八年级下册数学（人教版）-第十七章-勾股定理-同步提升练习（含答案）
一、单选题
1. ( 2分 ) 直角三角形的两条直角边长分别为4和6，那么斜边长是（ ）
A. 2 B. 2 C. 52 D.
2. ( 2分 )如图，点A在半径为3的⊙O内，OA=，P为⊙O上一点，当∠OPA取最大值时，PA的长等于（ ）.
A. B. C. D.
3. ( 2分 ) 下面各组数是三角形三边长，其中为直角三角形的是 （ ）
A. 8，12，15 B. 5，6，8 C. 8，15，17 D. 10，15，20
4. ( 2分 ) 已知一个直角三角形的两条边长分别是6和8，则第三边长是（ ）
A. 10 B. 8 C. 2 D. 10或2
5. ( 2分 ) 如图，已知正方形B的面积为144，正方形C的面积为169时，那么正方形A的面积为（ ）
A. 313 B. 144 C. 169 D. 25
6. ( 2分 ) 如图，直角三角形两直角边的长分别为3和4，以直角三角形的两直边为直径作半圆，则阴影部分的面积是（ ）
A. 6 B. C. 2π D. 12
7. ( 2分 ) 已知，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，两船相距
A. 25海里 B. 30海里 C. 35海里 D. 40海里
8. ( 2分 ) △ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长为（ ）
A. 42 B. 32 C. 42或32 D. 37或33
9. ( 2分 ) 如图，点A的正方体左侧面的中心，点B是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程是（ ）
A. 3 B. +2 C. D. 4
二、填空题
10. ( 1分 ) 若一个直角三角形两边长为12和5，第三边为x，则x2=________．
11. ( 3分 ) 有一根长24cm的小木棒，把它分成三段，组成一个直角三角形，且每段的长度都是偶数，则三段小木棒的长度分别是________ cm，________cm，________ cm．
12. ( 1分 ) 若 +|b﹣2|=0，则以a，b为边长的直角三角形的周长为________．
13. ( 1分 ) 如图，一架5米长的梯子AB，斜靠在一堵竖直的墙AO上，这时梯顶A距地面4米，若梯子沿墙下滑1米，则梯足B外滑________米．
14. ( 1分 ) 在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1 ， S2 ， S3 ， S4 ， 则S1+S2+S3+S4=________
15. ( 1分 ) 甲、乙两同学在某地分手后，甲向北走了30米，乙向东走了40米，此时两人
相距________米．
三、解答题
16. ( 5分 ) 如图，一架长2.5m的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时，梯底距墙底端0.7m，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m，则梯子的底端将滑出多少米？
17. ( 5分 ) 如图所示，在四边形ABCD中，∠A=90°，AB=3，AD=4，BC=13，CD=12，求四边形ABCD的面积．
四、作图题
18. ( 5分 ) 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．请在给出的5×5的正方形网格中，以格点为顶点，画出两个三角形，一个三角形的长分别是、2、 ，另一个三角形的三边长分别是 、2 、5 ．（画出的两个三角形除顶点和边可以重合外，其余部分不能重合）
五、综合题
19. ( 10分 ) 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=20cm，BC=15cm．现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动．如果点P的速度是4cm/秒，点Q的速度是2cm/秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止
运动，设运动的时间为t秒．求：
（1）用含t的代数式表示Rt△CPQ的面积S；
（2）当t=3秒时，P、Q两点之间的距离是多少？
20. ( 11分 ) 在△ABC中， AB、BC、AC三边的长分别为 、 、 ，求这个三角形的面积．小华同学在解答这道题时，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．这种方法叫做构图法．
（1）△ABC的面积为：________．
（2）若△DEF三边的长分别为 、 、 ，请在图2的正方形网格中画出相应的△DEF，并利用构图法求出它的面积．
（3）如图3，一个六边形的花坛被分割成7个部分，其中正方形PRBA，RQDC，QPFE的面积分别为13、10、17，请利用第2小题解题方法求六边形花坛ABCDEF的面积．
21. ( 10分 ) 如图是单位长度是1的网格
（1）在图1中画出一条边长为 的线段；
（2）在图2中画出一个以格点为顶点，三边长都为无理数的直角三角形．
答案部分
一、单选题
1.【答案】A
【解析】【解答】解：由勾股定理得，斜边长= =2 ，
故选：A．
【分析】根据勾股定理计算即可．
2.【答案】 B
【解析】【解答】在△OPA中,当∠OPA取最大值时,OA取最大值,
∴PA取最小值,
又∵OA、OP是定值,
∴PA⊥OA时,PA取最小值；
在直角三角形OPA中,OA=,OP=3,
∴．
故选：B
3.【答案】C
【解析】【分析】A．82+122≠152 ， 故不是直角三角形，错误；
B．52+62≠82 ， 故不是直角三角形，错误；
C．82+152=172 ， 故是直角三角形，正确；
D．102+152≠202 ， 故不是直角三角形，错误。
故选C．
4.【答案】D
【解析】【解答】解：当8是斜边时，第三边长= =2 ；
当6和8是直角边时，第三边长= =10；
∴第三边的长为：2 或10，
故选D．
【分析】已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即8是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．
5.【答案】D
【解析】【解答】解：如图所示：
根据题意得：EF2=169，DF2=144，
在Rt△DEF中，由勾股定理得：
DE2=EF2﹣DF2=169﹣144=25，
即正方形A的面积为25；
故选：D
【分析】由正方形的面积得出EF2=169，DF2=144，在Rt△DEF中，由勾股定理得出DE2=EF2﹣DF2 ， 即可得出结果．
6.【答案】 A
【解析】【解答】解：如图所示：
∵∠BAC=90°，AB=4cm，AC=3cm，BC=5cm，
∴以AB为直径的半圆的面积S1=2π（cm2）；
以AC为直径的半圆的面积S2= π（cm2）；
以BC为直径的半圆的面积S3= π（cm2）；
S△ABC=6（cm2）；
∴S阴影=S1+S2+S△ABC﹣S3=6（cm2）；
故选A．
【分析】分别求出以AB、AC、BC为直径的半圆及△ABC的面积，再根据S阴影=S1+S2+S△ABC﹣S3即可得出结论．
7.【答案】 D
【解析】【分析】根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角．然后根据路程=速度×时间，得两条船分别走了32，24．再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离．
【解答】
【解答】
∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向，
∴∠BAC=90°，
两小时后，两艘船分别行驶了16×2=32海里，12×2=24海里，
根据勾股定理得：
（海里)．
故选D．
8.【答案】C
【解析】【解答】解：直角△ACD中：CD=
在直角△ABD中：BD=
当D在线段BC上时，如图（1）：BC=BD+CD=14，△ABC的周长是：15+13+14=42；
当D在线段BC的延长线上时，如图（2）：BC=CD﹣BD=4，△ABC的周长是：15+13+4=32；
故△ABC的周长是42或32．
故选C．
【分析】在直角△ACD与直角△ABD中，根据勾股定理即可求得BD，CD的长，得到BC的长．即可求解．
9.【答案】C
【解析】【解答】解：如图，AB==． 故选C．
【分析】将正方体的左侧面与前面展开，构成一个长方形，用勾股定理求出距离即可．
二、填空题
10.【答案】169或119
【解析】【解答】解：（1）若12是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理，得122+52=x2 ， 所以x2=169； ⑵若12是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理，得x2=122﹣52 ， 所以x2=119；
故x2=169或119．
【分析】本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即12是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．
11.【答案】6；8；10
【解析】【解答】解：设三边为3x，4x，5x，
则3x+4x+5x=24，
x=2，
即三角形三边是6，8，10，根据勾股定理的逆定理，
故答案为：6，8，10．
【分析】如果三角形的三边长a、b、c有关系：a2+b2=c2 ， 那么这个三角形是直角三角形，设三边为3x，4x，5x，得出3x+4x+5x=24，求出即可．
12.【答案】3+ 或3+
【解析】【解答】解：∵ +|b﹣2|=0，
∴a﹣1=0，b﹣2=0，
解得：a=1，b=2，
则当a，b是直角边时，斜边长为： ，
此时直角三角形的周长为：3+ ，
当b为斜边长，则另一直角边长为： ，
故此时直角三角形的周长为：3+ ，
故以a，b为边长的直角三角形的周长为：3+ 或3+ ．
故答案为：3+ 或3+ ．
【分析】直接利用偶次方的性质以及绝对值的性质得出a，b的值，进而利用分类讨论分析得出答案．
13.【答案】1
【解析】【解答】解：在Rt△ABO中，根据勾股定理知，BO= =3（m）， 在Rt△COD中，根据勾股定理知，DO= =4（m），
所以BD=DO﹣BO=1（米）．
故答案为：1．
【分析】梯子的长是不变的，只要利用勾股定理解出梯子滑动前和滑动后的所构成的两直角三角形即可．
14.【答案】4
【解析】【解答】
解：观察发现，
∵AB=BE，∠ACB=∠BDE=90°，
∴∠ABC+∠BAC=90°，∠ABC+∠EBD=90°，
∴∠BAC=∠EBD，
∴△ABC≌△BDE（AAS），
∴BC=ED，
∵AB2=AC2+BC2 ，
∴AB2=AC2+ED2=S1+S2 ，
即S1+S2=1，
同理S3+S4=3．
则S1+S2+S3+S4=1+3=4．
故答案为：4．
【分析】运用勾股定理可知，每两个相邻的正方形面积和都等于中间斜放的正方形面积，据
此即可解答．
15.【答案】50
【解析】【解答】解：∵正北与正东互相垂直， ∴根据勾股定理得：此时两人相距= =50米．
故答案为：50．
【分析】利用勾股定理直接计算即可．
三、解答题
16.【答案】解：如图AB=CD=2.5米，OB=0.7米，AC=0.4，求BD的长．
在Rt△AOB中，
∵AB=2.5，BO=0.7，
∴AO=2.4，
∵AC=0.4，
∴OC=2，
∵CD=2.5，
∴OD=1.5，
∵OB=0.7，
∴BD=0.8．
即梯子底端将滑动了0.8米
【解析】【分析】根据图形得到两个直角三角形，将问题转化为直角三角形问题利用勾股定理解答．
17.【答案】解：连接BD
∵∠A=90°，AB=3，AD=4，
∴BD= =5．
∵在△BCD中，BD2+DC2=25+144=169=CB2 ，
∴△BCD是直角三角形，
∴S四边形ABCD= AB•AD+ BD•CD
= ×3×4+ ×5×12
=36．
故四边形ABCD的面积是36．
【解析】【分析】连接BD．先根据勾股定理求出BD的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出△BCD的形状，再利用三角形的面积公式求解即可．
四、作图题
18.【答案】解：△ABC中，AC= ，AB=2，BC= ， △DEF中，DF= ，EF=2 ，DE=5 ．
则△ABC和△DEF即为所求．
【解析】【分析】根据勾股定理在正方形网格中画出三角形的三边长，得到所求的三角形．
五、综合题
19.【答案】（1）解：由题意得AP=4t，CQ=2t，则CP=20﹣4t， ∴Rt△CPQ的面积为S= （20﹣2t）×2t=20t﹣4t2（cm2）
（2）解：当t=3秒时，CP=20﹣4t=8cm，CQ=2t=6cm， 在Rt△PCQ中，由勾股定理得：PQ= =10cm
【解析】【分析】（1）由点P，点Q的运动速度和运动时间，又知AC，BC的长，可将CP、CQ用含t的表达式求出，代入直角三角形面积公式S△CPQ= CP×CQ求解；（2）在Rt△CPQ中，由（1）可知CP、CQ的长，运用勾股定理可将PQ的长求出．
20.【答案】（1）
（2）解：如图所示，
（3）解：利用构图法计算出 的面积相等，计算出六边形花坛的面积为
【解析】【分析】根据勾股定理求出各个直角边的长，利用构图法先计算出矩形或正方形的面积，再减去直角三角形的面积，得到所求三角形或其他图形的面积.
21.【答案】（1）解：由勾股定理得： = ， 线段AB即为所求，
如图1所示：
（2）解：由勾股定理得： = ， = ， = ，；
∵（ ）2+（2 ）2=（ ）2 ，
∴以边长 、2 、 的三角形为直角三角形，
如图2所示．
【解析】【分析】（1）由勾股定理得出 = ，画出线段即可；（2）画一个边长 、2 、 的三角形即可．
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