2019春九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系章末小结与提升课时作业（新版）北师大版.docx

1 直角三角形的边角关系 章末小结与提升 直角三角形的边角关系 {锐角三角函数{定义{sinA = ∠A的对边 斜边 = a c cosA = ∠A的邻边 斜边 = b c tanA = ∠A的对边 ∠A的邻边 = a b 锐角三角函数间关系{sinA = cosB,tanA·tanB = 1 sin2A + cos2A = 1,tanA = sinA cosA 特殊角的三角函数值{sin30° = 　1 2　,sin45° = 2 2 ,sin60° = 3 2 cos30° = 3 2 ,cos45° = 2 2 ,cos60° = 1 2 tan30° = 3 3 ,tan　45°　= 1,tan60° = 3 解直角三角形{解直角三角形{定义:由直角三角形中已知的元素,求出所有未知元素的过程 常用关系式{三边之间的关系a2 + b2 = c2 两锐角间的关系∠A + ∠B = 90° 边角之间的关系(锐角三角函数) 应用举例{基本概念{仰角、俯角 坡度、坡角 方位角 应用直角三角形解决实际问题的步骤{审题 建模 解题 答题 类型 1　锐角三角函数 典例 1　如图,方格中的每个小正方形的边长均为 1,已知△ABC 的三个顶点均在小正 方形的顶点上,则 sin B 的值为 () A. 3 3 B.2 3 3 C.2 5 3 D. 5 52 【解析】如图,连接 CD,由勾股定理得 CD= 2,BC= 10,BD=2 2,则 CD2+BD2=BC2,∴∠ CDB=90°,∴sinB=CD BC = 2 10 = 5 5 . 【答案】 D 【针对训练】 1.如图,由 6 个形状、大小完全相同的小矩形组成矩形网络,小矩形的顶点称为这个矩形网络 的格点,已知小矩形较短边长为 1,点 A,B,C,D 都在格点上,则 sin ∠BAD 的值为 (A) A. 5 5 B.1 2 C.2 5 5 D.2 2.如图,Rt△ABC 中,∠BAC=90°,AD⊥BC 于点 D,设∠ABC=α,则下列结论错误的是 (D) A.BC= AC sinα B.CD=ADtanα C.BD=ABcosα D.AC=ADcosα 3.(舟山中考)如图,把 n 个边长为 1 的正方形拼接成一排,求得 tan ∠BA1C=1,tan ∠ BA2C=1 3,tan ∠BA3C=1 7,计算 tan ∠BA4C= 1 13　,…按此规律,写出 tan ∠ BAnC= 1 n2 - n + 1　.(用含 n 的代数式表示) 类型 2　特殊角的三角函数值 典例 2　已知 α,β 均为锐角,且满足|sinα - 1 2| + (tanβ - 1)2=0,则 α+β=　　　　. 3 【解析】∵|sinα - 1 2| + (tanβ - 1)2=0,∴sinα=1 2,tanβ=1,∴α=30°,β=45°,∴ α+β=30°+45°=75°. 【答案】 75° 【针对训练】 1.在△ABC 中,三边之比为 BC∶AC∶AB=1∶ 3∶2,则 sin A+tanA 等于 (A) A.3 + 2 3 6 B.1 2 + 3 C.3 3 2 D. 3 + 1 2 2.在△ABC 中,∠A,∠B 为锐角,且有|tan B- 3|+(2sin A- 3)2=0,则△ABC 的形状是　等边 三角形　. 3.计算:2tan45° - sin230° 2 3tan60° - sin260° - 2sin60° + 1. 解:原式= 2 × 1 - (1 2)2 2 3 × 3 - ( 3 2 - 1)2 = 2 - 1 4 6 - (1 - 3 2 ) = 7 24-1+ 3 2 = 3 2 - 17 24. 类型 3　解直角三角形 1.在△ABC 中,已知∠C=90°,BC=4,sin A=2 3,那么 AC 边的长是 (B) A.6 B.2 5 C.3 5 D.2 13 2.如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,sin A=4 5,BC=8,D 是 AB 的中点,过点 B 作直线 CD 的垂线,垂 足为 E. (1)求线段 CD 的长; (2)求 cos∠ABE 的值. 解:(1)在△ABC 中,∵∠ACB=90°, ∴sin A=BC AB = 4 5, 又∵BC=8,∴AB=10, ∵D 是 AB 的中点,∴CD=1 2AB=5.4 (2)在 Rt△ABC 中,∵AB=10,BC=8, ∴AC= AB2 - BC2=6, ∵D 是 AB 的中点, ∴BD=5,S△BDC=1 2S△ABC,即1 2CD·BE=1 2·1 2AC·BC,∴BE=24 5 , 在 Rt△BDE 中,cos∠DBE=BE BD = 24 25. 3.如图所示,把一张长方形卡片 ABCD 放在每格宽度为 12 mm 的横格纸中,恰好四个顶点都在 横格线上,已知∠α=36°,求长方形卡片的周长.(结果精确到 1 mm,参考数据:sin 36°≈0.60,cos 36°≈0.80,tan 36°≈0.75) 解:作 BE⊥l 于点 E,DF⊥l 于点 F. ∵α+∠DAF=180°-∠BAD=90°,∠ADF+∠DAF=90°, ∴∠ADF=α=36°. 根据题意得 BE=24 mm,DF=48 mm. 在 Rt△ABE 中,sin α=BE AB, ∴AB= BE sin36°≈40 mm. 在 Rt△ADF 中,cos∠ADF=DF AD, ∴AD= DF cos36°≈60 mm. ∴长方形卡片的周长为 2×(40+60)=200 mm. 类型 4　解直角三角形的应用 典例 3　(烟台中考)某中学广场上有旗杆如图 1 所示,在学习解直角三角形以后,数 学兴趣小组测量了旗杆的高度.如图 2,某一时刻,旗杆 AB 的影子一部分落在平台上,另一部 分落在斜坡上,测得落在平台上的影长 BC 为 4 米,落在斜坡上的影长 CD 为 3 米,AB⊥BC,同一 时刻,光线与水平面的夹角为 72°,1 米的竖立标杆 PQ 在斜坡上的影长 QR 为 2 米,求旗杆的 高度.(结果精确到 0.1 米,参考数据:sin 72°≈0.95,cos 72°≈0.31,tan 72°≈3.08) 【解析】如图,作 CM∥AB 交 AD 于点 M,MN⊥AB 交 AB 于点 N.5 由题意得CM CD = PQ QR,即CM 3 = 1 2,解得 CM=3 2, 在 Rt△AMN 中,∵∠ANM=90°,MN=BC=4,∠AMN=72°, ∴tan72°=AN MN,∴AN≈12.3, ∵MN∥BC,AB∥CM,∴四边形 MNBC 是平行四边形, ∴BN=CM=3 2,∴AB=AN+BN=13.8 米. 【针对训练】 1.如图,大海中某岛 C 的周围 25 km 范围内有暗礁.一艘海轮沿正东方向航行,在 A 处望见 C 在北偏东 60°处,前进 20 km 后到达点 B,测得 C 在北偏东 45°处.如果该海轮继续沿正东方 向航行,有无触礁危险?请说明理由.(参考数据: 2≈1.41, 3≈1.73) 解:没有触礁危险. 理由:过点 C 作 CD⊥AB,交 AB 的延长线于点 D. 由题意可知∠ACD=60°,∠BCD=45°,设 CD=x. 在 Rt△ACD 中,∵tan∠ACD=AD CD,∴AD= 3x. 在 Rt△BCD 中,∵tan∠BCD=BD CD,∴BD=x. ∵AD-BD=AB,∴ 3x-x=20, ∴x= 20 3 - 1≈27.4 km. ∵27.4>25,∴该海轮继续沿正东方向航行,没有触礁危险. 2.(安徽中考)为了测量竖直旗杆 AB 的高度,某综合实践小组在地面 D 处竖直放置标杆 CD,并 在地面上水平放置一个平面镜 E,使得点 B,E,D 在同一水平线上,如图所示,该小组在标杆的 F 处测得旗杆顶 A 的仰角为 39.3°,平面镜 E 的俯角为 45°,FD=1.8 米,问旗杆 AB 的高度约 为多少米?(结果保留整数,参考数据:tan 39.3°≈0.82,tan 84.3°≈10.02)6 解:方法一:由题意知∠AEB=∠FED=45°, ∴∠AEF=90°. 在 Rt△AEF 中,tan∠AFE=AE FE, ∴AE FE=tan 84.3°≈10.02, 在△ABE 和△FDE 中,∠ABE=∠FDE=90°,∠AEB=∠FED. ∴△ABE∽△FDE,∴AB FD = AE FE,则AB FD=10.02, ∴AB=10.02×FD=18.036≈18(米). 答:旗杆 AB 的高度约为 18 米. 方法二:作 FG⊥AB 于点 G,AG=AB-GB=AB-FD=AB-1.8, 由题意知△ABE 和△FDE 均为等腰直角三角形, ∴AB=BE,DE=FD=1.8, ∴FG=DB=DE+BE=AB+1.8. 在 Rt△AFG 中,tan∠AFG=AG FG,即AG FG=tan 39.3°, ∴AB - 1.8 AB + 1.8≈0.82, 解得 AB=18.2≈18 米. 答:旗杆 AB 的高度约为 18 米. 3.如图,直线 l 与 t 轴垂直,垂足为 D,它与从原点出发的三条射线分别交于点 A,B,C.射线 OA,OB,OC 分别表示正常行走的人,站在自动扶梯上不走的人,在自动扶梯上同时正常行走的 人所移动的路程 s(m)与时间 t(min)的函数关系,在这些关系中,正常行走的人的速度相同, 自动扶梯的速度也相同. (1)猜想线段 AD,BD,CD 之间满足的数量关系,并说明理由; (2)已知∠COD=60°,∠BOD=45°,正常行走的人的速度是自动扶梯的速度的多少倍? 解:(1)CD-BD=AD. 理由:在时间相同的情况下,AD=tv 人,BD=tv 自动扶梯,CD=tv 人+自动扶梯.7 CD-BD=tv 人+自动扶梯-tv 自动扶梯=t(v 人+自动扶梯-v 自动扶梯)=tv 人=AD. (2)在 Rt△COD 中,tan∠COD=CD OD,∴CD= 3OD. 在 Rt△BOD 中,tan∠BOD=BD OD,∴BD=OD, ∴AD=CD-BD=( 3-1)OD, ∴ v人 v自动扶梯 = AD OD ÷ BD OD = ( 3 - 1)OD OD ·OD BD = 3-1, 即正常行走的人的速度是自动扶梯的速度的( 3-1)倍. 4.美丽的黄河宛如一条玉带穿城而过,沿河两岸的滨河路风情线是兰州最美的景观之一.数 学课外实践活动中,小林在南滨河路上的 A,B 两点处,利用测角仪分别对北岸的一个观景亭 D 进行了测量.如图,测得∠DAC=45°,∠DBC=65°.若 AB=132 米,求观景亭 D 到南滨河路 AC 的距离约为多少米?(结果精确到 1 米,参考数据:sin 65°≈0.91,cos 65°≈0.42,tan 65°≈2.14) 解:过点 D 作 DE⊥AC,垂足为 E,设 BE=x. 在 Rt△DEB 中,tan ∠DBE=DE BE, ∵∠DBC=65°,∴DE=xtan 65°. 又∵∠DAC=45°,∴AE=DE, ∴132+x=xtan 65°,解得 x≈115.8,∴DE≈248 米. 答:观景亭 D 到南滨河路 AC 的距离约为 248 米.