2017-2018学年山西省晋中市灵石县七年级（下）期中数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下列运算结果正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5 B．a3÷a2＝a C．a2•a3＝a6 D．（a2）3＝a5
2．如图，直线AB与直线CD相交于点O，E是∠AOD内一点，已知OE⊥AB，∠BOD＝45°，则∠COE的度数是（ ）
A．125° B．135° C．145° D．155°
3．若4x2+mxy+9y2是一个完全平方式，则m＝（ ）
A．6 B．12 C．±6 D．±12
4．下列说法错误的是（ ）
A．同角或等角的余角相等 B．同角或等角的补角相等
C．两个锐角的余角相等 D．两个直角的补角相等
5．小刚徒步到同学家取自行车，在同学家逗留几分钟后他骑车原路返回，他骑车速度是徒步速度的3倍．设他从家出发后所用的时间为t（分钟），所走的路程为s（米），则s与t的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
6．某工厂生产A，B两种型号的螺丝，在2016年12月底时，该工厂统计了2016年下半年生产的两种型号螺丝的总量，据统计2016年下半年生产的A型号螺丝的总量为a12个，A型号螺丝的总量是B型号的a4倍，则2016年下半年该工厂生产的B型号螺丝的总量为（ ）
A．a4个 B．a8个 C．a3个 D．a48个
7．如果每盒圆珠笔有12枝，售价18元，那么圆珠笔的销售额y（元）与圆珠笔的销售枝数x之间的函数关系式是（ ）
A．y＝x B．y＝x C．y＝12x D．y＝
8．如图，点C在∠AOB的OB边上，用尺规作出了CN∥OA，作图痕迹中，是（ ）
A．以点C为圆心，OD为半径的弧
B．以点C为圆心，DM为半径的弧
C．以点E为圆心，OD为半径的弧
D．以点E为圆心，DM为半径的弧
9．若a＝﹣0.32，b＝（﹣3）﹣2，c＝（﹣）﹣2，d＝（﹣）0，则（ ）
A．a＜b＜c＜d B．a＜b＜d＜c C．a＜d＜c＜b D．c＜a＜d＜b
10．如图，若两条平行线EF，MN与直线AB，CD相交，则图中共有同旁内角的对数为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
二、填空题（本大题共5小题，每题3分，共15分）
11．已知a2+b2＝12，a﹣b＝4，则ab＝ ．
12．实验表明，人体某种细胞的形状可以近似地看作球，它的直径约为0.00000015m，这个数用科学记数法表示为 m．
13．如图，直线a，b与直线c相交，给出下列条件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠6；③∠4+∠7＝180°；④∠5+∠3＝180°，其中能判断a∥b的是 （填序号）．
14．某登山队从大本营出发，在向上攀登的过程中，测得所在位置的气温y℃与向上攀登的高度x km的几组对应值如表：
向上攀登的高度x/km
0.5
1.0
1.5
2.0
气温y/℃
2.0
﹣0.9
﹣4.1
﹣7.0
若每向上攀登1km，所在位置的气温下降幅度基本一致，则向上攀登的海拔高度为2.5km时，登山队所在位置的气温约为 ℃．
15．如图，超市里的购物车，扶手AB与车底CD平行，∠2比∠3大10°，∠1是∠2的倍，∠2的度数是 ．
三、解答题（共75分）
16．（22分）（1）计算：
①（﹣x）3÷x•（﹣x）2
②（﹣a）3•（﹣a2）3
③（m﹣1）2•（1﹣m）﹣1+（1﹣m）3•（m﹣1）3
④（﹣）2017×（2）2018
（2）先化简，再求值：
①（a+b）（a﹣b）﹣（a﹣2b）2，其中a＝2，b＝﹣1；
②（x+2y）（x﹣2y）﹣（2x﹣y）2+（3x﹣y）（2x﹣5y），其中x＝﹣1，y＝﹣2．
17．（6分）王老师家买了一套新房，其结构如图所示（单位：m）．他打算将卧室铺上木地板，其余部份铺上地砖．
（1）木地板和地砖分别需要多少平方米？
（2）如果地砖的价格为每平方米x元，木地板的价格为每平方米3x
元，那么王老师需要花多少钱？
18．（6分）如图，由相同边长的小正方形组成的网格图形，A、B、C都在格点上，利用网格画图．
（1）过点C画AB的平行线CF，标出F点；
（2）过点B画AC的垂线BG，垂足为点G，标出G点；
（3）点B到AC的距离是线段 的长度；
（4）线段BG、AB的大小关系为：BG AB（填“＞”、“＜”或“＝”），理由是 ．
19．（6分）图1中的摩天轮可抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度y（m）与旋转时间x（min）之间的关系如图2所示，根据图中的信息，回答问题：
（1）根据图2补全表格：
旋转时间x/min
0
3
6
8
12
…
高度y/m
5
5
5
…
（2）如表反映的两个变量中，自变量是 ，因变量是 ；
（3）根据图象，摩天轮的直径为 m，它旋转一周需要的时间为 min．
20．（8分）如图①是大众汽车的图标，图②是该图标抽象的几何图形，且AC∥BD，∠A＝∠B，试猜想AE与BF的位置关系，并说明理由．
21．（8分）先阅读后作答：我们已经知道，根据几何图形的面积关系可以说明完全平方，实际上还有一些等式也可以用这种方式加以说明，例如：（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2，就可以用图①的面积关系来说明．
（1）根据图②写出一个等式： ．
（2）已知等式：（x+1）（x+3）＝x2+4x+3，请你画出一个相应的几何图形加以说明（仿照图①或图②画出图形即可）．
22．（9分）请把下面证明过程补充完整：
已知：如图，∠ADC＝∠ABC，BE、DF分别平行∠ABC、∠ADC，且∠1＝∠2．求证：∠A＝∠C．
证明：因为BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC（ ），
所以∠1＝∠ABC，∠3＝∠ADC（ ）．
因为∠ABC＝∠ADC（已知），
所以∠1＝∠3（ ），
因为∠1＝∠2（已知），
所以∠2＝∠3（ ）．
所以 ∥ （ ）．
所以∠A+∠ ＝180°，∠C+∠ ＝180°（ ）．
所以∠A＝∠C（ ）．
23．（10分）已知，两直线AB，CD，且AB∥CD，点M，N分别在直线AB，CD上，放置一个足够大的三角尺，使得三角尺的两边EP，EQ分别经过点M，N，过点N作射线NF，使得∠ENF＝∠ENC．
（1）转动三角尺，如图①所示，当射线NF与NM重合，∠FND＝45°时，求∠AME的度数；
（2）转动三角尺，如图②所示，当射线NF与NM不重合，∠FND＝60°时，求∠AME的度数．
（3）转动直角三角尺的过程中，请直接写出∠FND与∠AME之间的数量关系．
2017-2018学年山西省晋中市灵石县七年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下列运算结果正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5 B．a3÷a2＝a C．a2•a3＝a6 D．（a2）3＝a5
【分析】原式各项计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式不能合并，不符合题意；
B、原式＝a，符合题意；
C、原式＝a5，不符合题意；
D、原式＝a6，不符合题意，
故选：B．
【点评】此题考查了同底数幂的除法，合并同类项，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2．如图，直线AB与直线CD相交于点O，E是∠AOD内一点，已知OE⊥AB，∠BOD＝45°，则∠COE的度数是（ ）
A．125° B．135° C．145° D．155°
【分析】利用垂直的定义，结合已知条件先求∠EOD的度数，再根据补角定义，求∠COE的度数．
【解答】解：∵OE⊥AB，∠BOD＝45°，
∴∠EOD＝90°﹣45°＝45°（余角定义），
∴∠COE＝180°﹣45°＝135°（补角定义），
故选：B．
【点评】利用互余互补的性质计算．
3．若4x2+mxy+9y2是一个完全平方式，则m＝（ ）
A．6 B．12 C．±6 D．±12
【分析】这里首末两项是2x和3y这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去2x和3y积的2倍，故m＝±12．
【解答】解：加上或减去2x和3y积的2倍，
故m＝±12．
故选：D．
【点评】本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．
4．下列说法错误的是（ ）
A．同角或等角的余角相等 B．同角或等角的补角相等
C．两个锐角的余角相等 D．两个直角的补角相等
【分析】利用命题的判断方法，找出其中的假命题即可．
【解答】解：A，B，D均为真命题，C中如果两个锐角不相等那么他们的余角也不相等所以C为假命题．
故选：C．
【点评】本题考查了余角和补角，利用命题的判断方法去做即可．
5．小刚徒步到同学家取自行车，在同学家逗留几分钟后他骑车原路返回，他骑车速度是徒步速度的3倍．设他从家出发后所用的时间为t（分钟），所走的路程为s（米），则s与t的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据题意，把小刚的运动过程分为三个阶段，分别分析出s、t之间的变化关系，从而得解．
【解答】解：小刚取车的整个过程共分三个阶段：
①徒步从家到同学家，s随时间t的增大而增大；
②在同学家逗留期间，s不变；
③骑车返回途中，速度是徒步速度的3倍，s随t的增大而增大，并且比徒步时的直线更陡；
纵观各选项，只有B选项符合．
故选：B．
【点评】本题考查了函数图象，根据题意，分析出整个过程的运动情况，并判断出各阶段的图象变化情况是解题的关键．
6．某工厂生产A，B两种型号的螺丝，在2016年12月底时，该工厂统计了2016年下半年生产的两种型号螺丝的总量，据统计2016年下半年生产的A型号螺丝的总量为a12个，A型号螺丝的总量是B型号的a4倍，则2016年下半年该工厂生产的B型号螺丝的总量为（ ）
A．a4个 B．a8个 C．a3个 D．a48个
【分析】2016年下半年生产的A型号螺丝的总量为a12个，A型号螺丝的总量是B型号的a4倍，据此可得2016年下半年该工厂生产的B型号螺丝的总量．
【解答】解：由题可得，2016年下半年该工厂生产的B型号螺丝的总量为：a12÷a4＝a8个，
故选：B．
【点评】本题主要考查了同底数幂的除法，应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．
7．如果每盒圆珠笔有12枝，售价18元，那么圆珠笔的销售额y（元）与圆珠笔的销售枝数x之间的函数关系式是（ ）
A．y＝x B．y＝x C．y＝12x D．y＝
【分析】单价为18÷12＝元，总价＝单价×数量．
【解答】解：依题意单价为18÷12＝元，
∴y＝x．
故选：A．
【点评】本题需先求出单价．根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．
8．如图，点C在∠AOB的OB边上，用尺规作出了CN∥OA，作图痕迹中，是（ ）
A．以点C为圆心，OD为半径的弧
B．以点C为圆心，DM为半径的弧
C．以点E为圆心，OD为半径的弧
D．以点E为圆心，DM为半径的弧
【分析】根据同位角相等两直线平行，要想得到CN∥OA，只要作出∠BCN＝∠AOB即可，然后再根据作一个角等于已知角的作法解答．
【解答】解：根据题意，所作出的是∠BCN＝∠AOB，
根据作一个角等于已知角的作法，是以点E为圆心，DM为半径的弧．
故选：D．
【点评】本题考查了基本作图，根据题意，判断出题目实质是作一个角等于已知角是解题的关键．
9．若a＝﹣0.32，b＝（﹣3）﹣2，c＝（﹣）﹣2，d＝（﹣）0，则（ ）
A．a＜b＜c＜d B．a＜b＜d＜c C．a＜d＜c＜b D．c＜a＜d＜b
【分析】根据乘方的运算法则、负整数指数幂、零指数幂分别计算，再比较大小可得．
【解答】解：∵a＝﹣0.32＝﹣0.09，
b＝（﹣3）﹣2＝，
c＝（﹣）﹣2＝9，
d＝（﹣）0＝1，
∴a＜b＜d＜c，
故选：B．
【点评】本题主要考查有理数的大小比较，解题的关键是掌握乘方的运算法则、负整数指数幂、零指数幂．
10．如图，若两条平行线EF，MN与直线AB，CD相交，则图中共有同旁内角的对数为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【分析】此题旨在考查同旁内角的定义，要正确解答应把握以下几点：1、分清截线与被截直线，2、作为同旁内角的两个角应在截线的同旁，被截直线之间．
【解答】解：以CD为截线，
①若以EF、MN为被截直线，有2对同旁内角，
②若以AB、EF为被截直线，有2对同旁内角，
③若以AB、MN为被截直线，有2对同旁内角；
综上，以CD为截线共有6对同旁内角．
同理：以AB为截线又有6对同旁内角．
以EF为截线，以AB、CD为被截直线，有2对同旁内角，
以MN为截线，以AB、CD为被截直线，有2对同旁内角，
综上，共有16对同旁内角．故选D．
【点评】解答此题的关键在掌握同旁内角的概念，注意要对截线的情况进行讨论．
二、填空题（本大题共5小题，每题3分，共15分）
11．已知a2+b2＝12，a﹣b＝4，则ab＝ ﹣2 ．
【分析】将a﹣b＝4两边同时平方，然后将a2+b2＝12代入所得结果进行计算即可．
【解答】解：∵a﹣b＝4，
∴a2﹣2ab+b2＝16，
∴12﹣2ab＝16，
解得：ab＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题主要考查的是完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
12．实验表明，人体某种细胞的形状可以近似地看作球，它的直径约为0.00000015m，这个数用科学记数法表示为 1.5×10﹣7 m．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n
，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.00000015m，这个数用科学记数法表示为 1.5×10﹣7m，
故答案为：1.5×10﹣7．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
13．如图，直线a，b与直线c相交，给出下列条件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠6；③∠4+∠7＝180°；④∠5+∠3＝180°，其中能判断a∥b的是 ①③④ （填序号）．
【分析】直接利用平行线的判定方法分别分析得出答案．
【解答】解：①∵∠1＝∠2，
∴a∥b，故此选项正确；
②∠3＝∠6无法得出a∥b，故此选项错误；
③∵∠4+∠7＝180°，
∴a∥b，故此选项正确；
④∵∠5+∠3＝180°，
∴∠2+∠5＝180°，
∴a∥b，故此选项正确；
故答案为：①③④．
【点评】此题主要考查了平行线的判定，正确把握平行线的几种判定方法是解题关键．
14．某登山队从大本营出发，在向上攀登的过程中，测得所在位置的气温y℃与向上攀登的高度x km的几组对应值如表：
向上攀登的高度x/km
0.5
1.0
1.5
2.0
气温y/℃
2.0
﹣0.9
﹣4.1
﹣7.0
若每向上攀登1km，所在位置的气温下降幅度基本一致，则向上攀登的海拔高度为2.5km时，登山队所在位置的气温约为 ﹣10 ℃．
【分析】根据题意和表格中各个数据的变化规律即可推测向上攀登的海拔高度为2.5km
时，登山队所在位置的气温大于是多少．
【解答】解：由表格中的数据可知，
每上升0.5km，温度大约下降3℃，
∴向上攀登的海拔高度为2.5km时，登山队所在位置的气温约为﹣10℃，
故答案为：﹣10．
【点评】本题考查正数和负数，解答本题的关键是明确正数和负数在题目中的实际意义，此题答案不唯一，在﹣10.8≤t≤﹣9.6范围内即可．
15．如图，超市里的购物车，扶手AB与车底CD平行，∠2比∠3大10°，∠1是∠2的倍，∠2的度数是 55° ．
【分析】首先设∠2＝x°，根据题意可得∠3＝（x﹣10）°，∠1＝x°，再根据两直线平行内错角相等可得关于x的方程x＝x+x﹣10，解方程即可．
【解答】解：设∠2＝x°，则∠3＝（x﹣10）°，∠1＝x°，
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠2+∠3，
∴x＝x+x﹣10，
解得：x＝55，
∴∠2＝55°，
故答案为：55°．
【点评】此题主要考查了平行线的性质，关键是正确理解题意，掌握两直线平行内错角相等．
三、解答题（共75分）
16．（22分）（1）计算：
①（﹣x）3÷x•（﹣x）2
②（﹣a）3•（﹣a2）3
③（m﹣1）2•（1﹣m）﹣1+（1﹣m）3•（m﹣1）3
④（﹣）2017×（2）2018
（2）先化简，再求值：
①（a+b）（a﹣b）﹣（a﹣2b）2，其中a＝2，b＝﹣1；
②（x+2y）（x﹣2y）﹣（2x﹣y）2+（3x﹣y）（2x﹣5y），其中x＝﹣1，y＝﹣2．
【分析】（1）原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则，同底数幂的乘法法则计算即可求出值；
（2）①原式利用平方差公式，以及完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值；
②原式利用平方差公式，完全平方公式，以及多项式乘以多项式法则计算得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．
【解答】解：（1）①原式＝﹣x4；
②原式＝a3•a6＝a9；
③原式＝（m﹣1）6﹣（m﹣1）6＝0；
④原式＝﹣（×）2017×＝﹣；
（2）①原式＝a2﹣b2﹣a2+4ab﹣4b2＝4ab﹣5b2，
当a＝2，b＝﹣1时，原式＝﹣8﹣5＝﹣13；
②原式＝x2﹣4y2﹣4x2+4xy﹣y2+6x2﹣17xy+5y2＝3x2﹣13xy，
当x＝﹣1，y＝﹣2时，原式＝3﹣26＝﹣23．
【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
17．（6分）王老师家买了一套新房，其结构如图所示（单位：m）．他打算将卧室铺上木地板，其余部份铺上地砖．
（1）木地板和地砖分别需要多少平方米？
（2）如果地砖的价格为每平方米x元，木地板的价格为每平方米3x元，那么王老师需要花多少钱？
【分析】（1）根据图形可以分别表示出卧室的面积和厨房、卫生间、客厅的面积，从而可以解答本题；
（2）根据（1）中的面积和题目中的信息，可以求得王老师需要花多少钱．
【解答】解：（1）卧室的面积是：2b（4a﹣2a）＝4ab（平方米），
厨房、卫生间、客厅的面积是：b•（4a﹣2a﹣a）+a•（4b﹣2b）+2a•4b＝ab+2ab+8ab＝11ab（平方米），
即木地板需要4ab平方米，地砖需要11ab平方米；
（2）11ab•x+4ab•3x＝11abx+12abx＝23abx（元）
即王老师需要花23abx元．
【点评】本题考查整式的混合运算，解题的关键是明确整式的混合运算的计算方法．
18．（6分）如图，由相同边长的小正方形组成的网格图形，A、B、C都在格点上，利用网格画图．
（1）过点C画AB的平行线CF，标出F点；
（2）过点B画AC的垂线BG，垂足为点G，标出G点；
（3）点B到AC的距离是线段 BG 的长度；
（4）线段BG、AB的大小关系为：BG ＜ AB（填“＞”、“＜”或“＝”），理由是 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 ．
【分析】（1）利用网格进而得出过点C画AB的平行线；
（2）利用网格得出过点B画AC的垂线，交AC于G；
（3）利用点的之间的距离定义得出答案；
（4）利用点到之间的距离性质得出答案．
【解答】解：（1）如图，CF即为所求；
（2）如图所示，BG即为所求；
（3）点B到AC的距离是线段BG的长度，
故答案为：BG；
（4）线段BG、AB的大小关系为：BG＜AB，理由是：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，
故答案为：＜，直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．
【点评】此题主要考查了应用设计与作图，正确掌握相关性质以及结合网格是解题关键．
19．（6分）图1中的摩天轮可抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度y（m）与旋转时间x（min）之间的关系如图2所示，根据图中的信息，回答问题：
（1）根据图2补全表格：
旋转时间x/min
0
3
6
8
12
…
高度y/m
5
70
5
54
5
…
（2）如表反映的两个变量中，自变量是 旋转时间x ，因变量是 高度y ；
（3）根据图象，摩天轮的直径为 65 m，它旋转一周需要的时间为 6 min．
【分析】（1）根据图象得到x＝3和x＝8时，y的值；
（2）根据常量和变量的概念解答即可；
（3）结合图象计算即可．
【解答】解：（1）由图象可知，当x＝3时，y＝70，
当x＝8时，y＝54，
故答案为：70；54；
（2）表反映的两个变量中，自变量是旋转时间x，因变量是高度y；
故答案为：旋转时间x；高度y；
（3）由图象可知，摩天轮的直径为：70﹣5＝65m，旋转一周需要的时间为6min．
故答案为：65；6．
【点评】本题考查的是函数的概念与图象，正确理解常量和变量的概念、读懂函数图象是解题的关键．
20．（8分）如图①是大众汽车的图标，图②是该图标抽象的几何图形，且AC∥BD，∠A＝∠B，试猜想AE与BF的位置关系，并说明理由．
【分析】根据两直线平行同位角相等，可判断∠A＝∠DOE，再根据∠A＝∠B，即可得到∠DOE＝∠B，进而得出AE∥BF．
【解答】解：AE∥BF，理由：
∵AC∥BD，
∴∠A＝∠DOE，
∵∠A＝∠B，
∴∠DOE＝∠B，
∴AE∥BF．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，解答本题的关键是掌握：两直线平行同位角相等．
21．（8分）先阅读后作答：我们已经知道，根据几何图形的面积关系可以说明完全平方，实际上还有一些等式也可以用这种方式加以说明，例如：（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2，就可以用图①的面积关系来说明．
（1）根据图②写出一个等式： （2a+b）（a+2b）＝2a2+5ab+2b2 ．
（2）已知等式：（x+1）（x+3）＝x2+4x+3，请你画出一个相应的几何图形加以说明（仿照图①或图②画出图形即可）．
【分析】（1）根据多项式乘多项式，可得答案；
（2）根据图形的面积与等式间的关系，可得答案．
【解答】解：（1）根据图②写出一个等式：（2a+b）（a+2b）＝2a2+5ab+2b2；
（2）（x+1）（x+3）＝x2+4x+3，相应的几何图形为：
．
【点评】本题考查了多项式乘多项式，利用了数形结合的思想．
22．（9分）请把下面证明过程补充完整：
已知：如图，∠ADC＝∠ABC，BE、DF分别平行∠ABC、∠ADC，且∠1＝∠2．求证：∠A＝∠
C．
证明：因为BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC（ 已知 ），
所以∠1＝∠ABC，∠3＝∠ADC（ 角平分线的定义 ）．
因为∠ABC＝∠ADC（已知），
所以∠1＝∠3（ 等式的性质 ），
因为∠1＝∠2（已知），
所以∠2＝∠3（ 等量代换 ）．
所以 AB ∥ CD （ 内错角相等，两直线平行 ）．
所以∠A+∠ ADC ＝180°，∠C+∠ ABC ＝180°（ 两直线平行，同旁内角互补 ）．
所以∠A＝∠C（ 等式的性质 ）．
【分析】根据角平分线定义和已知求出∠2＝∠3，推出AB∥CD，根据平行线的性质和已知求出即可．
【解答】证明：∵BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC（已知），
∴∠1＝∠ABC，∠3＝∠ADC（角平分线定义），
∵∠ADC＝∠ABC，
∴∠1＝∠3（等式的性质），
∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠3（等量代换），
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），
∴∠A+∠DC＝180°，∠C+∠ABC＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠A＝∠C（等式的性质），
故答案为：已知，角平分线的定义，等式的性质，等量代换，等量代换，AB∥CD，内错角相等，两直线平行，ADC，ABC，两直线平行，同旁内角互补，等式的性质．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．
23．（10分）已知，两直线AB，CD，且AB∥CD，点M，N分别在直线AB，CD上，放置一个足够大的三角尺，使得三角尺的两边EP，EQ分别经过点M，N，过点N作射线NF，使得∠ENF＝∠
ENC．
（1）转动三角尺，如图①所示，当射线NF与NM重合，∠FND＝45°时，求∠AME的度数；
（2）转动三角尺，如图②所示，当射线NF与NM不重合，∠FND＝60°时，求∠AME的度数．
（3）转动直角三角尺的过程中，请直接写出∠FND与∠AME之间的数量关系．
【分析】（1）依据AB∥CD，可得∠AMN＝∠MND＝45°，再根据∠ENF＝∠ENC，可得∠ENM＝（180°﹣45°）＝67.5°，进而得出∠EMN＝22.5°，故∠AME＝45°﹣22.5°＝22.5°；
（2）设ME与FN交于点H，AB与FN交于点G，依据AB∥CD，可得∠AGN＝∠FND＝60°，再根据∠ENF＝∠ENC，即可得出∠ENF＝（180°﹣60°）＝60°，进而得到∠EHN＝30°＝∠GHM，故∠AME＝∠AGN﹣∠GHM＝60°﹣30°＝30°；
（3）由AB∥CD，∠E＝90°，可得∠CNE＝90°﹣∠AME，由∠ENF＝∠ENC，可得∠FND＝180°﹣2∠CNE＝180°﹣2（90°﹣∠AME）＝2∠AME，故∠FND＝2∠AME．
【解答】解：（1）如图1所示，∵AB∥CD，
∴∠AMN＝∠MND＝45°，
∵∠ENF＝∠ENC，
∴∠ENM＝（180°﹣45°）＝67.5°，
又∵∠E＝90°，
∴∠EMN＝22.5°，
∴∠AME＝45°﹣22.5°＝22.5°；
（2）如图2所示，设ME与FN交于点H，AB与FN交于点G，
∵AB∥CD，
∴∠AGN＝∠FND＝60°，
∵∠ENF＝∠ENC，
∴∠ENF＝（180°﹣60°）＝60°，
又∵∠E＝90°，
∴∠EHN＝30°＝∠GHM，
∴∠AME＝∠AGN﹣∠GHM＝60°﹣30°＝30°；
（3）由AB∥CD，∠E＝90°，可得∠CNE＝90°﹣∠AME，
由∠ENF＝∠ENC，可得∠FND＝180°﹣2∠CNE＝180°﹣2（90°﹣∠AME）＝2∠AME，
故∠FND与∠AME之间的数量关系为：∠FND＝2∠AME．
【点评】本题主要考查了平行线的性质和三角形的内角和定理的运用，关键在于掌握两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补的性质．
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