2017-2018学年山西省太原市八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题含10个小题，每小题3分，共30分）在下列每小题给出的四个选项中，只有一个符合要求，请选出并填入下表相应位置
1．已知a，b均为实数，且a﹣1＞b﹣1，下列不等式中一定成立的是（ ）
A．a＜b B．3a＜3b C．﹣a＞﹣b D．a﹣2＞b﹣2
2．山西剪纸是最古老的汉族民间艺术之一．剪纸作为一种镂空艺术，在视觉上给人以透空的感觉和艺术享受．下列四幅剪纸图案中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图是两个关于x的一元一次不等式的解集在同一数轴上的表示，由它们组成的不等式组的解集是（ ）
A．x＞﹣1 B．x＞2 C．x≥2 D．﹣1＜x≤2
4．在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，﹣2），B（2，﹣4），C（4，﹣1）．将△ABC平移得到△A1B1C1，若点A的对应点A1的坐标为（﹣2，3），则△ABC平移的方式可以为（ ）
A．向左3个单位，向上5个单位
B．向左5个单位，向上3个单位
C．向右3个单位，向下5个单位
D．向右5个单位，向下3个单位
5．解不等式时，去分母后结果正确的为（ ）
A．2（x+2）＞1﹣3（x﹣3） B．2x+4＞6﹣3x﹣9
C．2x+4＞6﹣3x+3 D．2（x+2）＞6﹣3（x﹣3）
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，D、E两点分别在边AC、BC上，BD平分∠ABC，DE
∥AB．图中的等腰三角形共有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
7．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝9，点D在边AB上，且BD＝5将线段BD沿着BC的方向平移得到线段EF，若平移的距离为6时点F恰好落在AC边上，则△CEF的周长为（ ）
A．26 B．20 C．15 D．13
8．小明要从甲地到乙地，两地相距1.8千米．已知他步行的平均速度为90米/分，跑步的平均速度为210米/分，若他要在不超过15分钟的时间内从甲地到达乙地，至少需要跑步多少分钟？设他需要跑步x分钟，则列出的不等式为（ ）
A．210x+90（15﹣x）≥1800 B．90x+210（15﹣x）≤1800
C．210x+90（15﹣x）≥1.8 D．90x+210（15﹣x）≤1.8
9．如图，直线y＝ax+b与x轴交于点A（7，0），与直线y＝kx交于点B（2，4），则不等式kx≤ax+b的解集为（ ）
A．x≤2 B．x≥2 C．0＜x≤2 D．2≤x≤6
10．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△ADE，点C的对应点E恰好落在BA的延长线上，DE与BC交于点F，连接BD．下列结论不一定正确的是（ ）
A．AD＝BD B．AC∥BD C．DF＝EF D．∠CBD＝∠E
二、填空题（本大题含5个小题，每小题2分，共10分）把答案写在题中横线上
11．太原某座桥桥头的限重标志如图，其中的“55”表示该桥梁限制载重后总质量超过55t的车辆通过桥梁．设一辆自重10t的卡车，其载重的质量为xt，若它要通过此座桥，则x应满足的关系为 （用含x的不等式表示）．
12．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，若∠EAD＝30°，则∠CAE的度数为 ．
13．不等式组的整数解为 ．
14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，点D，点E分别在边AC，AB上，且DE垂直平分AB．若AD＝2，则CD的长为 ．
15．如图，△ABC是边长为24的等边三角形，△CDE是等腰三角形，其中DC＝DE＝10，∠CDE＝120°，点E在BC边上，点F是BE的中点，连接AD、DF、AF，则AF的长为 ．
三、解答题（本大题含8个小题，共60分）解答应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）
16．（5分）解不等式：2x+1≤3（3﹣x）
17．（6分）解不等式组，并将其解集表示在如图所示的数轴上．
18．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为：A（1，﹣4），B（5，﹣4），C（4，﹣1）．
（1）将△ABC经过平移得到△A1B1C1，若点C的应点C1的坐标为（2，5），则点A，B的对应点A1，B1的坐标分别为 ；
（2）在如图的坐标系中画出△A1B1C1，并画出与△A1B1C1关于原点O成中心对称的△A2B2C2．
19．（6分）近年来，随着我国国民经济的飞速发展，我国物流业的市场需求持续扩大，某物流公司承接A、B两种货物的运输业务，已知A种货物运费单价为80元/吨，B种货物运费单价为50元/吨．该物流公司预计4月份运输这两种货物共300吨，且当月运送这两种货物收入的运费总额不低于19800元，求该物流公司4月份至少要承接运输A种货物多少吨？
20．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，延长CB至点E，延长BC至点F，使BE＝CF，连接AE、AF．
求证：AD平分∠EAF．
21．（9分）某超市店庆期间开展了促销活动，出售A，B两种商品，A种商品的标价为60元/件，B种商品的标价为40元/件，活动方案有如下两种，顾客购买商品时只能选择其中的一种方案：
A
B
方案一
按标价的“七折”优惠
按标价的“八折”优惠
方案二
若所购商品达到或超过35件（不同商品可累计），均按标价的“七五折”优惠
若某单位购买A种商品x件（x＞15），购买B种商品的件数比A种商品件数多10件，求该单位选择哪种方案才能获得更多优惠？
22．（10分）如图1，已知射线AP是∠MAN的角平分线，点B为射线AP上的一点且AB＝10，过点B分别作BC⊥AM于点C，作BD⊥AN于点D，BC＝6．
（1）在图1中连接CD交AB于点O．求证：AB垂直平分CD；
（2）从A，B两题中任选一题作答，我选择 题
A．将图1中的△ABC沿射线AP的方向平移得到△ABC，点A、B、C的对应点分别为A′、B′、C′．若平移后点B的对应点B′的位置如图2，连接DB′．
①请在图2中画出此时的△A′B′C′，并在图中标注相应的字母；
②若图2中的DB′∥A′C′，则平移的距离为 ．
B．将图1中的△ABC沿射线AP的方向平移得到△A′B′C′，点A、B、C的对应点分别为A′、B′、C′．
①在△A′B′C′平移的过程中，若点C′与点D的连线恰好经过点B，请在图3中画出此时的△A′B′C′，并在图中标注相应的字母；
②如图3，点C′与点D的连线恰好经过点B，此时平移的距离为 ．
23．（12分）综合与探究
问题情境：如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是边AB，AC上的点，且AD＝AE，连接DE，易知BD＝CE．将△ADE绕点A顺时针旋转角度α（0°＜α＜360°），连接BD，CE，得到图2．
（1）变式探究：如图2，若0°＜α＜90°，则BD＝CE的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（2）拓展延伸：若图1中的∠BAC＝120°，其余条件不变，请解答下列问题：
从A，B两题中任选一题作答我选择 题
A．①在图1中，若AB＝10，求BC的长；
②如图3，在△ADE绕点A顺时针旋转的过程中，当DE的延长线经过点C时，请直接写出线段AD，BD，CD之间的等量关系；
B．①在图1中，试探究BC与AB的数量关系，并说明理由；
②在△ADE绕点A顺时针旋转的过程中，当点D，E，C三点在同一条直线上时，请借助备用图探究线段AD，BD，CD之间的等量关系，并直接写出结果．
2017-2018学年山西省太原市八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题含10个小题，每小题3分，共30分）在下列每小题给出的四个选项中，只有一个符合要求，请选出并填入下表相应位置
1．已知a，b均为实数，且a﹣1＞b﹣1，下列不等式中一定成立的是（ ）
A．a＜b B．3a＜3b C．﹣a＞﹣b D．a﹣2＞b﹣2
【分析】根据不等式的性质进行判断．
【解答】解：因为a，b均为实数，且a﹣1＞b﹣1，
可得a＞b，
所以3a＞3b，﹣a＜﹣b，a﹣2＞b﹣2，
故选：D．
【点评】考查了不等式的性质．要认真弄清不等式的基本性质与等式的基本性质的异同，特别是在不等式两边同乘以（或除以）同一个数时，不仅要考虑这个数不等于0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变．
2．山西剪纸是最古老的汉族民间艺术之一．剪纸作为一种镂空艺术，在视觉上给人以透空的感觉和艺术享受．下列四幅剪纸图案中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3．如图是两个关于x的一元一次不等式的解集在同一数轴上的表示，由它们组成的不等式组的解集是（ ）
A．x＞﹣1 B．x＞2 C．x≥2 D．﹣1＜x≤2
【分析】找出两个不等式解集的方法部分确定出不等式组的解集即可．
【解答】解：根据数轴得：不等式组的解集为x≥2，
故选：C．
【点评】此题考查了在数轴表示不等式的解集，弄清不等式组取解集的方法是解本题的关键．
4．在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，﹣2），B（2，﹣4），C（4，﹣1）．将△ABC平移得到△A1B1C1，若点A的对应点A1的坐标为（﹣2，3），则△ABC平移的方式可以为（ ）
A．向左3个单位，向上5个单位
B．向左5个单位，向上3个单位
C．向右3个单位，向下5个单位
D．向右5个单位，向下3个单位
【分析】根据A点坐标的变化规律可得横坐标﹣3，纵坐标+5，利用平移变换中点的坐标的变化规律即可得．
【解答】解：因为点A（1，﹣2）的对应点A1的坐标为（﹣2，3），即（1﹣3，﹣2+5），
所以△ABC平移的方式为：向左3个单位，向上5个单位，
故选：A．
【点评】此题主要考查了坐标与图形的变化，关键是掌握横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．
5．解不等式时，去分母后结果正确的为（ ）
A．2（x+2）＞1﹣3（x﹣3） B．2x+4＞6﹣3x﹣9
C．2x+4＞6﹣3x+3 D．2（x+2）＞6﹣3（x﹣3）
【分析】利用不等式的性质把不等式两边乘以6可去分母．
【解答】解：去分母得2（x+2）＞6﹣3（x﹣3）．
故选：D．
【点评】本题考查了解一元一次不等式：根据不等式的性质解一元一次不等式．
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，D、E两点分别在边AC、BC上，BD平分∠ABC，DE∥AB．图中的等腰三角形共有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【分析】已知条件，根据三角形内角和等于180，角的平分线的性质求得各个角的度数，然后利用等腰三角形的判定进行判断即可．
【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC＝36°，
∴∠BDC＝180°﹣36°﹣72°＝72°，
∵DE∥AB，
∴∠EDB＝∠ABD＝36°，
∴∠EDC＝72°﹣36°＝36°，
∴∠DEC＝180°﹣72°﹣36°＝72°，
∴∠A＝∠ABD，∠DBE＝∠BDE，∠DEC＝∠C，∠BDC＝∠C，∠ABC＝∠C，
∴△ABC、△ABD、△DEB、△BDC、△DEC都是等腰三角形，共5个，
故选：C．
【点评】
此题考查了等腰三角形判定和性质、角平分线的性质、平行线的性质，由已知条件利用相关的性质求得各个角相等是本题的关键．
7．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝9，点D在边AB上，且BD＝5将线段BD沿着BC的方向平移得到线段EF，若平移的距离为6时点F恰好落在AC边上，则△CEF的周长为（ ）
A．26 B．20 C．15 D．13
【分析】直接利用平移的性质得出EF＝DB＝5，进而得出CF＝EF＝5，进而求出答案．
【解答】解：∵将线段BD沿着BC的方向平移得到线段EF，
∴EF＝DB＝5，BE＝6，
∵AB＝AC，BC＝9，
∴∠B＝∠C，EC＝3，
∴∠B＝∠FEC，
∴CF＝EF＝5，
∴△EBF的周长为：5+5+3＝13．
故选：D．
【点评】此题主要考查了平移的性质，根据题意得出CF的长是解题关键．
8．小明要从甲地到乙地，两地相距1.8千米．已知他步行的平均速度为90米/分，跑步的平均速度为210米/分，若他要在不超过15分钟的时间内从甲地到达乙地，至少需要跑步多少分钟？设他需要跑步x分钟，则列出的不等式为（ ）
A．210x+90（15﹣x）≥1800 B．90x+210（15﹣x）≤1800
C．210x+90（15﹣x）≥1.8 D．90x+210（15﹣x）≤1.8
【分析】根据题意可以列出相应的不等式，从而可以解答本题．
【解答】解：由题意可得
210x+90（15﹣x）≥1800，
故选：A．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式．
9．如图，直线y＝ax+b与x轴交于点A（7，0），与直线y＝kx交于点B（2，4），则不等式kx≤ax+b的解集为（ ）
A．x≤2 B．x≥2 C．0＜x≤2 D．2≤x≤6
【分析】写出直线y＝kx在直线y＝ax+b下方部分的x的取值范围即可．
【解答】解：∵直线y＝ax+b与直线y＝kx交于点B（2，4），
∴不等式kx≤ax+b的解集为x≤2．
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
10．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△ADE，点C的对应点E恰好落在BA的延长线上，DE与BC交于点F，连接BD．下列结论不一定正确的是（ ）
A．AD＝BD B．AC∥BD C．DF＝EF D．∠CBD＝∠E
【分析】由旋转的性质知∠BAD＝∠CAE＝60°、AB＝AD，△ABC≌△ADE，据此得出△ABD是等边三角形、∠C＝∠E，证AC∥BD得∠CBD＝∠C，从而得出∠CBD＝∠E．
【解答】解：由旋转知∠BAD＝∠CAE＝60°、AB＝AD，△ABC≌△ADE，
∴∠C＝∠E，△ABD是等边三角形，∠CAD＝60°，
∴∠D＝∠CAD＝60°、AD＝BD，
∴AC∥BD，
∴∠CBD＝∠C，
∴∠CBD＝∠E，
则A、B、D均正确，
故选：C．
【点评】本题主要考查旋转的性质，解题的关键是熟练掌握旋转的性质、等边三角形的判定与性质及平行线的判定与性质．
二、填空题（本大题含5个小题，每小题2分，共10分）把答案写在题中横线上
11．太原某座桥桥头的限重标志如图，其中的“55”表示该桥梁限制载重后总质量超过55t的车辆通过桥梁．设一辆自重10t的卡车，其载重的质量为xt，若它要通过此座桥，则x应满足的关系为 10+x≤55 （用含x的不等式表示）．
【分析】根据题意列出不等式解答即可．
【解答】解：设一辆自重10t的卡车，其载重的质量为xt，根据题意可得：10+x≤55，
故答案为：10+x≤55
【点评】此题考查一元一次不等式问题，关键是根据题意列出不等式解答．
12．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，若∠EAD＝30°，则∠CAE的度数为 30° ．
【分析】根据旋转的性质得∠DAC＝60°，然后计算∠DAC﹣∠EAD即可．
【解答】解：∵△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，
∴∠DAC＝60°，
∴∠CAE＝∠DAC﹣∠EAD＝60°﹣30°＝30°．
故答案为30°．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
13．不等式组的整数解为 3，4 ．
【分析】根据解一元一次不等式组的方法可以解答本题．
【解答】解：，
由不等式①，得
x＞，
由不等式②，得
x≤4，
故原不等式组的解集是，
故不等式组的整数解为3，4，
故答案为：3，4．
【点评】本题考查解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确解不等式的方法．
14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，点D，点E分别在边AC，AB上，且DE垂直平分AB．若AD＝2，则CD的长为 1 ．
【分析】根据垂直平分线的性质和含30°的直角三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AD＝2，DE垂直平分AB．
∴DE＝1，∠DBE＝∠A＝30°，∠CBA＝60°，
∴BD平分∠CBE，
∵∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DE＝CD＝1，
故答案为：1
【点评】此题考查含30°的直角三角形的性质，关键是根据垂直平分线的性质和含30°的直角三角形的性质解答．
15．如图，△ABC是边长为24的等边三角形，△CDE是等腰三角形，其中DC＝DE＝10，∠CDE＝120°，点E在BC边上，点F是BE的中点，连接AD、DF、AF，则AF的长为 13 ．
【分析】作辅助线，构建直角三角形，先求CE的长，从而得FM和AM的长，根据勾股定理可得AF的长．
【解答】解：过D作DH⊥BC于H，
∵DC＝DE＝10，
∴EH＝HC，
∵∠CDE＝120°，
∴∠DCH＝30°，
∴CH＝EH＝5，
∴CE＝10，
∴BE＝BC﹣CE＝24﹣10，
∵F是BE的中点，
∴BF＝＝12﹣5，
过A作AM⊥BC于M，
∵△ABC是等边三角形，
∴BM＝BC＝12，AM＝12，
∴FM＝BM﹣BF＝12﹣（12﹣5）＝5，
由勾股定理得：AF＝＝＝＝13．
故答案为：13．
【点评】本题考查了等边三角形、等腰三角形的性质，勾股定理及含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握性质是关键，本题注意作辅助线，构建直角三角形解决问题．
三、解答题（本大题含8个小题，共60分）解答应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）
16．（5分）解不等式：2x+1≤3（3﹣x）
【分析】不等式去括号，移项合并，将x系数化为1，即可求出解集．
【解答】解：2x+1≤3（3﹣x），
去括号得：2x+1≤9﹣3x，
移项合并得：5x≤8，
系数化为1得：x≤．
【点评】本题考查了解一元一次不等式，能根据不等式的性质求出不等式的解集是解此题的关键．
17．（6分）解不等式组，并将其解集表示在如图所示的数轴上．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据解集在数轴上的表示确定不等式组的解集．
【解答】解：
解不等式①得：x＞﹣2，
解不等式②得：x≤15，
所以不等式组的解集为：﹣2＜x≤15，
其解集在数轴上表示为：
．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“
同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
18．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为：A（1，﹣4），B（5，﹣4），C（4，﹣1）．
（1）将△ABC经过平移得到△A1B1C1，若点C的应点C1的坐标为（2，5），则点A，B的对应点A1，B1的坐标分别为 （﹣1，2），（3，2）， ；
（2）在如图的坐标系中画出△A1B1C1，并画出与△A1B1C1关于原点O成中心对称的△A2B2C2．
【分析】（1）根据平移的性质画出图形，进而得出坐标即可；
（2）根据关于原点O成中心对称的性质画出图形即可．
【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1即为所求：
A1，B1的坐标分别为（﹣1，2），（3，2），
故答案为：（﹣1，2），（3，2），
（2）如图所示：△A2B2C2即为所求．
【点评】本题主要考查作图﹣轴对称变换和平移变换，熟练掌握轴对称变换、平移变换的定义是解题的关键．
19．（6分）近年来，随着我国国民经济的飞速发展，我国物流业的市场需求持续扩大，某物流公司承接A、B两种货物的运输业务，已知A种货物运费单价为80元/吨，B种货物运费单价为50元/吨．该物流公司预计4月份运输这两种货物共300吨，且当月运送这两种货物收入的运费总额不低于19800元，求该物流公司4月份至少要承接运输A种货物多少吨？
【分析】根据题意4月份的运费，得出不等式，解方程求解即可
【解答】解：设该物流公司4月份要承接运输A种货物x吨，则承接运输A种货物（300﹣x）吨，
根据题意得：80x+50（300﹣x）≥19800，
x≥160，
答：该物流公司4月份至少要承接运输A种货物160吨．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题意列出不等式是解题关键．
20．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，延长CB至点E，延长BC至点F，使BE＝CF，连接AE、AF．
求证：AD平分∠EAF．
【分析】根据等腰三角形的性质得出BD＝DC，AD⊥BC，AD平分∠BAC，再利用全等三角形的判定和性质证明即可．
【解答】证明：∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴BD＝DC，AD⊥BC，AD平分∠BAC，∠ABD＝∠ACD，
∴∠ABE＝∠ACF，
在△ABE与△ACF中，
∴△ABE≌△ACF，
∴∠BAE＝∠CAF，
∴∠BAE+∠BAD＝∠CAF+∠CAD，
即∠EAD＝∠FAD，
即AD平分∠EAF．
【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据等腰三角形的性质得出BD＝DC，AD⊥BC，AD平分∠BAC．
21．（9分）某超市店庆期间开展了促销活动，出售A，B两种商品，A种商品的标价为60元/件，B种商品的标价为40元/件，活动方案有如下两种，顾客购买商品时只能选择其中的一种方案：
A
B
方案一
按标价的“七折”优惠
按标价的“八折”优惠
方案二
若所购商品达到或超过35件（不同商品可累计），均按标价的“七五折”优惠
若某单位购买A种商品x件（x＞15），购买B种商品的件数比A种商品件数多10件，求该单位选择哪种方案才能获得更多优惠？
【分析】某单位购买A种商品x件，则购买B种商品（x+10）件，由于x＞15，所以两种商品肯定超过35件，方案二也能采用，按方案一购买花费为y1，按照方案二购买花费y2，求y1﹣y2在自变量x的取值范围的正负情况即可得到答案．
【解答】解：根据题意得：某单位购买A种商品x件，则购买B种商品（x+10）件，
按方案一购买花费为：y1＝60×0.7x+40×0.8（x+10），
按方案二购买花费为：y2＝60×0.75x+40×0.75（x+10），
y1﹣y2＝﹣x+20，
∵x＞15，
∴﹣x＜﹣15，
∴﹣x+20＜5，
若y1＜y2，则﹣x+20＜0，即x＞20时，方案一的花费少于方案二，
若y1＝y2，则﹣x+20＝0，即x＝20时，方案一的花费等于方案二，
若y1＞y2，则﹣x+20＞0，即15＜x＜20时，方案二的花费少于方案一，
答：当购买A商品的数量多于20件时，选择方案一，当购买A商品的数量为20件时，选择方案一或方案二都可以，当购买A商品的数量多于15件少于20件时，选择方案二，这样才能获得更多优惠．
【点评】本题考查一元一次不等式的应用，正确找出不等量关系，讨论不等式的正负是解题的关键．
22．（10分）如图1，已知射线AP是∠MAN的角平分线，点B为射线AP上的一点且AB
＝10，过点B分别作BC⊥AM于点C，作BD⊥AN于点D，BC＝6．
（1）在图1中连接CD交AB于点O．求证：AB垂直平分CD；
（2）从A，B两题中任选一题作答，我选择 A或B 题
A．将图1中的△ABC沿射线AP的方向平移得到△ABC，点A、B、C的对应点分别为A′、B′、C′．若平移后点B的对应点B′的位置如图2，连接DB′．
①请在图2中画出此时的△A′B′C′，并在图中标注相应的字母；
②若图2中的DB′∥A′C′，则平移的距离为 ．
B．将图1中的△ABC沿射线AP的方向平移得到△A′B′C′，点A、B、C的对应点分别为A′、B′、C′．
①在△A′B′C′平移的过程中，若点C′与点D的连线恰好经过点B，请在图3中画出此时的△A′B′C′，并在图中标注相应的字母；
②如图3，点C′与点D的连线恰好经过点B，此时平移的距离为 ．
【分析】（1）只要证明△ABC≌△ABD，即可推出AC＝AD，BC＝BD，可得AB垂直平分线段CD；
（2）A：①作出△A′B′C′即可；
②作DH⊥AB于H．首先证明DA＝DB′，想办法求出AH即可解决问题；
B：①作出△A′B′C′即可；
②作C′H⊥AP于H．首先证明C′B＝C′B′，想办法求出B′H即可解决问题；
【解答】（1）证明：如图1中，
∵BC⊥AM，BD⊥AN，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°，
∵∠BAC＝∠BAD，AB＝AB，
∴△ABC≌△ABD，
∴AC＝AD，BC＝BD，
∴AB垂直平分线段CD．
（2）A：①△A′B′C′如图所示；
②作DH⊥AB于H．
在Rt△ABD中，AB＝10，BD＝BC＝6，
∴AD＝＝8，
∵cos∠DAH＝＝＝，
∴AH＝，
∵DB′∥AC，
∴∠AB′D＝∠CAB，
∵∠CAB＝∠DAB，
∴∠DAB＝∠AB′D，
∴DA＝DB′，∵DH⊥AB′，
∴AH＝HB′，
∴AB′＝，
∴BB′＝AB′﹣AB＝﹣10＝，
∴平移的距离为，
B：①△A′B′C′如图所示：
②作C′H⊥AP于H．
∵∠ABD＝∠C′BB′＝∠C′B′A′，
∴C′B＝C′B′，
∵C′H⊥BB′，
∴BH＝HB′，
∵cos∠A′B′C′＝＝，
∴＝，
∴HB′＝，
∴BB′＝2B′H＝，
∴平移的距离为．
故答案为A或B，，．
【点评】本题考查几何变换综合题、角平分线的定义、全等三角形的判定和性质、平行线的性质、解直角三角形、锐角三角函数等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．
23．（12分）综合与探究
问题情境：如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是边AB，AC上的点，且AD＝AE，连接DE，易知BD＝CE．将△ADE绕点A顺时针旋转角度α（0°＜α＜360°），连接BD，CE，得到图2．
（1）变式探究：如图2，若0°＜α＜90°，则BD＝CE的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（2）拓展延伸：若图1中的∠BAC＝120°，其余条件不变，请解答下列问题：
从A，B两题中任选一题作答我选择 A或B 题
A．①在图1中，若AB＝10，求BC的长；
②如图3，在△ADE绕点A顺时针旋转的过程中，当DE的延长线经过点C时，请直接写出线段AD，BD，CD之间的等量关系；
B．①在图1中，试探究BC与AB的数量关系，并说明理由；
②在△ADE绕点A顺时针旋转的过程中，当点D，E，C三点在同一条直线上时，请借助备用图探究线段AD，BD，CD之间的等量关系，并直接写出结果．
【分析】（1）结论：BD＝CE．只要证明△DAB≌△EAC即可；
（2）A：①如图1中，作AH⊥BC于H．解直角三角形即可解决问题；
②结论：CD＝AD+BD．如图3中，作AH⊥CD于H．由△DAB≌△EAC，推出BD＝CE，在Rt△ADH中，DH＝AD•cos30°＝AD，由AD＝AE，AH⊥DE，推出DH＝HE，可得CD＝DE+EC＝2DH+BD＝AD+BD；
B：①如图1中，作AH⊥BC于H．解直角三角形可得：BC＝2BH＝AB；
②类似A②；
【解答】解：（1）结论：BD＝CE．
理由：如图2中，
∵∠ABC＝∠DAE，
∴∠DAB＝∠EAC，
∵AD＝AE，AB＝AC，
∴△DAB≌△EAC，
∴BD＝EC．
（2）A：①如图1中，作AH⊥BC于H．
∵AB＝AC，AH⊥BC，
∴BH＝HC，
∵∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∴BH＝AB•cos30°＝5，
∴BC＝10．
②结论：CD＝AD+BD．
理由：如图3中，作AH⊥CD于H．
∵△DAB≌△EAC，
∴BD＝CE，
在Rt△ADH中，DH＝AD•cos30°＝AD，
∵AD＝AE，AH⊥DE，
∴DH＝HE，
∵CD＝DE+EC＝2DH+BD＝AD+BD．
B：①如图1中，作AH⊥BC于H．
∵AB＝AC，AH⊥BC，
∴BH＝HC，
∵∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∴BH＝AB•cos30°＝AB，
∴BC＝2BH＝AB．
②结论：CD＝AD+BD．
证明方法同A②．
故答案为A或B．
【点评】本题考查几何变换综合题、等腰三角形的性质、旋转变换、锐角三角函数、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．
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