二次函数和圆
1.下列关系式中，属于二次函数的是(x为自变量)( )
A.y＝x2 B.y＝－ C.y＝ D.y＝a4x4
2.抛物线y＝2x2，y＝－2x2，y＝x2的共同性质是( )
A.开口向上 B.对称轴是y轴 C.都有最高点 D.y随x的增大而增大
3.若二次函数y＝(x－m)2－1，当x≤1时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是( )
A.m＝1 B.m＞1 C.m≥1 D.m≤1
4.如图，AB是⊙O的直径.若∠BAC＝35°，那么∠ADC＝( )
A.35° B.55° C.70° D.110°
5.在同圆中，下列四个命题：①圆心角是顶点在圆心的角；②两个圆心角相等，它们所对的弦也相等；③两条弦相等，它们所对的弧也相等；④等弧所对的圆心角相等.其中真命题有( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
6.如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，连接BC.BD.下列结论错误的是( )
A.AE＝BE B. C.OE＝DE D. .∠DBC＝90°
7.如图，AD.AE.CB均为⊙O的切线，D.E.F分别是切点，AD＝8，则△ABC的周长为( )
A.8 B.12 C.16 D.不能确定
8.如果二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，那么一次函数y＝bx＋c和反比例函数y＝在同一坐标系中的图象大致是( )
9.如图，圆形薄铁片与直角三角尺、直尺紧靠在一起平放在桌面上.已知铁片的圆心为O，三角尺的直角顶点C落在直尺的10cm处，铁片与直尺的唯一公共点A落在直尺的14cm
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处，铁片与三角尺的唯一公共点为B.下列说法错误的是( )
A.圆形铁片的半径是4cm B.四边形AOBC为正方形
C.弧AB的长度为4πcm D.扇形OAB的面积是4πcm2
10.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，并且关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c－m＝0有两个不相等的实数根，下列结论：①b2－4ac＜0；②abc＞0；③a－b＋c＜0；④m＞－2，其中正确的个数有( )
A.1 B.2 C.3 D.4
11.如图，扇形OAB的圆心角为120°，半径为3，则该扇形的弧长为 (结果保留π).
12.已知抛物线y＝x2－4x上有两点P1(3，y1)、P2(－，y2)，则y1与y2的大小关系为：y1 y2(填“＞”“＜”或“＝”).
13.如图，⊙I是△ABC的内切圆，D.E.F为三个切点，若∠DEF＝52°，则∠A的度数为 .
14.某软件商店销售一种益智游戏软件，如果以每盘50元的售价销售，一个月能售出500盘，根据市场分析，若销售单价每涨价1元，月销售量就减少10盘，当每盘的售价涨x元(x取整数)时，该商店月销售额y(元)与x的函数关系式为 ，自变量x的取值范围是 .
15.设A.B.C三点依次分别是抛物线y＝x2－2x－5与y轴的交点以及与x轴的两个交点，则△ABC的面积是 .
16. 已知二次函数y＝－x2＋2x＋m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程－x2＋2x＋m＝0的解为 .
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17. 已知抛物线y＝x2＋x－.
(1)用配方法求出它的顶点坐标和对称轴；
(2)若抛物线与x轴的两个交点为A.B，求线段AB的长.
18. 如图，AB是半圆O的直径，C.D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E.
(1)若∠B＝70°，求∠CAD的度数；
(2)若AB＝4，AC＝3，求DE的长.
19. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
x
…
－1
0
1
2
3
4
…
y
…
10
5
2
1
2
5
…
(1)求该二次函数的关系式；
(2)当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？
(3)若A(m，y1)、B(m＋1，y2)两点都在该函数的图象上，试比较y1与y2的大小.
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20. 如图，已知AB是⊙O的直径，点C.D在⊙O上，∠D＝60°且AB＝6，过O点作OE⊥AC，垂足为E.
(1)求OE的长；
(2)若OE的延长线交⊙O于点F，求弦AF、AC和围成的图形(阴影部分)的面积.
21. 某公司经销一种绿茶，每千克成本为50元，市场调查发现，在一段时间内，销售量w(千克)随销售单价x(元/千克)的变化而变化，具体关系为w＝－2x＋240，且物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于90元/千克.设这种绿茶在这段时间内的销售利润为y(元)，解答下列问题：
(1)求y与x的函数关系式；
(2)当x取何值时，y的值最大？
(3)如果公司想要在这段时间内获得2250元的销售利润，销售单价应定为多少元？
22. 如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且BD＝BC，延长AD到E，且有∠EBD＝∠CAB.
(1)求证：BE是⊙O的切线；
(2)若BC＝，AC＝5，求圆的直径AD及切线BE的长.
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23. 如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过A(－3,0)、B(5,0)、C(0,5)三点，O为坐标原点.
(1)求此抛物线的解析式；
(2)若把抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)向下平移个单位长度，再向右平移n(n＞0)个单位长度得到新抛物线，若新抛物线的顶点M在△ABC内，求n的取值范围；
(3)设点P在y轴上，且满足∠OPA＋∠OCA＝∠CBA，求CP的长.
参考答案：
1—10 ABCBB CCACB
11. 2π
12. ＜
13. 76°
14. y＝－10x2＋25000 0≤x≤50且x为整数
15. 5
16. x1＝－1，x2＝3
17. 解：(1)y＝(x＋1)2－3，它的顶点坐标为(－1，－3)，对称轴为x＝－1；
(2)令y＝0，∴(x＋1)2－3＝0，∴x1＝－1＋，x2＝－1－，∴AB＝|－1＋－(－1－)|＝2.
18. 解：(1)∵OD∥BC，∴∠DOA＝∠B＝70°，又∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO＝55°，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB＝20°，∴∠CAD＝35°；
(2)在Rt△ACB中，BC＝，O是AB中点，OD∥BC，∴OE＝＝，∴DE＝2－.
19. 解：(1)依题意设y＝a(x－2)2＋1，把(3,2)代入得a＝1，∴y＝(x－2)2＋1；
(2)当x＝2时，y有最小值，最小值为1；
(3)当m≥2时，y2≥y1，当m＜1时，y1＞y2.
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20. 解：(1)连接OC，∵∠D和∠AOC分别是所对的圆周角和圆心角，∠D＝60°，∴∠AOC＝2∠D＝120°，∵OE⊥AC，∴∠AOE＝∠COE＝∠AOC＝60°，∠OAE＝30°.∵AB是⊙O的直径，AB＝6，∴OA＝3，∴OE＝OA＝；
(2)∵OE＝OA，∴EF＝OE.∵OE⊥AC，∴∠AEF＝∠CEO＝90°，AE＝CE.∴△AEF≌△CEO.∴S阴影＝S扇形COF＝＝π.
21. 解：(1)y＝(x－50)·w＝(x－50)·(－2x＋240)＝－2x2＋340x－12000，∴y与x的关系式为：y＝－2x2＋340x－12000；
(2)y＝－2x2＋340x－12000＝－2(x－85)2＋2450，∴当x＝85时，y的值最大；
(3)当y＝2250时，可得方程－2(x－85)2＋2450＝2250.解这个方程，得x1＝75，x2＝95，根据题意，x2＝95不合题意，应舍去.∴当销售单价为75元/千克时，可获得销售利润2250元.
22. 解：(1)如图，连接OB，∵BD＝BC，∴∠CAB＝∠BAD，∵∠EBD＝∠CAB，∴∠BAD＝∠EBD，∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD＝90°，OA＝BO，∴∠BAD＝∠ABO，∴∠EBD＝∠ABO，∴∠OBE＝∠EBD＋∠OBD＝∠ABD＋∠OBD＝∠ABD＝90°，∵点B在⊙O上，∴BE是⊙O的切线；
(2)设圆的半径为R，连接CD，∵AD为⊙O的直径，∴∠ACD＝90°，∵BC＝BD，∴OB⊥CD，∴OB∥AC，∵OA＝OD，∴OF＝AC＝，∵四边形ACBD是圆内接四边形，∴∠BDE＝∠ACB，∵∠DBE＝∠CAB，∴△DBE∽△CAB，∴＝，∴DE＝，∵∠OBE＝∠OFD＝90°，∴DF∥BE，∴＝，∵R＞0，∴R＝3，∵BE是⊙O的切线，∴BE＝＝＝.
23. 解：(1)把A.B.C三点的坐标代入函数解析式可得，抛物线解析式为y＝－x2＋x＋5；
(2)∵抛物线顶点坐标为(1，)，新抛物线的顶点M坐标为(1＋n,1)，设直线BC解析式为y＝kx＋m，把B.C两点坐标代入可得，解得，∴直线BC的解析式为y＝－x＋5，令y＝1，代入可得1＝－x＋5，解得x＝4，∵新抛物线的顶点M在△ABC内，∴1＋n＜4，且n＞0，解得0＜n＜3，即n的取值范围为0＜n＜3；
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(3)当点P在y轴负半轴上时，如图1，过P作PD⊥AC，交AC的延长线于点D，由题意可知OB＝OC＝5，∴∠CBA＝45°，∴∠PAD＝∠OPA＋∠OCA＝∠CBA＝45°，∴AD＝PD，在Rt△OAC中，OA＝3，OC＝5，可求得AC＝，设PD＝AD＝m，则CD＝AC＋AD＝＋m，∵∠ACO＝∠PCD，∠COA＝∠PDC，∴△COA∽△CDP，∴＝＝，即＝＝，由＝可求得m＝，∴＝，解得PC＝17；可求得PO＝PC－OC＝17－5＝12，如图2，在y轴正半轴上截取OP′＝OP＝12，连接AP′，则∠OP′A＝∠OPA，∴∠OP′A＋∠OCA＝∠OPA＋∠OCA＝∠CBA，∴P′也满足题目条件，此时P′C＝OP′－OC＝12－5＝7，综上可知PC的长为7或17.
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