2019春九年级数学下册第三章圆章末小结与提升课时作业（新版）北师大版.docx

1 圆 章末小结与提升 圆{相关概念{弦与直径 弧、半圆、优弧、劣弧 等圆与等弧 基本性质{垂径定理及推论(轴对称性) 弧、弦、圆心角之间的关系 圆周角定理及推论 圆内接四边形的性质 与圆有关的位置关系{点与圆的位置关系{点在圆外 点在圆上 点在圆内 直线和圆的位置关系{相离 相切 相交 (切线的性质与判定) 正多边形和圆{相关概念 正多边形的计算 正多边形的画法 弧长和扇形面积{弧长公式:l = nπR 180 扇形面积公式:S扇形 = 　n 360πR2　 类型 1　垂径定理及其推论 典例 1　如图,在△ABC 中,已知∠ACB=130°,∠BAC=20°,BC=2,以点 C 为圆心,CB 为 半径的圆交 AB 于点 D,则 BD 的长为　　　　. 【解析】作 CE⊥AB 于点 E,∠B=180°-∠BAC-∠ACB=180°-20°-130°=30°,在 Rt△BCE 中, ∵∠CEB=90°,∠B=30°,BC=2,∴BE= 3 2 BC= 3,∵CE⊥BD,∴DE=BE,∴BD=2BE=2 3. 【答案】 2 32 【针对训练】 1.如图,设☉O 的半径为 r,弦的长为 a,弦与圆心的距离为 d,弦的中点到所对劣弧中点的距离 为 h,则下列结论:①r=d+h;②4r2=4d2+a2;③已知 r,a,d,h 中任意两个,可求其他两个.其中正 确结论的序号是 (C) A.① B.②③ C.①②③ D.①③ 2.(南通中考)已知∠AOB,作图. 步骤 1:在 OB 上任取一点 M,以 M 为圆心,MO 长为半径画半圆,分别交 OA,OB 于点 P,Q; 步骤 2:过点 M 作 PQ 的垂线交PQ于点 C; 步骤 3:画射线 OC. 则下列判断:①PC = CQ;②MC∥OA;③OP=PQ;④OC 平分∠AOB.其中正确的个数为 (C) A.1 B.2 C.3 D.4 3.如图,破残的圆形轮片上,弦 AB 的垂直平分线交弧 AB 于点 C,交弦 AB 于点 D.已知 AB=24 cm,CD=8 cm,求圆的半径. 解:∵弦 AB 的垂直平分线交弧 AB 于点 C,交弦 AB 于点 D, ∴圆心在直线 CD 上.3 如图,设圆形轮片圆心为 O,连接 OA,设圆的半径为 R, 由垂径定理知 AD=1 2AB=12. 在 Rt△OAD 中,OA2=OD2+AD2, ∴R2=122+(R-8)2,解得 R=13. ∴圆的半径为 13 cm. 类型 2　圆心角定理、圆周角定理及其推论 典例 2　 如图,点 A,B,C 是☉O 上的三点,且四边形 ABCO 是平行四边形,OF⊥OC 交☉O 于点 F,则∠BAF 等于 () A.12.5° B.15° C.20° D.22.5° 【解析】连接 OB,∵四边形 ABCO 是平行四边形,∴OC￿AB,又 OA=OB=OC,∴OA=OB=AB,∴△AOB 为等边三角形.∵OF⊥OC,OC∥AB,∴OF⊥AB,∴∠BOF=∠AOF=30°,由圆周角定理得∠BAF=1 2 ∠BOF=15°. 【答案】 B 【针对训练】4 1.(贺州中考)如图,在☉O 中,AB 是☉O 的直径,AB=10,AC = CD = DB,点 E 是点 D 关于 AB 的 对称点,M 是 AB 上的一动点,下列结论:①∠BOE=60°;②∠CED=1 2∠DOB;③DM⊥CE;④CM+DM 的 最小值是 10.其中正确的个数是(C) A.1 B.2 C.3 D.4 2.(永州中考)如图,四边形 ABCD 是☉O 的内接四边形,点 D 是AC的中点,点 E 是BC上的一点. 若∠CED=40°,则∠ADC=　100　°. 类型 3　切线的性质与判定 典例 3　 如图,△ABC 内接于☉O,AC 为☉O 的直径,PB 是☉O 的切线,B 为切点,OP⊥BC,垂足为 E,交☉O 于点 D,连接 BD. (1)求证:BD 平分∠PBC; (2)若☉O 的半径为 1,PD=3DE,求 OE 及 AB 的长. 【解析】(1)连接 OB. ∵PB 是☉O 的切线,∴OB⊥PB,∴∠PBO=90°, ∴∠PBD+∠OBD=90°, ∵OB=OD,∴∠OBD=∠ODB,5 ∵OP⊥BC,∴∠BED=90°, ∴∠DBE+∠BDE=90°, ∴∠PBD=∠EBD,∴BD 平分∠PBC. (2)作 DK⊥PB 于点 K. ∵S△BDE S△BDP = 1 2BE·ED 1 2PB·DK = DE PD, 又∵BD 平分∠PBE,DE⊥BE,DK⊥PB, ∴DK=DE,∴BE PB = DE PD = 1 3. ∵∠OBE+∠PBE=90°,∠PBE+∠P=90°, ∴∠OBE=∠P. ∵∠OEB=∠BEP=90°,∴△BEO∽△PEB, ∴BO PB = OE BE,∴OE BO = BE PB = 1 3. ∵BO=1,∴OE=1 3. ∵OE⊥BC,∴BE=EC. ∵AO=OC,∴AB=2OE=2 3. 【针对训练】 1.如图,已知△ABC 中,AB=3,AC=4,BC=5,作∠ABC 的角平分线交 AC 于点 D,以 D 为圆心,DA 为 半径作圆,与射线交于点 E,F.有下列结论: ①△ABC 是直角三角形;②☉D 与直线 BC 相切;③点 E 是线段 BF 的黄金分割点;④tan ∠ CDF=2. 其中正确的结论有 (A)6 A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 2.(天水中考)如图,点 D 为☉O 上一点,点 C 在直径 BA 的延长线上,且∠CDA=∠CBD. (1)判断直线 CD 和☉O 的位置关系,并说明理由; (2)过点 B 作☉O 的切线 BE 交直线 CD 于点 E,若 AC=2,☉O 的半径是 3,求 BE 的长. 解:(1)直线 CD 和☉O 的位置关系是相切. 理由:连接 OD.∵AB 是☉O 的直径,∴∠ADB=90°,∴∠DAB+∠DBA=90°. ∵∠CDA=∠CBD,∴∠DAB+∠CDA=90°. ∵OD=OA,∴∠DAB=∠ADO, ∴∠CDA+∠ADO=90°,即 OD⊥CE. ∴直线 CD 是☉O 的切线,即直线 CD 和☉O 的位置关系是相切. (2)∵AC=2,☉O 的半径是 3,∴OC=2+3=5,OD=3. ∴CD=4. ∵CE 切☉O 于点 D,EB 切☉O 于点 B, ∴DE=EB,∠CBE=90°. 设 DE=EB=x, 在 Rt△CBE 中,由勾股定理,得 CE2=BE2+BC2, 则(4+x)2=x2+(5+3)2. 解得 x=6,即 BE=6. 类型 4　正多边形与圆的有关计算 1.如图,正方形 ABCD 和正△AEF 都内接于☉O,EF 与 BC,CD 分别相交于点 G,H,则EF GH的值是(C)7 A. 6 2 B. 2 C. 3 D.2 2.正三角形的高、外接圆半径、边心距之比为 (A) A.3∶2∶1 B.4∶3∶2 C.4∶2∶1 D.6∶4∶3 3.等腰直角三角形的外接圆的半径为 (B) A.腰长 B.腰长的 2 2 倍 C.底边长的 2 2 倍 D.腰上的高 类型 5　弧长与扇形面积的相关计算 1.如图,在△ABC 中,AB=AC.分别以 B,C 为圆心,BC 长为半径在 BC 下方画弧,设两弧交于点 D, 与 AB,AC 的延长线分别交于点 E,F,连接 AD,BD,CD.若 BC=6,∠BAC=50°,则DE,DF的长度之和 为 11 3 π　. 2.(德州中考)如图,AB 是☉O 的直径,直线 CD 与☉O 相切于点 C,且与 AB 的延长线交于点 E,C 是BF的中点. (1)求证:AD⊥CD;8 (2)若∠CAD=30°,☉O 的半径为 3,一只蚂蚁从点 B 出发,沿着 BE-EC-CB爬回至点 B,求蚂蚁爬 过的路程.(π≈3.14, 3≈1.73,结果保留一位小数) 解:(1)连接 OC.∵直线 CD 与☉O 相切, ∴OC⊥CD, ∵点 C 是BF的中点,∴∠DAC=∠EAC, ∵OA=OC,∴∠OCA=∠EAC, ∴∠DAC=∠OCA,∴OC∥AD,∴AD⊥CD. (2)∵∠CAD=30°,∴∠CAE=∠CAD=30°, 由圆周角定理,得∠COE=60°, ∴OE=2OC=6,BE=6-3=3,BC的长为=60° × π × 3 180° =π. 在 Rt△OCE 中,EC= OE2 - OC2 = 62 - 32=3 3, ∴蚂蚁爬过的路程=3+3 3+π≈11.3.