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桃江一中2017年下学期期中考试
高一数学试卷
制卷人：曹军 审题人：彭倩姣
考试时间：120分钟 满分：150分
题号
一
二
三
四
评分
第Ⅰ卷 客观题
一、单选题（共12题；共60分）
1、已知全集U=R，A={x|x＜﹣1或x＞0}，B={x|x﹣2＞0}，则A∩（CUB）=（ ）
A、{x|x＜﹣1} B、{x|0＜x≤2} C、{x＞0} D、{x|x＜﹣1或0＜x≤2}
2、设函数f（log2x）的定义域是（2，4），则函数 的定义域是（ ）
A、（2，4） B、（2，8） C、（8，32） D、
3、若集合，，则=（ ）
A、 B、 C、或 D、或
4、函数f（x）=+的定义域为（ ）
A、{x|x＜1} B、{x|0＜x＜1} C、{x|0＜x≤1} D、{x|x＞1}
5、若指数函数f（x）=（3m﹣1）x在R上是减函数，则实数m的取值范围是（ ）
A、m＞0且m≠1 B、m≠ C、m＞ 且m≠ D、＜m＜
6、当x≤1时，函数y=4x﹣2x+1+2的值域为（ ）
A、[1，+∞） B、[2，+∞） C、[1，2） D、[1，2]
7、已知关于x的方程 ，那么在下列区间中含有方程的根的是（ ）
A、 B、 C、 D、
8、函数f（x）是定义在[﹣1，1]上的增函数，若f（x﹣1）＜f（x2﹣1），则x的范围是（ ）
A、（1，+∞）∪（﹣∞，0） B、（0，1） C、 D、
9、已知偶函数f（x）在[0，2]单调递减，若a=f（0.54），b=f（ ），c=f（20.6），则a、b、c
的大小关系是（ ）
A、a＞b＞c B、c＞a＞b C、a＞c＞b D、b＞c＞a
10、已知奇函数f（x）与偶函数g（x）满足f（x）+g（x）=ax﹣a﹣x+2，且g（b）=a，则f（2）的值为（ ）
A、a2 B、2 C、 D、
11、设f（x）=3x+3x﹣8，用二分法求方程3x+3x﹣8=0在x∈（1，2）内近似解的过程中得f（1）＜0，
f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，则方程的根落在区间（ ）
A、（1，1.25） B、（1.25，1.5） C、（1.5，2） D、不能确定
12、《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例（即百分比）为“衰分比”．如：甲、乙、丙、丁分别分得100，60，36，21.6，递减的比例为40%，那 么“衰分比”就等于40%，今共有粮a（a＞0）石，按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”，已知丙分得36石，乙、丁所得之和为75石，则“衰分比”与a的值分别是（ ）
A、75%， B、25%， C、75%，175 D、25%，175
第Ⅱ卷 主观题
二、填空题（共4题；共20分）
13、若幂函数f（x）=（a2﹣7a+13）xa﹣1为其定义域上的单调递增函数，则实数a的值为________．
14、若函数f（x）= 为奇函数，则f（g（﹣1））=________．
15、函数 的单调递减区间是________．
16、对于实数a和b，定义运算“※”：a※b= ，设函数f（x）=（x+2）※（3﹣x），x∈R，若方程f（x）=c恰有两个不同的解，则实数c的取值范围是________．
三、解答题（共6题；共70分）
17、(10分)已知集合A={x|1≤2x﹣3＜16}，B={x|log2（x﹣2）＜3}求CR（A∪B），CR（A∩B），（CRA）∩B．
18、(12分)计算下列各式．
(1)﹣ × +2lg（ + ）
(2)
19、（12分）已知：函数f（x）=loga（2+x）﹣loga（2﹣x）（a＞0且a≠1）
（Ⅰ）求f（x）定义域；
（Ⅱ）判断f（x）的奇偶性，并说明理由；
（Ⅲ）求使f（x）＞0的x的解集．
20、（12分）已知 ． ①若函数f（x）的值域为R，求实数m的取值范围；
②若函数f（x）在区间（﹣∞，1﹣ ）上是增函数，求实数m的取值范围．
21、（12分）已知定义域为R的单调递减的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）=﹣2x
（Ⅰ）求f（﹣1）的值；
（Ⅱ）求f（x）的解析式；
（Ⅲ）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求实数k的取值范围．
22、（12分）已知函数f（x）=
(1)求函数f（x）的零点；
(2)若实数t满足f（log2t）+f（log2 ）＜2f（2），求f（t）的取值范围．
答案解析部分
一、单选题
1、【答案】A
【考点】函数的最值及其几何意义
【解析】【解答】解：在区间[a，a+2]上，函数f（x）=2x﹣5的最小值为2a﹣5， 当0＜a≤2时，g（x）=4x﹣x2的最大值为g（2）=4，
由题意可得2a﹣5≥4，解得a≥log29，不成立；
当a＞2时，g（x）在[a，a+2]上递减，可得g（x）的最大值为4a﹣a2 ．
由题意可得2a﹣5≥4a﹣a2 ，
设h（a）=2a﹣5﹣4a+a2 ， a＞2，
h′（a）=2aln2﹣4+2a，当a＞2时，h′（a）＞0，h（a）在（2，+∞）递增，
由于h（3）=8﹣5﹣12+9=0，
则h（a）≥0=h（3），
解得a≥3．
故选：A．
【分析】运用指数函数的单调性可得f（x）的最小值，讨论a的范围，可得g（x）的最大值，构造h（a）=2a﹣5﹣4a+a2 ， a＞2，求出导数，判断单调性，即可得到a的范围．
2、【答案】C
【考点】交集及其运算，指数函数的定义、解析式、定义域和值域，对数函数的定义域
【解析】【分析】， ，
则.选C.
【点评】考查集合时，要注意集合中的变量是还是， 是函数的定义域还是值域.
3、【答案】B
【考点】对数的运算性质
【解析】【解答】解：原式= + ﹣lg5+|lg2﹣1|= + ﹣lg5﹣lg1+1=1， 故选：B
【分析】根据对数的运算法则和指数幂的运算性质计算即可．
4、【答案】C
【考点】函数的最值及其几何意义，函数奇偶性的性质，奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】解：由于f（x）在[3，6]上为增函数， f（x）的最大值为f（6）=8，f（x）的最小值为f（3）=﹣1，
f（x）为奇函数，故f（﹣3）=﹣f（3）=1，∴f（6）+f（﹣3）=8+1=9．
故选：C．
【分析】利用函数的奇偶性的性质直接求解即可．
5、【答案】D
【考点】指数函数的图像与性质
【解析】【解答】解：∵指数函数f（x）=（3m﹣1）x是R上的减函数， ∴0＜3m﹣1＜1，解得： ＜m＜ ．
故选：D．
【分析】根据指数函数的单调性，利用底数3m﹣1满足的条件求解．
6、【答案】D
【考点】指数函数综合题
【解析】【解答】解：y=4x﹣2x+1+2=（2x）2﹣2•2x+2=（2x﹣1）2+1， 设t=2x ，
∵x≤1，∴0＜t≤2，
则函数等价为y=（t﹣1）2+1，
∵0＜t≤2，
∴1≤y≤2，
即函数的值域为[1，2]．
故选：D．
【分析】利用换元法将函数转化为关于t的一元二次函数，利用一元二次函数的图象和性质即可求出函数的值域．
7、【答案】B
【考点】根的存在性及根的个数判断
【解析】【解答】解：令f（x）= ﹣ ，显然f（x）在（0，+∞）递减， 而f（ ）•f（ ）＜0，
故f（x）在（ ， ）有零点，
即关于x的方程 ，在区间（ ， ）中含有方程的根，
故选：B．
【分析】根据函数的单调性以及函数零点的判断定理判断即可．
8、【答案】C
【考点】函数的图象，根据实际问题选择函数类型
【解析】【解答】解：根据题意，设正方形的边长为a，则 当﹣a＜t＜0时，函数的解析式为S=
当0≤t≤a时，函数的解析式为S=
当t＞a时，函数的解析式为S=a2
由此可得，函数为分段函数，其图象为C
故选C．
【分析】设正方形的边长，分段计算面积，即可确定函数的解析式与图象．
9、【答案】C
【考点】函数单调性的性质
【解析】【解答】解：∵函数f（x）是定义在[﹣1，1]上的增函数，若f（x﹣1）＜f（x2﹣1）， ∴ ，求得1＜x≤ ，
故选：C．
【分析】利用函数的定义域和单调性，可得 ，由此求得x的范围．
10、【答案】C
【考点】函数单调性的性质
【解析】【解答】解：0＜0.54＜1，log 4=﹣2，20.6＞1，f（﹣2）=f（2） ∵f（x）为偶函数，且在[0，2]上单调递减，
∴a＞c＞b，
故选：C．
【分析】根据函数奇偶性和单调性的关系进行判断即可．
11、【答案】D
【考点】二次函数的图象
【解析】【解答】解：对于A、B两图，| |＞1而ax2+bx=0的两根为0和﹣ ，且两根之和为﹣ ，由图知0＜﹣ ＜1得﹣1＜ ＜0，矛盾， 对于C、D两图，0＜| |＜1，在C图中两根之和﹣ ＜﹣1，即 ＞1矛盾，C错，D正确．
故选：D．
【分析】可采用反证法做题，假设A和B的对数函数图象正确，由二次函数的图象推出矛盾，所以得到A和B错误；同理假设C和D的对数函数图象正确，根据二次函数图象推出矛盾，得到C错误，D正确．
12、【答案】D
【考点】函数模型的选择与应用
【解析】【解答】解：设“衰分比”为x，乙分得m石，丁分得n石， 则 ，解得 ，
∴甲分得 石．
则a=64+36+75=175石．
故选：D．
【分析】设“衰分比”为x，乙分得m石，丁分得n石，由题意列关于m，n，x的方程组，求得m，n，x的值，进一步得到甲所分得的粮食，则答案可求．
二、填空题
13、【答案】（0， ）
【考点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：要使函数f（x）= 有意义，
则 ，
解得0＜x ．
∴函数f（x）= 的定义域是：（0， ）．
故答案为：（0， ）．
【分析】要使函数有意义，则需x＞0，且log0.5x﹣1≥0，分式的分母不等于0，运用对数函数的单调性，即可得到定义域．
14、【答案】-15
【考点】奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】解：根据题意，当x＜0时，f（x）=g（x）， f（x）为奇函数，
g（﹣1）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣（12+2×1）=﹣3，
则f（g（﹣1））=f（﹣3）=﹣f（3）=﹣（32+2×3）=﹣15；
故答案为﹣15．
【分析】根据题意，由f（x）是奇函数，可得g（﹣1）=﹣f（1），计算可得g（﹣1）=﹣3，进而可得f（g（﹣1））=﹣f（3），由x≥0时f（x）的解析式计算可得答案．
15、【答案】（﹣1，1]
【考点】复合函数的单调性
【解析】【解答】解：∵ ， ∴﹣x2+2x+3＞0，
∴﹣1＜x＜3，
设t（x）=﹣x2+2x+3，对称轴x=1，
∵ ＜1
∴根据复合函数的单调性判断：
函数 的调增区间为（﹣1，1]．
故答案为（﹣1，1]．
【分析】确定函数的定义域，设t（x）=﹣x2+2x+3，对称轴x=1，根据复合函数的单调性判断即可．
16、【答案】（﹣∞，3）
【考点】根的存在性及根的个数判断，函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：令x+2﹣（3﹣x）≤1，求得x≤1， 则f（x）=（x+2）⊗（3﹣x）= ，
函数f（x）的图象与直线y=c有2个交点．
数形结合可得c＜3，
故答案为：（﹣∞，3）．
【分析】先求出f（x）的解析式，由题意可得，函数f（x）的图象（红色部分和直线y=c（蓝色部分）有2个交点，数形结合求得实数c的取值范围．
三、解答题
17、【答案】解：集合A={x|1≤2x﹣3＜16}={x|0≤x﹣3＜4}={x|3≤x＜7}=[3，7），
集合B={x|log2（x﹣2）＜3}={x|0＜x﹣2＜8}={x|2＜x＜10}=（2，10）；
∴A∪B=（2，10），A∩B=A，
CRA=（﹣∞，3）∪[7，+∞）；
∴CR（A∪B）=（﹣∞，2]∪[10，+∞），
CR（A∩B）=（﹣∞，3）∪[7，+∞），
（CRA）∩B=（2，3）∪[7，10）
【考点】交、并、补集的混合运算
【解析】【分析】化简集合A、B，再根据交集、并集与补集的定义进行计算即可．
18、【答案】解：（Ⅰ）由题意得 ，即﹣2＜x＜2．∴f（x）的定义域为（﹣2，2）；
（Ⅱ）∵对任意的x∈（﹣2，2），﹣x∈（﹣2，2）
f（﹣x）=loga（2﹣x）﹣loga（2+x）=﹣f（x），
∴f（x）=loga（2+x）﹣loga（2﹣x）是奇函数；
（Ⅲ）f（x）=loga（2+x）﹣loga（2﹣x）＞0，即log2（2+x）＞loga（2﹣x），
∴当a∈（0，1）时，可得2+x＜2﹣x，即﹣2＜x＜0．
当a∈（1，+∞）时，可得2+x＞2﹣x，即x∈（0，2）
【考点】函数奇偶性的判断，对数的运算性质，对数函数的单调性与特殊点
【解析】【分析】（Ⅰ）利用对数函数的性质列出不等式求解函数的定义域．（Ⅱ）利用函数的奇偶性的定义判断即可．（Ⅲ）利用对数函数的单调性求解不等式即可．
19、【答案】解：①∵f（x）值域为R，令g（x）=x2﹣mx﹣m， 则g（x）取遍所有的正数
即△=m2+4m≥0
∴m≥0或m≤﹣4；
②由题意知
【考点】函数的值域，函数单调性的性质
【解析】【分析】①根据判别式进行求解即可；②根据题意结合增函数的定义即可求解．
20、【答案】
解：（I）f（﹣1）=﹣f（1）=﹣（﹣2）=；
（II）∵定义域为R的函数f（x）是奇函数，
∴f（0）=0，
当x＜0时，﹣x＞0，
f（﹣x）=﹣﹣2﹣x ，
又∵函数f（x）是奇函数，
∴f（﹣x）=﹣f（x），
∴f（x）=+2﹣x ，
综上所述f（x）=．
（III）∵f（1）=﹣＜f（0）=0，
且f（x）在R上单调，
∴f（x）在R上单调递减，
由f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0，
得f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k），
∵f（x）是奇函数，
∴f（t2﹣2t）＜f（k﹣2t2），
又∵f（x）是减函数，
∴t2﹣2t＞k﹣2t2
即3t2﹣2t﹣k＞0对任意t∈R恒成立，
∴△=4+12k＜0得k＜﹣，即为所求．
【考点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【分析】（I）根据题意得，f（﹣1）=﹣f（1），结合当x＞0时，f（x）=﹣2x即可求出f（﹣1）；
（II）由定义域为R的函数f（x）是奇函数，知f（0）=0．当x＜0时，f（﹣x）=﹣2﹣x，由函数f（x）是奇函数，知f（x）=+2﹣x，由此能求出f（x）的解析式．
（III）由f（1）=﹣＜f（0）=0且f（x）在R上单调，知f（x）在R上单调递减，由f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0，得f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k），再由根的差别式能求出实数k的取值范围．
21、【答案】解：（1）依题设有
1000（x+t﹣8）=500，
化简得5x2+（8t﹣80）x+（4t2﹣64t+280）=0．
当判别式△=800﹣16t2≥0时，
可得x=8﹣±．
由△≥0，t≥0，8≤x≤14，得不等式组：
①
②
解不等式组①，得0≤t≤，不等式组②无解．故所求的函数关系式为
函数的定义域为[0，]．
（2）为使x≤10，应有
8≤10
化简得t2+4t﹣5≥0．
解得t≥1或t≤﹣5，由t≥0知t≥1．从而政府补贴至少为每千克1元．
【考点】根据实际问题选择函数类型
【解析】【分析】本题综合考查函数、方程、不等式的解法等基础知识和方法．p=Q得到方程，当根的判别式≥0时，方程有解，求出解可得函数．然后△≥0，原题t≥0，8≤x≤14以及二次根式自变量取值范围得t的另一范围，联立得两个不等式组，求出解集可得自变量取值范围．第二小题，价格不高于10元，得x≤10，求出t的取值范围．
四、综合题
22、【答案】（1）解：当x＜0时，解 得：x=ln =﹣ln3， 当x≥0时，解 得：x=ln3，
故函数f（x）的零点为±ln3
（2）解：当x＞0时，﹣x＜0， 此时f（﹣x）﹣f（x）= = =0，
故函数f（x）为偶函数，
又∵x≥0时，f（x）= 为增函数，
∴f（log2t）+f（log2）＜2f（2）时，2f（log2t）＜2f（2），
即|log2t|＜2，
﹣2＜log2t＜2，
∴t∈（ ，4）
故f（t）∈（ ， ）
【考点】分段函数的应用，函数零点的判定定理
【解析】【分析】（1）分类讨论，函数对应方程根的个数，综合讨论结果，可得答案．（2）分析函数的奇偶性和单调性，进而可将不等式化为|log2t|＜2，解得f（t）的取值范围．
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