第19章单元达标检测试卷
[时间：90分钟 分值：120分]
一、选择题(每题3分，共30分)
1．[2018·滨州]下列命题，其中是真命题的为( D )
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．一组邻边相等的矩形是正方形
2．若一个正方形的对角线长是2 cm，则它的面积是( A )
A．2 cm2 B．4 cm2 C．6 cm2 D．8 cm2
3．[2018·孝感]如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC＝10，BD＝24，则菱形ABCD的周长为( A )
A．52 B．48 C．40 D．20
【解析】在菱形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，AO＝CO＝AC＝5，BO＝DO＝BD＝12.根据勾股定理可知：AB＝＝＝13，所以菱形ABCD的周长＝4AB＝4×13＝52.故选A.
4．如图，若矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠AOD＝120°，AC＝8，则△ABO的周长为( B )
A．16 B．12 C．24 D．20
5．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，AD＝2，DE＝2，则四边形OCED的面积为( A )
A．2 B．4 C．4 D．8
6．如图，在矩形ABCD中，AD＝10，AB＝6，点E为BC上一点，ED平分∠AEC，则CE的长为( B )
A．1 B．2 C．3 D．4
第6题图
第7题图
7．如图，AC是正方形ABCD的对角线，点E为AC上一点，连结EB、ED.当∠BED＝126°时，∠EDA的度数为( D )
A．54° B．27° C．36° D．18°
8．[2018·衢州]如图，将矩形ABCD沿GH折叠，点C落在点Q处，点D落在AB边上的
点E处．若∠AGE＝32°，则∠GHC的度数为( D )
A．112° B．110°
C．108° D．106°
【解析】根据折叠前后角相等可知∠DGH＝∠EGH.∵∠AGE＝32°，∴∠EGH＝74°.∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AGH＝∠GHC＝∠EGH＋∠AGE，∴∠GHC＝106°，故选D.
9．小红用次数最少的对折方法验证了一条四边形丝巾的形状是正方形，她对折了( B )
A．1次 B．2次 C．3次 D．4次
10．[2017·绵阳]如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作BD的垂线分别交AD、BC于E、F两点．若AC＝2，∠AEO＝120°，则FC的长度为( A )
A．1 B．2 C. D.
【解析】 ∵EF⊥BD，∠AEO＝120°，
∴∠EDO＝30°，∠DEO＝60°.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠OBF＝∠OCF＝30°，∠BFO＝60°，
∴∠FOC＝60°－30°＝30°，
∴OF＝CF.
又∵Rt△BOF中，BO＝BD＝AC＝，
∴OF＝1，∴CF＝1，故选A.
二、填空题(每题4分，共20分)
11．[2017·六盘水]如图，在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E、F分别在边BC和CD上，则∠AEB＝__75__度．
【解析】 ∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD，∠B＝∠D＝90°.∵三角形AEF为等边三角形，∴AE＝AF，∠EAF＝60°.∵AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，AE＝AF，∴△ABE≌ADF，∴∠BAE＝∠DAF＝15°，∴∠AEB＝75°.
12．[2018·葫芦岛]如图，在菱形AOCB中，点B在x轴上，点A的坐标为(2，3)，则点C的坐标为__(2，－3)__．
【解析】关于x轴对称的两个点的坐标特征：横坐标相同，纵坐标互为相反数，点A与点C关于x轴对称，点A的坐标为(2，3)，故点C的坐标为(2，－3)．
13．如图，△ABC是等腰三角形，把它沿底边BC翻折后，得到△DBC，则四边形ABDC为__菱形__，理由是__四条边相等的四边形是菱形__．
14．[2018·深圳]如图，四边形ACDF是正方形，∠CEA和∠ABF都是直角且点E、A、B三点共线，AB＝4，则阴影部分的面积是__8__．
【解析】∵四边形ACDF是正方形，∴AC＝AF，∠CAF＝90°.又∵∠CEA是直角，∴∠CAE＋∠BAF＝90°，∠CAE＋∠ACE＝90°，∴∠EAC＝∠BFA.在△ACE和△FAB中，∴△ACE≌△FAB(AAS)，∴CE＝AB＝4，∴S阴影＝AB·CE＝×4×4＝8.
15．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AB、CA上，且DE∥CA，DF∥BA.则下列说法：
①四边形AEDF是平行四边形；
②如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形；
③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；
④如果∠BAC＝90°，AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是正方形．
其中正确的是__①②③④__(只填写序号)．
三、解答题(共70分)
16．(8分)如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在AB、CD边上，BE＝DF，连结CE、AF.
求证：AF＝CE.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴DC∥AB，DC＝AB，
∴CF∥AE.
∵DF＝BE，∴CF＝AE，
∴四边形FAEC是平行四边形，
∴AF＝CE.
17．(8分)如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE，求证：四边形BECF是正方形．
证明：∵BF∥CE，CF∥BE，
∴四边形BECF是平行四边形．
又∵在矩形ABCD中，
BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，
∴∠EBC＝∠ECB＝45°，
∴∠BEC＝90°，BE＝CE，
∴四边形BECF是正方形．
18．(10分)如图，AC是ABCD的对角线，∠BAC＝∠DAC.
(1)求证：AB＝BC；
(2)若AB＝2，AC＝2，求ABCD的面积．
答图
解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA.
∵∠BAC＝∠DAC，
∴∠BAC＝∠BCA，
∴AB＝BC.
(2)连结BD，交AC于点O，如答图所示．
∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝，
OB＝OD＝BD，
∴OB＝＝＝1，
∴BD＝2OB＝2，
∴菱形ABCD的面积为
AC×BD＝×2×2＝2.
19．(10分)如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，∠B＝90°，F为DC上一点，且FC＝AB，E为AD上一点，EC交AF于点G.
(1)求证：四边形ABCF是矩形；
(2)若ED＝EC，求证：EA＝EG.
证明：(1)∵AB∥DC，FC＝AB，
∴四边形ABCF是平行四边形．
∵∠B＝90°，
∴四边形ABCF是矩形．
(2)由(1)可得，∠AFC＝90°，
∴∠DAF＝90°－∠D，∠CGF＝90°－∠ECD.
∵ED＝EC，∴∠D＝∠ECD.
∴∠DAF＝∠CGF.
∵∠EGA＝∠CGF，∴∠EAG＝∠EGA，
∴EA＝EG.
20．(10分)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，过点O的直线EF分别与AD、BC交于点E、F，EF⊥AC，连结AF、CE.
(1)求证：OE＝OF；
(2)判断四边形AECF是什么特殊四边形，并证明你的结论．
解：(1)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，OB＝OD，
∴∠EDO＝∠FBO.
在△EDO和△FBO中，
∴△EDO≌△FBO，
∴OE＝OF.
(2)四边形AECF是菱形．证明如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC.
又∵OE＝OF，∴四边形AECF是平行四边形．
∵EF⊥AC，∴四边形AECF是菱形．
21．(12分)如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，连结CF.
(1)求证：AD＝AF；
(2)如果AB＝AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．
解：(1)证明：∵AF∥BC，
∴∠EAF＝∠EDB.
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE.
在△AEF和△DEB中，
∴△AEF≌△DEB，∴AF＝BD.
∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是中线，
∴AD＝BD＝DC＝BC，∴AD＝AF.
(2)四边形ADCF是正方形．证明如下：
∵AF＝BD＝DC，AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形．
∵AB＝AC，AD是中线，∴AD⊥BC.
∵AD＝AF，∴四边形ADCF是正方形．
22．(12分)[2018·崇州市期末]如图1，四边形OABC是菱形，点C在x轴上，AB交y轴于点H，AC交y轴于点M.已知点A(－3，4)．
(1)求AO的长；
(2)求直线AC的解析式和点M的坐标；
(3)如图2，点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿折线A－B－C运动，到达点C终止．设点P的运动时间为t秒，△PMB的面积为S.
①求S与t的函数关系式；
②求S的最大值．
,图1) ,图2)
解：(1)∵A(－3，4)，
∴AH＝3，OH＝4，
由勾股定理得AO＝＝5.
(2)∵四边形OABC是菱形，
∴OA＝OC＝BC＝AB＝5，
5－3＝2，
∴B(2，4)、C(5，0)．
设直线AC的解析式是y＝kx＋b，
把A(－3，4)、C(5，0)代入得
解得
∴直线AC的解析式为y＝－x＋，
当x＝0时，y＝2.5，
∴M(0，2.5)．
(3)①如答图，过M作MN⊥BC于点N.
,答图)
∵四边形OABC是菱形，
∴∠BCA＝∠OCA.
∵MO⊥CO，MN⊥BC，
∴OM＝MN.
当0≤t＜2.5时，P在AB上，MH＝4－2.5＝，
S＝×BP×MH＝×(5－2t)×＝－t＋；
当t＝2.5时，P与B重合，△PMB不存在；
当2.5＜t≤5时，P在BC上，S＝×PB×MN＝×(2t－5)×＝t－.
综上所述，S与t的函数关系式是
S＝
②当P在AB上时，高MH一定，只有BP取最大值即可，即P与A重合，S最大是×5×＝；
同理在BC上时，P与C重合时，S最大是×5×＝，
综上所述，S的最大值是.
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