的第 2 次成绩与第 5 次成绩相同 B．第 3 次测试，甲的成绩与乙的成绩相同C．第 4 次测试，甲的成绩比乙的成绩多 2 分 D．在 5 次测试中，甲的成绩都比乙的成绩高 10．如图，正方形 ABCD 中，AB＝4cm，点 E、F 同时从 C 点出发，以 1cm/s 的速度分别沿 CB ﹣BA、CD﹣DA 运动，到点 A 时停止运动．设运动时间为 t（s），△AEF 的面积为 S （cm2），则 S（cm2）与 t（s）的函数关系可用图象表示为（　　） A． B． C． D． 二．填空题（满分 18 分，每小题 3 分） 11．若 a，b 都是实数，b＝ + ﹣2，则 ab 的值为　 　． 12．分解因式：4m2﹣16n2＝　 　． 13．如图，正六边形 ABCDEF 的边长为 1，以点 A 为圆心，AB 的长为半径，作扇形 ABF，则 图中阴影部分的面积为　 　（结果保留根号和 π）． 14．若关于 x 的一元二次方程 x2﹣4x+k＝0 有两个相等的实数根，则 k 的值为　 　． 15．在数学课上，老师提出如下问题：已知：线段 a，b（如图 1）． 求作：等腰△ABC，使 AB＝AC，BC＝a，BC 边上的高为 b． 小姗的作法如下：如图 2，（1）作线段 BC＝a； （2）作线段 BC 的垂直平分线 MN 交线段 BC 于点 D； （3）在 MN 上截取线段 DA＝b，连接 AB， AC．所以，△ABC 就是所求作的等腰三角 形． 老师说：“小姗的作法正确”． 请回答：得到△ABC 是等腰三角形的依据是：　 　． 16．某水果公司购进 10 000kg 苹果，公司想知道苹果的损坏率，从所有苹果中随机抽取若 干进行统计，部分结果如下表： 苹果总质量 n（kg） 100 200 300 400 500 1000 损坏苹果质量 m（kg） 10.50 19.42 30.63 39.24 49.54 101.10 苹果损坏的频率 （结果 保留小数点后三位） 0.105 0.097 0.102 0.098 0.099 0.101 估计这批苹果损坏的概率为　 　（结果保留小数点后一位），损坏的苹果约有　 　 kg． 三．解答题（共 13 小题，满分 72 分） 17．（5 分）计算：sin30°﹣ +（π﹣4）0+|﹣ |． 18．（5 分）解不等式 ，并把它的解集在数轴上表示出来． 19．（5 分）如图，已知∠ABC+∠ECB＝180°，∠P＝∠Q．求证：∠1＝∠2．20．（5 分）先化简，再求值：（x﹣2+ ）÷ ，其中 x＝﹣ ． 21．（5 分）某书店老板去图书批发市场购买某种图书，第一次用 1200 元购书若干本，并按 该书定价 7 元出售，很快售完．由于该书畅销，第二次购书时，每本书的批发价已比第 一次提高了 20%，他用 1500 元所购该书的数量比第一次多 10 本，当按定价售出 200 本时， 出现滞 销，便以定价的 4 折售完剩余的书． （1）第一次购书的进价是多少元？ （2）试问该老板这两次售书总体上是赔钱了，还是赚钱了（不考虑其他因素）？若赔钱， 赔多少；若赚钱，赚多少？ 22．（5 分）如图，矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，以 OC，OD 为邻边作平行四边形 OCED，连接 OE． （1）求证：四边形 OBCE 是平行四边形； （2）连接 BE 交 AC 于点 F．若 AB＝2，∠AOB＝60°，求 BF 的长． 23．（5 分）如图，已知反比例函数 y＝ 的图象与一次函数 y＝x+b 的图象交于点 A（1， 4），点 B（﹣4，n）． （1）求 n 和 b 的值； （2）求△OAB 的面积； （3）直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量 x 的取值范围．24．（5 分）（图象题）如图所示，是我国运动员从 1984～2000 年在奥运会上获得获牌数的 统计图，请你根据统计图提供的信息，回答下列问题： （1）从 1984～2000 年的 5 届奥运会，我国运动员共获奖牌多少枚； （2）哪届奥运会是我国运动员获得的奖牌总数最多； （3）根据以上统计，预测我国运动员在 2004 年奥运会上大约能获得多少枚奖牌； （4）根据 上述数据制作折线统计图，表示我国运动员从 1984～2000 年奥运会上获得的 金牌统计图； （5）你不妨再依据数据制作扇形统计图，比较一下，体会三种统计图的不同特点． 25．（5 分）如图，AB 是⊙O 的直径，BC 交⊙O 于点 D，E 是 BD 弧上的一点，OE⊥BD 于点 G， 连接 AE 交 BC 于点 F，AC 是⊙O 的切线． （1）求证：∠ACB＝2∠EAB； （2）若 cos∠ACB＝ ，AC＝10，求 BF 的长． 26．（5 分）已知 y 是 x 的函数，自变量 x 的取值范围是 x≠0 的全体实数，如表是 y 与 x 的 几组对应值． x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 ﹣ ﹣ 1 2 3 … y … ﹣ ﹣ ﹣ m … 小华根据学习函数的经验，利用上述表格所反映出的 y 与 x 之间的变化规律，对该函数 的图象与性质进行了探究．下面是小华的探究过程，请补充完整：（1）从表格中读出，当自变量是﹣2 时，函数值是　 　； （2）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描 出的点，画出该函数的图象； （3）在画出的函数图象上标出 x＝2 时所对应的点，并写出 m＝　 　． （4）结合函数的图象，写出该函数的一条性质：　 　． 27．（7 分）抛物线 C1：y1＝a1x2+b1x+c1 中，函数值 y1 与自变量 x 之间的部分对应关系如下 表： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 3 4 … y1 … ﹣4 ﹣1 0 ﹣4 ﹣16 ﹣25 … （1）设抛物线 C1 的顶点为 P，则点 P 的坐标为　 　； （2）现将抛物线 C1 沿 x 轴翻折，得到抛物线 C2：y2＝a2x2+b2x+c2，试求 C2 的解析式； （3）现将抛物线 C2 向下平移，设抛物线在平移过程中，顶点为点 D，与 x 轴的两交点为 点 A、B． ①在最初的状态下，至少向下平移多少个单位，点 A、B 之间 的距离不小于 6 个单位？ ②在最初的状态下，若向下平移 m（m＞0）个单位时，对应的线段 AB 长为 n，请直接写 出 m 与 n 的等量关系． 28．（7 分）如图，已知 A（3，0），B（0，﹣1），连接 AB，过 B 点作 AB 的垂线段 BC，使 BA ＝BC，连接 AC． （1）如图 1，求 C 点坐标； （2）如图 2，若 P 点从 A 点出发 沿 x 轴向左平移，连接 BP，作等腰直角△BPQ，连接 CQ，当点 P 在线段 OA 上，求证：PA＝CQ； （3）在（2）的条件下若 C、P，Q 三点共线，求此时∠APB 的度数及 P 点坐标．29．（8 分）如图，已知抛物线 y＝ x2+3x﹣8 的图象与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的 右侧），与 y 轴交于点 C． （1）求直线 BC 的解析式； （2）点 F 是直线 BC 下方抛物线上的一点，当△BCF 的面积最大时，在抛物线的对称轴上 找一点 P，使得△BFP 的周长最小，请求出点 F 的坐标和点 P 的坐标； （3）在（2）的条件下，是否存在这样的点 Q（0，m），使得△BFQ 为等腰三角形？如果 有，请直接写出点 Q 的坐标；如果没有，请说明理由．参考答案 一．选择题 1．解：通过数轴得到 a＜0，c＜0，b＞0，|a|＜|b|＜|c|， ∴a+b＞0，c﹣b＜0 ∴|a+b|﹣|c﹣b|＝a+b﹣b+c＝a+c， 故答案为：a+c． 故选：A． 2．解：0.00001 用科学记数法表示为 1×10﹣5， 故选：A． 3．解：∵直线 a∥b， ∴∠1＝∠3＝55°， ∵AC⊥AB， ∴∠BAC＝90°， ∴∠2＝180°﹣∠BAC﹣∠3＝35°， 故选：A． 4．解：A、此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项正确； B、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误； C、此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项错误； D、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误． 故选：A． 5．解：在这一组数据中 20 出现了 3 次，次数最多，故众数是 20； 把数据按从小到大的顺序排列：19，20，20 ，20，22，22，23，24， 处于这组数据中间位置的数 20 和 22，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是 21． 故选：C． 6．解：连接 OA、OB、OC，∵五边形 ABCDE 是⊙ O 的内接正五边形， ∴∠AOB＝∠BOC＝72°， ∵OA＝OB，OB＝OC， ∴∠OBA＝∠OCB＝54°， 在△OBP 和△OCQ 中， ， ∴△OBP≌△OCQ，（SAS）， ∴∠BOP＝∠COQ， ∵∠AOB＝∠AOP+∠BOP，∠BOC＝∠BOQ+∠QOC， ∴∠BOP＝∠QOC， ∵∠POQ＝∠BOP+∠BOQ，∠BOC＝∠BOQ+∠QOC， ∴∠POQ＝∠BOC＝72°． 故选：C． 7．解：∵小李距家 3 千米， ∴离家的距离随着时间的增大而增大， ∵途中在文具店买了一些学习用品， ∴中间有一段离家的距离不再增加， 综合以上 C 符合， 故选：C． 8．解：连接 AD， ∵△ABC 是等腰三角形，点 D 是 BC 边的中点， ∴AD⊥BC， ∴S△ABC＝ BC•AD＝ ×4×AD＝16，解得 AD＝8， ∵EF 是线段 AC 的垂直平分线， ∴点 C 关于直线 EF 的对称点为点 A，∴AD 的长为 CM+MD 的最小值， ∴△CDM 的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+ BC＝8+ ×4＝8+2＝10． 故选：C． 9．解：观察图象可知：A，B，C 正确． 故选：D． 10．解：当 0≤t≤4 时，S＝S 正方形 ABCD﹣S△ADF﹣S△ABE﹣S△CEF ＝4•4﹣ •4•（4﹣t）﹣ •4•（4﹣t）﹣ •t•t ＝﹣ t2+4t ＝﹣ （t﹣4）2+8； 当 4＜t≤8 时，S＝ •（8﹣t）2＝ （t﹣8）2． 故 选：D． 二．填空题（共 6 小题，满分 18 分，每小题 3 分） 11．解：∵b＝ + ﹣2， ∴1﹣2a＝0， 解得：a＝ ， 则 b＝﹣2， 故 ab＝（ ）﹣2＝4． 故答案为：4． 12．解：原式＝4（m+2n）（m﹣2n）． 故答案为：4（m+2n）（m﹣2n） 13．解：正六边形的中心为点 O，连接 OD、OE，作 OH⊥DE 于 H， ∠DOE＝ ＝60°， ∴OD＝OE＝DE＝1，∴OH＝ ， ∴正六边形 ABCDEF 的面积＝ ×1× ×6＝ ， ∠A＝ ＝120°， ∴扇形 ABF 的面积＝ ＝ ， ∴图中阴影部分的面积＝ ﹣ ， 故答案为： ﹣ ． 14．解：根据题意得△＝（﹣4）2﹣4k＝0， 解得 k＝4． 故答案为 4． 15．解：由作法得 MN 垂直平分 BC，则 AB＝AC． 故答案为垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等；有两条边相等的三角形是等腰三 角形． 16．解：根据表中的损坏的频率，当实验次数的增多时，苹果损坏的频率越来越稳定在 0.1 左右，所以可估计苹果损坏率大约是 0.1； 根据题意得： 10000×0.1＝1000（kg） 答：损坏的苹果约有 1000kg． 故答案为：0.1，1000． 三．解答题（共 13 小题，满分 72 分） 17．解：原式＝ ﹣2+1+ ＝0． 18．解：去分母，得：2（2x﹣1）+15≥3（3x+1）， 去括号，得：4x+13≥9x+3， 移项，得：4x﹣9x≥3﹣13，合并同类项，得：﹣5x≥﹣10， 系数化为 1，得：x≤2， 将解集表示在数轴上如下： ． 19．证明：∵∠ABC+∠ECB＝180°， ∴AB∥DE， ∴∠ABC＝∠BCD， ∵∠P＝∠Q， ∴PB∥CQ， ∴∠PBC＝∠BCQ， ∵∠1＝∠ABC﹣∠PBC，∠2 ＝∠BCD﹣∠BCQ， ∴∠1＝∠2． 20．解：原式＝（ + ）• ＝ • ＝2（x+2） ＝2x+4， 当 x＝﹣ 时， 原式＝2×（﹣ ）+4 ＝﹣1+4 ＝3． 21．解：（1）设第一次购书的单价为 x 元，根据题意得： +10＝ ． 解得：x＝5． 经检验，x＝5 是原方程的解， 答：第一次购书的进价是 5 元； （2）第一次购书为 1200÷5＝240（本），第二次购书为 240+10＝250（本）， 第一次赚钱为 240×（7﹣5）＝480（元）， 第二次赚钱为 200×（7﹣5×1.2）+50×（7×0.4﹣5×1.2）＝40（元）， 所以两次共赚钱 480+40＝520（元）， 答：该老板两次售书总体上是赚钱了，共赚了 520 元． 22．（1）证明：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴OA＝OB＝OC＝OD， ∵四边形 OCED 是平行四边形， ∴四边形 OCED 为菱形， ∴CE∥OB，CE＝OB， ∴四边形 OBCE 为平行四边形； （2）解：过 F 作 FM⊥BC 于 M，过 O 作 ON⊥BC 于 N， ∵FM⊥BC，ON⊥BC， ∴ON∥FM， ∵AO＝OC， ∴ON＝ AB＝1， ∵OF＝FC， ∴FM＝ ON＝ ， ∵∠AOB＝60°，OA＝OB， ∴∠OAB＝60°，∠ACB＝30°， 在 Rt△ABC 中： ∵AB＝2，∠ACB＝30°， ∴BC＝2 ， ∵∠ACB＝30°，FM＝ ， ∴CM＝ ， ∴BM＝BC﹣CM＝ ， ∴BF＝ ＝ ．23．解：（1）把 A 点（1，4）分别代入反比例函数 y＝ ，一次函数 y＝x+b， 得 k＝1×4，1+b＝4， 解得 k＝4，b＝3， ∵点 B（﹣4，n）也在反比例函数 y＝ 的图象上， ∴n＝ ＝﹣1； （2）如图，设直线 y＝x+3 与 y 轴的交点为 C， ∵当 x＝0 时，y＝3， ∴C（0，3）， ∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝ ×3×1+ ×3×4＝7.5； （3）∵B（﹣4，﹣1），A（1，4）， ∴根据图象可知：当 x＞1 或﹣4＜x＜0 时，一次函数值大于反比例函数值． 24．解：（1）32+26+54+50+59＝221 枚； （2）根据各年的总数据，显然 59 最大，即是 2000 年； （3）根据逐年增长的趋势，约 60 枚左右； （4）如答图所示； （5）①条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目； ②折线统计图能清楚地反映事物变化情况； ③扇形统计图能清楚地表示出各部分所占的百分比．25．解：（1）连接 AD， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵AC 是⊙O 的切线， ∴∠CAB＝90°， ∴∠C+∠CAD＝∠CAD+∠DAB＝90°， ∴∠C＝∠DAB， ∵OE⊥BD， ∴2 ＝ ， ∴∠BAE＝ BAD， ∴∠ACB＝2∠EAB； （2）∵cos∠ACB＝ ，AC＝10， ∴BC＝25， ∴AB＝ ＝5 ， ∵∠C＝∠BAD，∠B＝∠B， ∴△ABC∽△DBA， ∴ ， ∴BD＝ ＝21， ∵OE⊥BD， ∴BG＝DG＝ ， ∵AD＝ ＝2 ， ∵AO＝BO，BG＝DG，∴OG＝ AD＝ ， ∴GE＝ ， ∵AD∥GE， ∴ ＝ ， ∴FG＝ DG＝ ， ∴BF＝BG+FG＝ + ＝15． 26．解：（1）当自变量是﹣2 时，函数值是 ； 故答案为： （2）该函数的图象如图所示； （3）当 x＝2 时所对应的点 如图所示， 且 m＝ ； 故答案为： ； （4）函数的性质：当 0＜x＜1 时，y 随 x 的增大而减小． 故答案为：当 0＜x＜1 时，y 随 x 的增大而减小． 27．解：（1）观察表格可知，抛物线上点（﹣3，﹣4）与点（1，﹣4）关于对称轴对称， ∴抛物线的对称轴 x＝﹣1， ∴顶点 P 坐标（﹣1，0）． 故答案为（﹣1，0）． （2）设抛物线 C1 的解析式为 y1＝a（x+1）2，把（﹣2，﹣1）代入得到 a＝﹣1，∴抛物线 C1 的解析式为 y1＝﹣（x+1）2， 将抛物线 C1 沿 x 轴翻折，得到抛物线 C2，根据对称性可知，抛物线 C2 的顶点为（﹣1， 0），a＝1， ∴C2 的解析式为 y2＝（x+1）2， （3）①抛物线 C2 向下平移过程中，对称轴 x＝﹣1，当 AB 之间的距离为 6 时，可知 A （﹣4，0），B（2，0）， ∴此时抛物线 C2 的解析式为 y＝（x+4）（x﹣2）， 即 y＝（x+1）2﹣9， 抛物线 C2 至少向下平移 9 个单位，点 A、B 之间的距离不小于 6 个单位． ②抛物线 C2 下平移 m（m＞0）个单位后的解析式为 y＝（x+1）2﹣m， 令 y＝0，解得 x＝﹣1± ， ∴A（﹣1﹣ ，0），B（﹣1+ ，0）， ∴n＝AB＝2 ， ∴m＝ n2． 28．解：（1）作 CH⊥y 轴于 H， 则∠BCH+∠CBH＝90°， ∵AB⊥BC， ∴∠ABO+∠CBH＝90°， ∴∠ABO＝∠BCH， 在△ABO 和△BCH 中， ， ∴△ABO≌△BCH， ∴BH＝OA＝3，CH＝OB＝1， ∴OH＝OB+BH＝4， ∴C 点坐标为（1，﹣4）； （2）∵∠PBQ＝∠ABC＝90°，∴∠PBQ﹣∠ABQ＝∠ABC﹣∠ABQ，即∠PBA＝∠QBC， 在△PBA 和△QBC 中， ， ∴△PBA≌△QBC， ∴PA＝CQ； （3）∵△BPQ 是等腰直角三角形， ∴∠BQP＝45°， 当 C、P，Q 三点共线时，∠BQC＝135°， 由（2）可知，△PBA≌△QBC， ∴∠BPA＝∠BQC＝135°， ∴∠OPB＝45°， ∴OP＝OB＝1， ∴P 点坐标为（1，0）． 29．解：（1）对于抛物线 y＝ x2+3x﹣8， 令 y＝0，得到 x2+3x﹣8＝0，解得 x＝﹣8 或 2， ∴B（﹣8，0），A（2，0）， 令 x＝0，得到 y＝﹣8， ∴A（2，0），B（﹣8，0），C（0，﹣8），设直线 BC 的解析式为 y＝kx+b，则有 ， 解得 ， ∴直线 BC 的解析式为 y＝﹣x﹣8． （2）如图 1 中，作 FN∥y 轴交 BC 于 N．设 F（m， m2+3m﹣8），则 N（m，﹣m﹣8） ∴S△FBC＝S△FNB+S△FNC＝ •FN×8＝4FN＝4[（﹣m﹣8）﹣（ m2+3m﹣8）]＝﹣2m2﹣16m ＝﹣2（m+4）2+32， ∴当 m＝﹣4 时，△FBC 的面积有最大值， 此时 F（﹣4，﹣12）， ∵抛物线的对称轴 x＝﹣3， 点 B 关于对称轴的对称点是 A，连接 AF 交对称轴于 P，此时△BFP 的周长最小， 设直线 AF 的解析式为 y＝ax+b，则有 ， 解得 ， ∴直线 AF 的解析式为 y＝2x﹣4， ∴P（﹣3，﹣10）， ∴点 F 的坐标和点 P 的坐标分别是 F（﹣4，﹣12），P（﹣3，﹣10）． （3）如图 2 中，∵B（﹣8，0），F（﹣4，﹣12）， ∴BF＝ ＝4 ， ①当 FQ1＝FB 时，Q1（0，0）或（0，﹣24）（虽然 FB＝FQ，但是 B、F、Q 三点一线应该 舍去）． ②当 BF＝BQ 时，易知 Q2（0，﹣4 ），Q3（0，4 ）． ③当 Q4B＝Q4F 时，设 Q4（0，m）， 则有 82+m2＝42+（m+12）2， 解得 m＝﹣4， ∴Q4（0，﹣4）， ∴Q 点坐标为（0，0）或（0，4 ）或（0，﹣4 ）或（0，﹣4）．