2017-2018学年甘肃省武威市八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（每题只有一个正确答案，每小题3分，共45分）
1．下列式子为最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A．三内角之比为1：2：3 B．三边长之比为3：4：5
C．三边长分别为1，， D．三边长分别为5，12，14
3．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A．四边相等 B．对角线相等
C．对角相等 D．对角线互相垂直
4．如果＝1﹣2a，则（ ）
A．a＜ B．a≤ C．a＞ D．a≥
5．已知矩形ABCD，AB＝2BC，在CD上取点E，使AE＝EB，那么∠EBC等于（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
6．平行四边形的一条边长是12cm，那么它的两条对角线的长可能是（ ）
A．8cm和16cm B．10cm和16cm C．8cm和14cm D．8cm和12cm
7．如图，A、B两地被池塘隔开，小康通过下列方法测出了A、B间的距离：先在AB外选一他点C，然后测出AC，BC的中点M、N，并测量出MN的长为18m，由此他就知道了A、B间的距离．下列有关他这次探究活动的结论中，错误的是（ ）
A．AB＝36m B．MN∥AB C．MN＝CB D．CM＝AC
8．下列计算中，正确的是（ ）
A．5＝
B．÷＝（a＞0，b＞0）
C．×3＝
D．×＝6
9．一个圆桶底面直径为24cm，高32cm，则桶内所能容下的最长木棒为（ ）
A．20cm B．50cm C．40cm D．45cm
10．如图，设M是▱ABCD一边上任意一点，设△AMD的面积为S1，△BMC的面积为S2，△CDM的面积为S，则（ ）
A．S＝S1+S2 B．S＞S1+S2 C．S＜S1+S2 D．不能确定
11．如图，▱ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件，使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能为（ ）
A．BE＝DF B．BF＝DE C．AE＝CF D．∠1＝∠2
12．已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值是（ ）
A．3 B．5 C．15 D．25
13．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于点H，则DH的长为（ ）
A．4.8cm B．5cm C．9.6cm D．10cm
14．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE＝
BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是（ ）
A．BC＝AC B．CF⊥BF C．BD＝DF D．AC＝BF
15．如图，在矩形ABCD中，BC＝6，CD＝3，将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在点C′处，BC′交AD于点E，则线段DE的长为（ ）
A．3 B． C．5 D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
16．命题“菱形的四条边都相等”的逆命题是 ．
17．如图，数轴上点A表示的实数是 ．
18．如图，在Rt△ABC中，E是斜边AB的中点，若AB＝10，则CE＝ ．
19．已知a，b是正整数，若+是不大于2的整数，则满足条件的有序数对（a，b）为 ．
20．如图，正方形ABCD的对角线长为8，E为AB上一点，若EF⊥AC于点F，EG⊥BD于点G，则EF+EG＝ ．
三、解答题（本大题共8小题，共60分）
21．（6分）计算：
（1）﹣5+
（2）÷﹣×
22．（5分）如图，正方形网格中每个小正方形的边长为1，试回答问题：∠BCD是直角吗？说明理由．
23．（6分）如图，AC为正方形ABCD的对角线，E为AC上一点，且AB＝AE，EF⊥AC，交BC于F，试说明EC＝EF＝BF．
24．（8分）已知x＝+1，y＝﹣1，求下列各代数式的值：
（1）x2y﹣xy2；
（2）x2﹣xy+y2．
25．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AN＝CM．
（1）求证：BN＝DM；
（2）若BC＝3，CD＝2，∠B＝50°，求∠BCD、∠D的度数及四边形ABCD的周长．
26．（8分）如图，轮船甲位于码头O的正西方向A处，轮船乙位于码头O的正北方向C处，某一时刻，AC＝18km，且OA＝OC．轮船甲自西向东匀速行驶，同时轮船乙沿正北方向匀速行驶，它们的速度分别为40km/h和30km/h，经过0.2h，轮船甲行驶至B处，轮船乙行驶至D处，求此时B处距离D处多远？
27．（9分）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF．
（1）求证：四边形BCFE是菱形；
（2）若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．
28．（10分）△ABC中，点O是AC边上一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于E，交∠DCA的平分线于点F．
（1）求证：EO＝FO；
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．
2017-2018学年甘肃省武威市八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题只有一个正确答案，每小题3分，共45分）
1．下列式子为最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【解答】解：A、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故A符合题意；
B、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故B不符合题意；
C、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故C不符合题意；
D、被开方数含分母，故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
2．满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A．三内角之比为1：2：3 B．三边长之比为3：4：5
C．三边长分别为1，， D．三边长分别为5，12，14
【分析】根据三角形内角和公式和勾股定理的逆定理判定是否为直角三角形．
【解答】解：A、根据三角形内角和公式，求得各角分别为30°，60°，90°，所以此三角形是直角三角形；
B、三边符合勾股定理的逆定理，所以其是直角三角形；
C、12+（）2＝（）2，符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形；
D、52+122≠142，不符合勾股定理的逆定理，所以不是直角三角形；
故选：D．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
3．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A．四边相等 B．对角线相等
C．对角相等 D．对角线互相垂直
【分析】根据正方形的性质和菱形的性质，容易得出结论．
【解答】解：正方形的性质有：四条边相等；对角线互相垂直平分且相等；
菱形的性质有：四条边相等；对角线互相垂直平分；
因此正方形具有而菱形不一定具有的性质是：对角线相等．
故选：B．
【点评】本题考查了正方形的性质、菱形的性质；熟练掌握正方形和菱形的性质是解决问题的关键．
4．如果＝1﹣2a，则（ ）
A．a＜ B．a≤ C．a＞ D．a≥
【分析】由已知得1﹣2a≥0，从而得出a的取值范围即可．
【解答】解：∵，
∴1﹣2a≥0，
解得a≤．
故选：B．
【点评】本题考查了二次根式的化简与求值，是基础知识要熟练掌握．
5．已知矩形ABCD，AB＝2BC，在CD上取点E，使AE＝EB，那么∠EBC等于（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
【分析】根据矩形性质得出∠D＝∠ABC＝90°，AD＝BC，DC∥AB，推出AE＝2AD，得出∠DEA＝30°＝∠EAB，求出∠EBA的度数，即可求出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠ABC＝90°，AD＝BC，DC∥AB．
∵AB＝AE，AB＝2CB，
∴AE＝2AD．
∴∠DEA＝30°．
∵DC∥AB，
∴∠DEA＝∠EAB＝30°．
∵AE＝AB，
∴∠ABE＝∠AEB＝（180°﹣∠EAB）＝75°．
∵∠ABC＝90°，
∴∠EBC＝90°﹣75°＝15°．
故选：A．
【点评】本题考查了矩形性质，三角形的内角和定理，平行线性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形性质的应用，解此题的关键是求出∠ABC和∠EBA的度数．
6．平行四边形的一条边长是12cm，那么它的两条对角线的长可能是（ ）
A．8cm和16cm B．10cm和16cm C．8cm和14cm D．8cm和12cm
【分析】根据平行四边形的性质中，两条对角线的一半和一边构成三角形，利用三角形三边关系判断可知．
【解答】解：A、4+8＝12，不能构成三角形，不满足条件，故A选项错误；
B、5+8＞12，能构成三角形，满足条件，故B选项正确．
C、4+7＜12，不能构成三角形，不满足条件，故C选项错误；
D、4+6＜12，不能构成三角形，不满足条件，故D选项错误．
故选：B．
【点评】主要考查了平行四边形中两条对角线的一半和一边构成三角形的性质．并结合三角形的性质解题．
7．如图，A、B两地被池塘隔开，小康通过下列方法测出了A、B间的距离：先在AB外选一他点C，然后测出AC，BC的中点M、N，并测量出MN的长为18m，由此他就知道了A、B间的距离．下列有关他这次探究活动的结论中，错误的是（ ）
A．AB＝36m B．MN∥AB C．MN＝CB D．CM＝AC
【分析】根据三角形的中位线定理即可判断；
【解答】解：∵CM＝MA，CNB，
∴MN∥AB，MN＝AB，
∵MN＝18m，
∴AB＝36m，
故A、B、D正确，
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形的中位线定理在实际生活中的运用，锻炼了学生利用几何知识解答实际问题的能力．
8．下列计算中，正确的是（ ）
A．5＝
B．÷＝（a＞0，b＞0）
C．×3＝
D．×＝6
【分析】根据二次根式的乘法法则： •＝（a≥0，b≥0），二次根式的除法法则：＝（a≥0，b＞0）进行计算即可．
【解答】解：A、5＝，故原题计算错误；
B、＝＝（a＞0，b＞0），故原题计算正确；
C、×3＝3＝，故原题计算错误；
D、×＝×16＝24，故原题计算错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次根式的乘除法，关键是掌握计算法则．
9．一个圆桶底面直径为24cm，高32cm，则桶内所能容下的最长木棒为（ ）
A．20cm B．50cm C．40cm D．45cm
【分析】如图，AC为圆桶底面直径，所以AC＝24cm，CB＝32cm，那么线段AB的长度就是桶内所能容下的最长木棒的长度，在直角三角形ABC中利用勾股定理可以求出AB，也就求出了桶内所能容下的最长木棒的长度．
【解答】解：如图，AC为圆桶底面直径，
∴AC＝24cm，CB＝32cm，
∴线段AB的长度就是桶内所能容下的最长木棒的长度，
∴AB＝＝40cm．
故桶内所能容下的最长木棒的长度为40cm．
故选：C．
【点评】此题首先要正确理解题意，把握好题目的数量关系，然后利用勾股定理即可求出结果．
10．如图，设M是▱ABCD一边上任意一点，设△AMD的面积为S1，△BMC的面积为S2，△CDM的面积为S，则（ ）
A．S＝S1+S2 B．S＞S1+S2 C．S＜S1+S2 D．不能确定
【分析】根据平行四边形的性质得到AB＝DC，而△CMB的面积为S＝CD•高，△ADM
的面积为S1＝MA•高，△CBM的面积为S2＝BM•高，这样得到S1+S2＝MA•高+BM•高＝（MA+BM）•高＝AB•高＝S，由此则可以推出S，S1，S2的大小关系．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，
∵△CMB的面积为S＝DC•高，△ADM的面积为S1＝MA•高，△CBM的面积为S2＝BM•高，
而它们的高都是等于平行四边形的高，
∴S1+S2＝AD•高+BM•高＝（MA+BM）•高＝AB•高＝CD•高＝S，
则S，S1，S2的大小关系是S＝S1+S2．
故选：A．
【点评】本题考查平行四边形的性质对边相等以及三角形的面积计算公式，分别表示出图形面积是解题关键．
11．如图，▱ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件，使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能为（ ）
A．BE＝DF B．BF＝DE C．AE＝CF D．∠1＝∠2
【分析】利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定分别得出三角形全等，再进行选择即可．
【解答】解：A、当BE＝FD，
∵平行四边形ABCD中，
∴AB＝CD，∠ABE＝∠CDF，
在△ABE和△CDF中
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），故此选项错误；
C、当AE＝CF无法得出△ABE≌△CDF，故此选项符合题意；
B、当BF＝ED，
∴BE＝DF，
∵平行四边形ABCD中，
∴AB＝CD，∠ABE＝∠CDF，
在△ABE和△CDF中
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），故此选项错误；
D、当∠1＝∠2，
∵平行四边形ABCD中，
∴AB＝CD，∠ABE＝∠CDF，
在△ABE和△CDF中
，
∴△ABE≌△CDF（ASA），故此选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
12．已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值是（ ）
A．3 B．5 C．15 D．25
【分析】先将中能开方的因数开方，然后再判断n的最小正整数值．
【解答】解：∵＝3，若是整数，则也是整数；
∴n的最小正整数值是15；
故选：C．
【点评】解答此题的关键是能够正确的对进行开方化简．
13．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于点H，则DH的长为（ ）
A．4.8cm B．5cm C．9.6cm D．10cm
【分析】思想两个勾股定理求出菱形的边长，再利用菱形的面积的两种求法构建方程即可解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝4，OB＝OD＝3，
∴AB＝5cm，
∴S菱形ABCD＝AC•BD＝AB•DH，
∴DH＝＝4.8．
故选：A．
【点评】此题考查了菱形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是记住菱形的性质，学会利用菱形的面积的两种求法，构建方程解决问题，属于中考常考题型．
14．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是（ ）
A．BC＝AC B．CF⊥BF C．BD＝DF D．AC＝BF
【分析】根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，有BE＝EC，BF＝FC进而得出四边形BECF是菱形；由菱形的性质知，以及菱形与正方形的关系，进而分别分析得出即可．
【解答】解：∵EF垂直平分BC，
∴BE＝EC，BF＝CF，
∵BF＝BE，
∴BE＝EC＝CF＝BF，
∴四边形BECF是菱形；
当BC＝AC时，
∵∠ACB＝90°，
则∠A＝45°时，菱形BECF是正方形．
∵∠A＝45°，∠ACB＝90°，
∴∠EBC＝45°
∴∠EBF＝2∠EBC＝2×45°＝90°
∴菱形BECF是正方形．
故选项A正确，但不符合题意；
当CF⊥BF时，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故选项B正确，但不符合题意；
当BD＝DF时，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故选项C正确，但不符合题意；
当AC＝BF时，无法得出菱形BECF是正方形，故选项D错误，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了菱形的判定和性质及中垂线的性质、直角三角形的性质、正方形的判定等知识，熟练掌握正方形的相关的定理是解题关键．
15．如图，在矩形ABCD中，BC＝6，CD＝3，将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在点C′处，BC′交AD于点E，则线段DE的长为（ ）
A．3 B． C．5 D．
【分析】首先根据题意得到BE＝DE，然后根据勾股定理得到关于线段AB、AE、BE的方程，解方程即可解决问题．
【解答】解：设ED＝x，则AE＝6﹣x，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC；
由题意得：∠EBD＝∠DBC，
∴∠EDB＝∠EBD，
∴EB＝ED＝x；
由勾股定理得：
BE2＝AB2+AE2，
即x2＝9+（6﹣x）2，
解得：x＝3.75，
∴ED＝3.75．
故选：B．
【点评】本题主要考查了几何变换中的翻折变换及其应用问题；解题的关键是根据翻折变换的性质，结合全等三角形的判定及其性质、勾股定理等几何知识，灵活进行判断、分析、推理或解答．
二、填空题（每小题3分，共15分）
16．命题“菱形的四条边都相等”的逆命题是 四条边都相等的四边形是菱形 ．
【分析】根据互逆命题的概念解答．
【解答】解：命题“菱形的四条边都相等”的逆命题是四条边都相等的四边形是菱形，
故答案为：四条边都相等的四边形是菱形．
【点评】本题考查的是互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
17．如图，数轴上点A表示的实数是 ﹣1 ．
【分析】直接利用勾股定理得出三角形斜边长即可得出A点对应的实数．
【解答】解：由图形可得：﹣1到A的距离为＝，
则数轴上点A表示的实数是：﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】此题主要考查了实数与数轴，正确得出﹣1到A的距离是解题关键．
18．如图，在Rt△ABC中，E是斜边AB的中点，若AB＝10，则CE＝ 5 ．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得答案．
【解答】解：由直角三角形的性质，得
CE＝AB＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，利用直角三角形的性质是解题关键．
19．已知a，b是正整数，若+是不大于2的整数，则满足条件的有序数对（a，b）为 （7，10）或（28，40） ．
【分析】根据二次根式的性质和已知得出即可．
【解答】解：∵ +是整数，
∴a＝7，b＝10或a＝28，b＝40，
因为当a＝7，b＝10时，原式＝2是整数；
当a＝28，b＝40时，原式＝1是整数；
即满足条件的有序数对（a，b）为（7，10）或（28，40），
故答案为：（7，10）或（28，40）．
【点评】本题考查了二次根式的性质和二次根式的运算，估算无理数的大小的应用，题目比较好，有一定的难度．
20．如图，正方形ABCD的对角线长为8，E为AB上一点，若EF⊥AC于点F，EG⊥BD于点G，则EF+EG＝ 4 ．
【分析】连接EO，可得S△ABO＝S△AEO+S△BEO，再把AO＝BO＝4代入可求EF+EG的值．
【解答】解：连接EO
∵ABCD为正方形
∴AC⊥BD，AO＝BO＝CO＝DO且AC＝BD＝8
∴AO＝CO＝BO＝4
∵S△ABO＝S△AEO+S△BEO
∴+
∴EF+EG＝4
故答案为4．
【点评】本题考查了正方形的性质，本题关键是运用面积法解决问题．
三、解答题（本大题共8小题，共60分）
21．（6分）计算：
（1）﹣5+
（2）÷﹣×
【分析】（1）先把各二次根式化简为最简二次根式，然后合并即可；
（2）根据二次根式的乘除法则运算．
【解答】解：（1）原式＝2﹣+
＝；
（2）原式＝﹣
＝4﹣．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
22．（5分）如图，正方形网格中每个小正方形的边长为1，试回答问题：∠BCD是直角吗？说明理由．
【分析】连接BD，根据勾股定理可求出BC、CD、BD的值，再由BC2+CD2＝BD2利用勾股定理的逆定理，即可证出∠BCD＝90°．
【解答】解：∠BCD是直角，理由如下：
连接BD，如图所示．
BC＝＝2，CD＝＝，BD＝＝5．
∵BC2+CD2＝25＝BD2，
∴∠BCD＝90°．
【点评】本题考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，牢记“如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形”是解题的关键．
23．（6分）如图，AC为正方形ABCD的对角线，E为AC上一点，且AB＝AE，EF⊥AC，交BC于F，试说明EC＝EF＝BF．
【分析】通过△AEF≌△ABF，可以求证FE＝FB，然后证得△CEF为等腰直角三角形即可．
【解答】解：在Rt△AEF和Rt△ABF中，
，
∴Rt△AEF≌Rt△ABF（HL），
∴FE＝FB．
∵正方形ABCD，
∴∠ACB＝∠BCD＝45°，
在Rt△CEF中，
∵∠ACB＝45°，
∴∠CFE＝45°，
∴∠ACB＝∠CFE，
∴EC＝EF，
∴FB＝EC＝EF．
【点评】本题考查了全等三角形的证明，考查了等腰直角三角形的判定，本题求证Rt△AEF≌Rt△ABF是解本题的关键．
24．（8分）已知x＝+1，y＝﹣1，求下列各代数式的值：
（1）x2y﹣xy2；
（2）x2﹣xy+y2．
【分析】（1）根据x、y的值可以求得xy和x﹣y的值，从而可以解答本题；
（2）根据x、y的值可以求得xy和x﹣y的值，从而可以解答本题．
【解答】解：（1）∵x＝+1，y＝﹣1，
∴xy＝2﹣1＝1，x﹣y＝2，
∴x2y﹣xy2
＝xy（x﹣y）
＝1×2
＝2；
（2））∵x＝+1，y＝﹣1，
∴xy＝2﹣1＝1，x﹣y＝2，
∴x2﹣xy+y2
＝（x﹣y）2+xy
＝22+1
＝4+1
＝5．
【点评】本题考查二次根式的化简求值，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法．
25．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AN＝CM．
（1）求证：BN＝DM；
（2）若BC＝3，CD＝2，∠B＝50°，求∠BCD、∠D的度数及四边形ABCD的周长．
【分析】（1）首先判断四边形ABCD和四边形ANMD为平行四边形，然后由“平行四边形的对边相等”推知AB＝CD，AN＝CM，由等式的性质证得结论；
（2）根据平行四边形的对边平行，平行线的性质以及平行四边形的对角相等进行解答．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD．
又∵AN＝CM，
∴四边形ANMD为平行四边形，
∴AN＝CM，
∴AB﹣AN＝CD﹣CM，即BN＝DM；
（2）∵AB∥CD，
∴∠B+∠BCD＝180°，
∵∠B＝50°，
∴∠BCD＝180°﹣50°＝130°．
由（1）知，四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D＝∠B＝50°，AB＝CD，AD＝BC．
∵BC＝3，CD＝2，
∴四边形ABCD的周长＝2（BC+CD）＝2×（3+2）＝10．
【点评】考查了平行四边形的性质，解题的关键是平行四边形的判定，与平行四边形的性质的综合应用．
26．（8分）如图，轮船甲位于码头O的正西方向A处，轮船乙位于码头O的正北方向C处，某一时刻，AC＝18km，且OA＝OC．轮船甲自西向东匀速行驶，同时轮船乙沿正北方向匀速行驶，它们的速度分别为40km/h和30km/h，经过0.2h，轮船甲行驶至B处，轮船乙行驶至D处，求此时B处距离D处多远？
【分析】在Rt△OBD中，求出OB，OD，再利用勾股定理即可解决问题；
【解答】解：在Rt△AOC中，∵OA＝OC，AC＝18km，
∴OA＝OC＝18（km），
∵AB＝0.2×40＝8（km），CD＝0.2×30＝6（km），
∴OB＝10（km），OD＝24（km），
在Rt△OBD中，BD＝＝26（km）．
答：此时B处距离D处26km远．
【点评】本题考查勾股定理，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
27．（9分）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF．
（1）求证：四边形BCFE是菱形；
（2）若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．
【分析】从所给的条件可知，DE是△ABC中位线，所以DE∥BC且2DE＝BC，所以BC和EF平行且相等，所以四边形BCFE是平行四边形，又因为BE＝FE，所以是菱形；∠BCF是120°
，所以∠EBC为60°，所以菱形的边长也为4，求出菱形的高面积就可求．
【解答】（1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE∥BC且2DE＝BC，
又∵BE＝2DE，EF＝BE，
∴EF＝BC，EF∥BC，
∴四边形BCFE是平行四边形，
又∵BE＝FE，
∴四边形BCFE是菱形；
（2）解：∵∠BCF＝120°，
∴∠EBC＝60°，
∴△EBC是等边三角形，
∴菱形的边长为4，高为2，
∴菱形的面积为4×2＝8．
【点评】本题考查菱形的判定和性质以及三角形中位线定理，以及菱形的面积的计算等知识点．
28．（10分）△ABC中，点O是AC边上一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于E，交∠DCA的平分线于点F．
（1）求证：EO＝FO；
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．
【分析】（1）由于CE平分∠BCA，那么有∠1＝∠2，而MN∥BC，利用平行线的性质有∠1＝∠3，等量代换有∠2＝∠3，于OE＝OC，同理OC＝OF，于是OE＝OF；
（2）OA＝OC，那么可证四边形AECF是平行四边形，又CE、CF分别是∠BCA及其外角的角平分线，易证∠ECF是90°，从而可证四边形AECF是矩形．
【解答】（1）证明•：如图所示：∵CE平分∠BCA，
∴∠1＝∠2，
又∵MN∥BC，
∴∠1＝∠3，
∴∠3＝∠2，
∴EO＝CO，
同理，FO＝CO，
∴EO＝FO；
（2）解：当点O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形；
理由如下：
∵OA＝OC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵CF是∠BCA的外角平分线，
∴∠4＝∠5，
又∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠5＝∠2+∠4，
又∵∠1+∠5+∠2+∠4＝180°，
∴∠2+∠4＝90°，
∴平行四边形AECF是矩形．
【点评】本题考查了矩形判定，平行四边形判定，平行线性质，角平分线定义的应用，主要考查学生的推理能力．
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