海淀区高三年级第一学期期中练习
数学(文科) 2017.11
本试卷共4页,150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上,在试卷上作答无效。考试结束后,将答题纸交回。
第一部分(选择题 共40分)
一、选择题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。
(1)若集合,集合, 则
(A) (B) (C) (D)
(2)命题“”的否定是
(A) (B)
(C) (D)
(3)下列函数中,既是偶函数又在上单调递增的是
(A) (B) (C) (D)
(4)已知数列满足,则
(A) (B) (C) (D)
(5) 在平面直角坐标系中,点的纵坐标为,点在轴的正半轴上.
在△中,若,则点的横坐标为
(A) (B) (C) (D)
(6)已知向量是两个单位向量,则“”是
“”的
(A)充分不必要条件 (B) 必要不充分条件
(C)充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件
(7)已知函数()的部分图象如图所示,则的值分别为
(A) (B) (C) (D)
(8) 若函数的值域为,则实数的取值范围是
(A) (B) (C) (D)
第二部分(非选择题 共110分)
二、填空题共6小题,每小题5分,共30分。
(9) 已知等差数列满足,则公差=_____.
(10)已知向量, ,若与平行,则的值为______.
(11)已知函数是定义在R上的周期为2的奇函数,当时, ,
则.
(12)如图,弹簧挂着一个小球作上下运动,小球在秒时相对于平衡位置的高度(厘米)由如下关系式确定:,则小球在开始振动(即)时的值为_________,小球振动过程中最大的高度差为__________厘米.
(13) 能够说明 “设是实数.若,则” 是假命题的一个实数的值
为______.
(14) 已知非空集合满足以下两个条件:
(ⅰ);
(ⅱ)集合的元素个数不是中的元素,集合的元素个数不是中的元素.
那么用列举法表示集合为 .
三、解答题共6小题,共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
(15)(本小题13分)
已知函数.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求函数的单调递增区间.
(16) (本小题13分)
已知等比数列满足, .
(Ⅰ)求的通项公式及前项和;
(Ⅱ)设,求数列的前项和.
(17) (本小题13分)
如图,△为正三角形, ,,.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求,的长.
(18)(本小题13分)
已知函数.
(Ⅰ)求曲线在点处的切线方程;
(Ⅱ)求函数在上的最大值;
(Ⅲ)求证:存在唯一的,使得.
(19) (本小题14分)
已知数列满足,,(N*).
(Ⅰ)写出的值;[KS5UKS5U]
(Ⅱ)设,求的通项公式;
(Ⅲ)记数列的前项和为,求数列的前项和的最小值.
(20) (本小题14分)
已知函数.
(Ⅰ)求证:1是函数的极值点;
(Ⅱ)设是函数的导函数,求证:.
海淀区高三年级第一学期期中练习参考答案 2017.11
数 学(文科)
阅卷须知:
1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数.
2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分.
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
选项
C
D
C
D
A
C
B
D
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.(有两空的小题第一空3分)
9. 10. 11.
12. ; 13. 14. 或 (答对一个给3分)
三、解答题: 本大题共6小题,共80分.
15.(本题13分)
解:(I) …………1分
……3分 (、值各1分)
…………4分
(II) …………8分 (一个公式2分)[KS5UKS5U]
. …………10分
令 …………12分
得
所以函数的单调递增区间为. …………13分
说明:①如果没有代入的过程或没有和的函数值,但最后结果正确扣1
分;如果第(I)问先化简的,按照第(II)问相应的评分标准给分。
② (II)问中解析式化简可以写成,参照上面步骤给分。
③求单调区间时,正确,但没有写成区间形式、无,只要居其一扣一分,不累扣。
16.(本题13分)
解:(Ⅰ)设等比数列的公比为.
因为,且
所以,得, …………2分
又因为,所以 ,得,. …………4分
所以(N+), …………5分
所以 …………6分
…………7分
(Ⅱ)因为,所以, …………9分
所以. …………11分
所以数列的前项和
…………12分
. …………13分
17.(本题13分)
解:(Ⅰ)因为△为正三角形,,所以在△中,,所以.
所以 …………1分
= …………3分 (一个公式2分)
因为在△中,, …………4分
所以. …………5分
所以. …………6分
(Ⅱ)方法1:
在△中,,由正弦定理得:, ……8分
所以 …………9分
又在正△中,, ,
所以在△中,, …………10分
由余弦定理得:
…………12分
所以的长为. …………13分
方法2:在△中,由正弦定理得:
, …………8分
所以, …………9分
…………10分
所以
. …………11分
在△中,由余弦定理得
…………12分[KS5UKS5U]
.
所以的长为. …………13分
18. (本题13分)
解:(Ⅰ)由,得 , …………1分
所以,又 …………3分
所以曲线在点处的切线方程为:,
即: . …………4分
(Ⅱ)令,得 . …………5分
与在区间的情况如下:
-
0
+
极小值
…………7分
因为 …………8分
所以函数在区间上的最大值为6. …………9分
(Ⅲ)证明:设=,
则, …………10分
令,得.
与 随x的变化情况如下:
1
0
0
极大值
极小值
则的增区间为,,减区间为. …………11分
又,,所以函数在没有零点, ……12分
又,
所以函数在上有唯一零点. …………13分
综上,在上存在唯一的,使得.
19.(本题14分)
解:(Ⅰ)
; …………2分
(Ⅱ)设,
则, …………4分
所以是以1为首项,2为公差的等差数列, …………5分
所以. …………6分
(Ⅲ)解法1:,,
所以是以1为首项,为公差的等差数列, …………7分
所以数列的前n个奇数项之和为 …………8分
由(Ⅱ)可知,,
所以数列的前n个偶数项之和为 …………10分
所以, …………11分
所以.
因为,且
所以数列是以为首项,为公差的等差数列. …………12分
由可得, …………13分
所以当或时,数列的前项和的最小值为. …………14分
解法二:由得
①, …………7分
②, …………8分
把①②两个等式相加可得,,
所以. …………10分
所以数列的前项和, …………11分
(或:由得 …………7分
…………10分
…………11分)
所以.
因为,且
所以数列是以为首项,为公差的等差数列. …………12分
由可得, …………13分
所以当或时,数列的前项和的最小值为. …………14分
20.(本题14分)
(Ⅰ)证明:
证法1:的定义域为 ……………1分
由 得
, ……………2分
. ………………3分
当时,,,故在上单调递增;
………………4分
当时,,,故在上单调递减;
……………5分
(此处为推理说明,若用列表说明则扣1分)
所以1是函数的极值点. ………………6分
证法2:(根据极值的定义直接证明)
的定义域为 ……………1分
, ……………3分
当时,,即; ………………4分
当时,,即; ……………5分
根据极值的定义, 1是的极值点. ………………6分
(Ⅱ)由题意可知,
证法1:,
令,
,故在上单调递增. ………………7分
又,又在上连续,
使得,即, ………………8分
.(*) ………………9分
随x的变化情况如下:
↘
极小值
↗
………………10分
. ………………11分
由(*)式得,代入上式得
. ………………12分
令,
,故在上单调递减. ………………13分
,又,.
即 . ………………14分
证法2:,
令, ………………7分
,令得. ………………8分
随x的变化情况如下:
↘
极小值
↗
,即,当且仅当时取到等号.………………10分
,令得. ………………11分
随x的变化情况如下:
↘
极小值
↗
………………12分
,即,当且仅当时取到等号. ………………13分
.
即. ………………14分