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榆树一中2017-2018学年度高三上学期第二次模拟考试
数学（理）试卷
第I卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）
1. 设全集,,,则图中阴影部分表示的集合是
（ ）
A.{1,3,5} B.{1,2,3,4,5} C. {2,4} D. {7,9}
2.已知.复数z满足在复平面上对应的点位于 （ ）
A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限
3. 在中,角、、的对边分别为、、,若,
则角的值为 ( )
A. B. C.或 D.或
4. 下列命题
①命题“若,则”的逆否命题是“若,则”.
②命题:,,则:,.
③若为真命题,则,均为真命题.
④“”是“”的充分不必要条件。
其中真命题的个数有 ( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个.
5.已知：函数 在区间上的图象大致是 （ ）
A． B． C. D．
6. 函数 的零点个数有 ( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
7. 已知正数等差数列中的是函数的极值点，
则 ( )
A．5 B．4 C.3 D．2
8. 已知：二次函数的图像如图所示,则它与轴所围图形的面积为 ( )
A. B. C. D.
9.设为定义在上的奇函数.当时, (为常数),
则 ( )
A.-3 B.-1 C.1 D.3
10.如图,△ABC中,∠C =90°,且AC=BC=4,点M满足,则= ( )
A．2 B．3 C.4 D．6
11. 若实数x,y满足则z=3x+2y的最小值是 ( )
A．3 B．2 C.1 D．0
12. 已知函数及其导数，若存在，使得，则称是的
一个“巧值点”，下列函数中，有“巧值点”的是 ( )
①；②；③；④；⑤.
A．③④ B．①③⑤ C.②③④ D．①②⑤
第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）
13. 已知.，则= ．
14. 已知.等比数列是递增数列,是的前项和,
若是方程的两个根,则 ．
15. 设函数+的值域为A，函数的定义域为B,
则
16. 已知: ,且,若恒成立,
则实数的取值范围是
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17.(本题10分) 已知函数．
(Ⅰ) 求的最小正周期；
(Ⅱ) 求在区间上的最小值．
18. (本题12分) 已知函数
( Ⅰ )若关于的方程只有一个实数解，求实数a的取值范围；
( Ⅱ )若当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围.
19. (本题12分) 已知.△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.
向量＝(，b)与＝(cos A，sin B)平行．
( Ⅰ )求A；
( Ⅱ )若＝，＝2，求△ABC的面积．
20. (本题12分)已知函数
( Ⅰ )当时,求函数在点（1，）的切线方程。
( Ⅱ )当时，求函数的极大值；
21. (本题12分)设是数列的前n项和，已知 .
( Ⅰ )求数列的通项公式；
( Ⅱ )令，求数列的前n项和.
22. (本题12分) 已知函数
( Ⅰ )试判断的单调性；
( Ⅱ )若在区间上有极值，求实数的取值范围；
答案：数学（理科）
一、选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
C
D
A
B
A
C
D
B
A
C
D
B
二、填空题
13
14
15
16
-1
63
(-4,2)
三、解答题
17解:（Ⅰ）的最小正周期为；
（Ⅱ），-------------------------5分
当时，取得最小值为：----5分
18.解:（Ⅰ）方程|f（x）|=g（x），即|x2﹣1|=a|x﹣1|，变形得|x﹣1|（|x+1|﹣a）=0，
显然，x=1已是该方程的根，从而欲使原方程只有一解，
即要求方程|x+1|=a有且仅有一个等于1的解或无解，∴a＜0． -----6分
（Ⅱ）当x∈R时，不等式f（x）≥g（x）恒成立，即（x2﹣1）≥a|x﹣1|（*）对x∈R恒成立，
①当x=1时，（*）显然成立，此时a∈R；
②当x≠1时，（*）可变形为a≤，令φ（x）==
因为当x＞1时，φ（x）＞2，当x＜1时，φ（x）＞﹣2，所以φ（x）＞﹣2，故此时a≤﹣2．
综合①②，得所求实数a的取值范围是a≤﹣2．………----------------------------…12分
19.解：(1)因为m∥n，所以asin B－bcos A＝0，由正弦定理，得sin Asin B－sin Bcos A＝0，
又sin B≠0，从而tan A＝，
由于0＜A＜π，所以A＝.………--------------------------------------------------------…6分
(2)法一：由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，及a＝，b＝2，A＝，
得7＝4＋c2－2c，即c2－2c－3＝0，
因为c＞0，所以c＝3.
故△ABC的面积为bcsin A＝. -------………-------------------------------…12分
法二：由正弦定理，得＝，
从而sin B＝，
又由a＞b，知A＞B，所以cos B＝.
故sin C＝sin(A＋B)＝sin
＝sin Bcos＋cos Bsin＝.
所以△ABC的面积为absin C＝.
20.解：（I）切线方程：-----------------------------------------------------------------…6分
（II）当时，，，
极大值
极小值
所以，函数的极大值为；……………………………----…12分
21.解：（1）当时，由，得，（1分）
两式相减，得，，（3分）
当时，，，则.
数列是以3为首项，3 为公比的等比数列…………………………（6分）
（6分）
（2）由（1）得
错位相减得………（9分）
=
…………………---------------……（12分）
22解：（Ⅰ），
①当时，，∴函数在区间上单调递减；
②当时，由，解得
当时，，此时函数g（x）单调递减；当时，，此时函数单调递增． ………………----------------------------6分
（Ⅱ），其定义域为．
， …………--------------……8分
令，，
当时，恒成立，∴在上为增函数，
又，
∴函数在内至少存在一个变号零点，且也是的变号零点，此时在区间内有极值． ……………---------------------…10分
当时，，即时，恒成立，
∴函数在单调递减，此时函数无极值
综上可得：在区间内有极值时实数a的取值范围是 …---…12分
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