海淀区高三年级第一学期期中练习
数学（理科） 2017.11
本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题纸交回。
第一部分（选择题，共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）若集合，，则 （ ）
（A） （B）
（C） （D）
（2）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是 （ ）
（A） （B）
（C） （D）
（3）已知向量，，则 （ ）
（A） （B）
（C） （D）
（4）已知数列满足，则 （ ）
（A） （B）
（C） （D）
（5）将的图象向左平移个单位，则所得图象的函数解析式为（ ）
（A） （B）
（C） （D）
（6）设，则“是第一象限角”是“”的 （ ）
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
（7）设（），则下列说法不正确的是 （ ）
（A）为上偶函数 （B）为的一个周期
（C）为的一个极小值点 （D）在区间上单调递减
（8）已知非空集合满足以下两个条件：
（ⅰ），；
（ⅱ）的元素个数不是中的元素，的元素个数不是中的元素，
则有序集合对的个数为 （ ）
（A） （B） （C） （D）
第二部分（非选择题，共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（9） 定积分的值等于 ．
（10）设在海拔（单位：m）处的大气压强（单位：kPa），与的函数关系可近似表示为，已知在海拔1000 m处的大气压强为90 kPa，则根据函数关系式，在海拔2000 m处的大气压强为 kPa．
（11）能够说明“设是实数．若，则”是假命题的一个实数的值为 ．
（12）已知是边长为2的正三角形，，分别为边，的中点，则
① ；
② 若，则 ．
（13）已知函数（其中，）的部分图象如图所示，则 ， ．
（14）已知函数是定义在上的奇函数，
当时，，其中．
① ；
② 若的值域是，则的取值范围是 ．
三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，验算步骤或证明过程。
（15）（本小题13分）
已知函数．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值．
（16）（本小题13分）
已知是等比数列，满足，，数列满足，且是公差为2的等差数列．
（Ⅰ）求数列和的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前项和．
（17）（本小题13分）
已知函数，其中．
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求在区间上的最小值．（其中是自然对数的底数）
（18）（本小题13分）
如图，在四边形中， ，且为正三角形.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，，求和的长.
（19）（本小题14分）
已知函数（），（）
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）求证：1是的唯一极小值点；
（Ⅲ）若存在，，满足，求的取值范围.（只需写出结论）
（20）（本小题14分）
若数列：，，…，（）中（）且对任意的
恒成立，则称数列为“数列”．
（Ⅰ）若数列，，，为“数列”，写出所有可能的，；
（Ⅱ）若“数列”：，，…，中，，，求的最大值；
（Ⅲ）设为给定的偶数，对所有可能的“数列”：，，…，，
记，其中表示，，…，这个数中最大的数，求的最小值．
海淀区高三年级第一学期期中练习参考答案 2017.11
数 学（理科）
阅卷须知:
1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数.
2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分.
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.[KS5UKS5U.KS5U
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
选项
C
A
D
D
B
C
D[KS5UKS5U]
A
二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.(有两空的小题第一空3分)
9． 0 10．81 11．2 12．（1） （2）
13． ， 14．（1） （2）
三、解答题: 本大题共6小题，共80分.
15．（本题13分）
解：（Ⅰ）因为 ……………………1分
……………………2分
……………………3分
（Ⅱ）
……………………4分
……………………8分
（一个公式2分）
……………………10分
因为， 所以 ……………………11分
所以 故
当即时，有最大值
当即时，有最小值 …………………… 13分
（函数最大值和最小值结果正确1分，写出取得最大值和最小值时对应自变量的取值1分）
16．（本题13分）
解：（Ⅰ）设数列的公比为，则
……………………2分
解得， ……………………3分
所以， ……………………5分
令，则
……………………7分
……………………9分
（Ⅱ） …………………13分
（分组求和，每组求对给2分）
17．（本题13分）
解：（Ⅰ）当时，， ，………………1分
此时，，， ……………………2分
故曲线在点处的切线方程为． ……………………3分
（Ⅱ）的定义域为 ……………………4分
……………………5分
令得，或 ……………………6分
① 当时，
对任意的，，在上单调递增 …………7分
…………………… 8分
② 当时
0
↘
极小
↗
……………………10分
……………………11分
② 当时，
对任意的，，在上单调递减 …………12分
…………………… 13分
由①、②、③可知，
18．（本题13分）
解：（Ⅰ）因为，
所以
…………………… 2分 （没写角取值范围的扣1分 ）
所以
……………………4分
…………………… 6分
（Ⅱ）设，，在和中由余弦定理得
…………………10分
（每个公式给2分）[KS5UKS5U.KS5U
代入得
解得或（舍）
即， ……………………13分
19．（本题14分）
解：（Ⅰ） 因为 ……………………2分
[KS5UKS5UKS5U]
令，得 [KS5UKS5U]
因为，所以 …………………… 3分
当变化时，，的变化情况如下：
极大值
…………………… 5分
故的单调递增区间为，的单调递减区间为 …………………… 6分
（Ⅱ）证明：
（）， …………………… 7分
设，则
故在是单调递增函数， …………………… 8分
又，故方程只有唯一实根 ……………………10分
当变化时，，的变化情况如下：
1
极小值
……………………12分
故在时取得极小值，即1是的唯一极小值点.
（Ⅲ） ……………………14分
20．（本题14分）
解：（Ⅰ），或 …………………… 3分
（Ⅱ）的最大值为，理由如下 …………………… 4分
一方面，注意到：
对任意的，令，则且（），故对任意的恒成立． （★）
当，时，注意到，得
（）
此时
即，解得：，故 ……………… 7分
另一方面，取（），则对任意的，，故数列为“数列”，此时，即符合题意．
综上，的最大值为65． ……………………9分
（Ⅲ）的最小值为，证明如下： …………………… 10分
当（，）时，
一方面：
由（★）式，，
．
此时有：
故………… 13分
另一方面，当，，…，，，，…，
时，
取，则，，，且
此时．
综上，的最小值为． ……………………14分
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