小专题(二) 一元二次方程及解法技巧
一元二次方程有其特征,根据一元二次方程的概念我们可建立关于字母系数的关系式求解.常见的考查角度有:(1)确定字母系数的取值.由一元二次方程的概念知未知数的最高次数是2,且二次项的系数不为0,可建立关系式求字母系数的取值;根据一元二次方程的解的概念,把方程的解代入方程建立关于字母系数的方程后也可求解.(2)选用合适的方法解一元二次方程.一般地,如果一元二次方程能转化为方程左边是一个整式的完全平方式,而方程的右边是非负数时可用直接开平方法解一元二次方程;配方法和公式法可解任何形式的一元二次方程,由于配方法较复杂,除非特别要求,一般不用,用公式法解一元二次方程时,先把方程化为一般形式;因式分解法适合解方程左边能因式分解,方程右边是0的一元二次方程.(3)含有字母系数的一元二次方程的解法.解含有字母系数的一元二次方程,关键是分清未知数和字母系数,然后采用合适方法解一元二次方程.(4)巧用配方法解题.配方法是数学的一种重要的思想方法,通过配方,把一个一元二次方程配成能用直接开平方法求解的形式或把一个代数式配成完全平方的形式,进而运用数学知识来解决问题.
类型1 根据一元二次方程的概念确定字母系数的取值
1.已知关于x的方程x2+bx+3a=0的一个根是-a(a≠0),则a-b的值为(A)
A.-3 B.-2
C.-1 D.0
2.已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有一个根为-1,且a=c-4+4-c-2,求(a+b)20192018c的值.
解:由题意得c-4≥0,4-c≥0,∴c=4,∴a=-2.
将x=-1代入方程得-2-b+4=0,解得b=2,
∴(a+b)20192018c=(-2+2)20192018×4=0.
类型2 选用合适的方法解一元二次方程
3.用配方法解方程:x2-4x-2=0.
解:x2-4x=2,x2-4x+4=2+4,(x-2)2=6,x-2=±6,
∴x1=2+6,x2=2-6.
4.用适当的方法解下列方程:
(1)12(3x-4)2-2=0;
解:(直接开平方法)(3x-4)2=4,3x-4=±2,
∴x1=2,x2=23.
(2)2x2-3x-1=0;
3
解:(公式法)a=2,b=-3,c=-1,b2-4ac=(-3)2-4×2×(-1)=17,
∴x=3±174,
∴x1=3+174,x2=3-174.
(3)(2x-1)2-(x+4)2=0;
解:(因式分解法)[(2x-1)+(x+4)][(2x-1)-(x+4)]=0,即(3x+3)(x-5)=0,
∴3x+3=0或x-5=0,
∴x1=-1,x2=5.
(4)x(x+1)=12.
解:(因式分解法)x2+x-12=0,(x+4)(x-3)=0,
∴x1=-4,x2=3.
类型3 含有字母系数的一元二次方程的解法
5.关于x的一元二次方程x2-4mx-5m2=0的解是(D)
A.x=5m B.x=-m
C.x=5或x=-1 D.x=5m或x=-m
6.已知关于x的一元二次方程(m-1)x2-2mx+m+1=0.
(1)求方程的根;
(2)当m为何整数时,此方程的两个根都为正整数?
解:(1)根据题意得m≠1,b2-4ac=(-2m)2-4(m-1)(m+1)=4,
∴x1=2m+22(m-1)=m+1m-1,x2=2m-22(m-1)=1.
(2)由(1)知x1=m+1m-1=1+2m-1,
∵方程的两个根都是正整数,
∴2m-1是正整数,
∴m-1=1或2,∴m=2或3.
7.已知关于x的一元二次方程x2-(2m-1)x+m2-m-2=0.
(1)求方程的解;
(2)若方程的两个解都是负数,求m的取值范围.
3
解:(1)解法一:b2-4ac=[-(2m-1)]2-4(m2-m-2)=9,
∴x=(2m-1)±32,
∴x1=m+1,x2=m-2.
解法二:由x2-(2m-1)x+m2-m-2=0,
∴x2-(2m-1)x+(m-2)(m+1)=0,
∴[x-(m-2)][x-(m+1)]=0,
∴x1=m-2,x2=m+1.
(2)根据题意得m-2
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