北京市海淀区2018届高三数学上学期期中试卷(文科附答案)
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资料简介
海淀区高三年级第一学期期中练习 ‎ 数学(文科) 2017.11‎ 本试卷共4页,150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上,在试卷上作答无效。考试结束后,将答题纸交回。‎ 第一部分(选择题 共40分)‎ 一、选择题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。‎ ‎(1)若集合,集合, 则 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎(2)命题“”的否定是 ‎(A) (B) ‎ ‎(C) (D) ‎ ‎(3)下列函数中,既是偶函数又在上单调递增的是 ‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(4)已知数列满足,则 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(5) 在平面直角坐标系中,点的纵坐标为,点在轴的正半轴上. ‎ 在△中,若,则点的横坐标为 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎(6)已知向量是两个单位向量,则“”是 ‎“”的 ‎(A)充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 ‎(C)充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件 ‎(7)已知函数()的部分图象如图所示,则的值分别为 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎(8) 若函数的值域为,则实数的取值范围是 ‎(A) (B) (C) (D)‎ 第二部分(非选择题 共110分)‎ 二、填空题共6小题,每小题5分,共30分。‎ ‎(9) 已知等差数列满足,则公差=_____.‎ ‎(10)已知向量, ,若与平行,则的值为______.‎ ‎(11)已知函数是定义在R上的周期为2的奇函数,当时, ,‎ 则.‎ ‎(12)如图,弹簧挂着一个小球作上下运动,小球在秒时相对于平衡位置的高度(厘米)由如下关系式确定:,则小球在开始振动(即)时的值为_________,小球振动过程中最大的高度差为__________厘米.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎(13) 能够说明 “设是实数.若,则” 是假命题的一个实数的值 为______.‎ ‎(14) 已知非空集合满足以下两个条件: ‎ ‎(ⅰ);‎ ‎(ⅱ)集合的元素个数不是中的元素,集合的元素个数不是中的元素.‎ 那么用列举法表示集合为 .‎ 三、解答题共6小题,共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。‎ ‎(15)(本小题13分)‎ ‎ 已知函数.‎ ‎(Ⅰ)求的值;‎ ‎(Ⅱ)求函数的单调递增区间.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎(16) (本小题13分)‎ ‎ 已知等比数列满足, .‎ ‎(Ⅰ)求的通项公式及前项和;‎ ‎(Ⅱ)设,求数列的前项和.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎(17) (本小题13分)‎ 如图,△为正三角形, ,,.‎ ‎(Ⅰ)求的值;‎ ‎(Ⅱ)求,的长.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎(18)(本小题13分) ‎ 已知函数.‎ ‎(Ⅰ)求曲线在点处的切线方程;‎ ‎(Ⅱ)求函数在上的最大值;‎ ‎(Ⅲ)求证:存在唯一的,使得.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎(19) (本小题14分)‎ ‎ 已知数列满足,,(N*).‎ ‎(Ⅰ)写出的值;[KS5UKS5U]‎ ‎(Ⅱ)设,求的通项公式;‎ ‎(Ⅲ)记数列的前项和为,求数列的前项和的最小值.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎(20) (本小题14分) ‎ 已知函数. ‎ ‎(Ⅰ)求证:1是函数的极值点;‎ ‎(Ⅱ)设是函数的导函数,求证:.‎ 海淀区高三年级第一学期期中练习参考答案 2017.11‎ 数 学(文科) ‎ 阅卷须知:‎ ‎1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数.‎ ‎2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分.‎ 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 选项 C D ‎ C D A C B D 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.(有两空的小题第一空3分)‎ ‎9. 10. 11. ‎ ‎ 12. ; 13. 14. 或 (答对一个给3分)‎ 三、解答题: 本大题共6小题,共80分. ‎ ‎15.(本题13分)‎ 解:(I) …………1分 ‎ ……3分 (、值各1分)‎ ‎ …………4分 ‎(II) …………8分 (一个公式2分)[KS5UKS5U]‎ ‎. …………10分 令 …………12分 得 ‎ 所以函数的单调递增区间为. …………13分 说明:①如果没有代入的过程或没有和的函数值,但最后结果正确扣1‎ 分;如果第(I)问先化简的,按照第(II)问相应的评分标准给分。‎ ‎② (II)问中解析式化简可以写成,参照上面步骤给分。‎ ‎③求单调区间时,正确,但没有写成区间形式、无,只要居其一扣一分,不累扣。‎ ‎ ‎ ‎16.(本题13分)‎ 解:(Ⅰ)设等比数列的公比为.‎ 因为,且 ‎ 所以,得, …………2分 又因为,所以 ,得,. …………4分 所以(N+), …………5分 所以 …………6分 ‎ …………7分 ‎(Ⅱ)因为,所以, …………9分 所以. …………11分 所以数列的前项和 ‎ …………12分 ‎. …………13分 ‎ ‎ ‎17.(本题13分)‎ 解:(Ⅰ)因为△为正三角形,,所以在△中,,所以.‎ 所以 …………1分 ‎ = …………3分 (一个公式2分)‎ 因为在△中,, …………4分 ‎ 所以. …………5分 所以. …………6分 ‎(Ⅱ)方法1:‎ 在△中,,由正弦定理得:, ……8分 所以 …………9分 又在正△中,, ,‎ 所以在△中,, …………10分 由余弦定理得:‎ ‎ …………12分 所以的长为. …………13分 ‎ ‎ 方法2:在△中,由正弦定理得:‎ ‎, …………8分 所以, …………9分 ‎ …………10分 所以 ‎ ‎ ‎. …………11分 在△中,由余弦定理得 ‎ …………12分[KS5UKS5U]‎ ‎.‎ 所以的长为. …………13分 ‎ ‎ ‎18. (本题13分)‎ ‎ 解:(Ⅰ)由,得 , …………1分 ‎ 所以,又 …………3分 所以曲线在点处的切线方程为:,‎ 即: . …………4分 ‎ ‎ ‎(Ⅱ)令,得 . …………5分 ‎ 与在区间的情况如下:‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 极小值 ‎ …………7分 因为 …………8分 所以函数在区间上的最大值为6. …………9分 ‎(Ⅲ)证明:设=,‎ 则, …………10分 令,得.‎ 与 随x的变化情况如下:‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎0‎ 极大值 极小值 ‎ ‎ 则的增区间为,,减区间为. …………11分 又,,所以函数在没有零点, ……12分 又,‎ 所以函数在上有唯一零点. …………13分 综上,在上存在唯一的,使得.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎19.(本题14分)‎ 解:(Ⅰ) ‎ ‎; …………2分 ‎(Ⅱ)设,‎ 则, …………4分 所以是以1为首项,2为公差的等差数列, …………5分 所以. …………6分 ‎(Ⅲ)解法1:,,‎ 所以是以1为首项,为公差的等差数列, …………7分 所以数列的前n个奇数项之和为 …………8分 由(Ⅱ)可知,,‎ 所以数列的前n个偶数项之和为 …………10分 所以, …………11分 所以.‎ ‎ 因为,且 所以数列是以为首项,为公差的等差数列. …………12分 由可得, …………13分 所以当或时,数列的前项和的最小值为. …………14分 解法二:由得 ‎①, …………7分 ‎②, …………8分 ‎ 把①②两个等式相加可得,,‎ ‎ 所以. …………10分 所以数列的前项和, …………11分 ‎(或:由得 …………7分 ‎ …………10分 ‎ …………11分)‎ 所以. ‎ 因为,且 所以数列是以为首项,为公差的等差数列. …………12分 由可得, …………13分 所以当或时,数列的前项和的最小值为. …………14分 ‎ ‎ ‎20.(本题14分)‎ ‎(Ⅰ)证明: ‎ 证法1:的定义域为 ……………1分 由 得 ‎, ……………2分 ‎. ………………3分 当时,,,故在上单调递增;‎ ‎ ………………4分 当时,,,故在上单调递减;‎ ‎ ……………5分 ‎ (此处为推理说明,若用列表说明则扣1分)‎ 所以1是函数的极值点. ………………6分 证法2:(根据极值的定义直接证明)‎ 的定义域为 ……………1分 ‎, ……………3分 当时,,即; ………………4分 当时,,即; ……………5分 根据极值的定义, 1是的极值点. ………………6分 ‎(Ⅱ)由题意可知,‎ 证法1:,‎ 令,‎ ‎,故在上单调递增. ………………7分 又,又在上连续,‎ 使得,即, ………………8分 ‎.(*) ………………9分 随x的变化情况如下:‎ ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ ‎ ………………10分 ‎. ………………11分 由(*)式得,代入上式得 ‎. ………………12分 令,‎ ‎,故在上单调递减. ………………13分 ‎,又,.‎ 即 . ………………14分 证法2:,‎ 令, ………………7分 ‎,令得. ………………8分 随x的变化情况如下:‎ ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ ‎,即,当且仅当时取到等号.………………10分 ‎,令得. ………………11分 随x的变化情况如下:‎ ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ ‎ ………………12分 ‎,即,当且仅当时取到等号. ………………13分 ‎.‎ 即. ………………14分 ‎ ‎ ‎ ‎

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