河南省郑州市第一中学2018届高三上学期第二次月考数学（文）试题（含解析）.doc

www.ks5u.com 河南省郑州市第一中学2018届高三上学期第二次月考 数学（文）试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1. 已知集合，，则 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵集合，，‎ ‎∴ ‎ 故选：B ‎2. 复数（是虚数单位）在复平面内所对应的点在直线 上．（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵‎ ‎∴复数在复平面内所对应的点为 显然在直线上，‎ 故选：C ‎3. 已知命题：，命题：，则命题是命题的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】当，显然,∴，充分性具备；‎ 当时，若，则，显然必要性不具备，‎ ‎∴命题是命题的充分不必要条件 故选：A ‎4. 抛物线上一点到焦点的距离为3，则点到直线的距离为（ ）‎ A. 5 B. 6 C. 10 D. 12‎ ‎【答案】D ‎【解析】设的横坐标为，因为抛物线上一点到焦点的距离为3，即到准线的距离为3,∴，得..............................‎ ‎∴点到直线的距离为 故选：D ‎5. 已知数列的通项公式为，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ 故选：D ‎6. 曲线在点处的切线方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵，∴,‎ ‎∴切线斜率，且 ‎∴曲线在点处的切线方程是 即 故选：A ‎7. 某程序框图如图所示，则输出的结果等于（ ）‎ A. 7 B. 16 C. 28 D. 43‎ ‎【答案】C ‎【解析】执行程序：，,‎ ‎,,判断不符合条件，‎ ‎,,判断不符合条件，‎ ‎,,判断符合条件，‎ 故选：C ‎8. 为了调查民众对最新各大城市房产限购政策的了解情况，对甲、乙、丙、丁四个不同性质的单位做分层抽样调查．假设四个单位的人数有如下关系：甲、乙的人数之和等于丙的人数，甲丁的人数之和等于乙、丙的人数之和，且丙单位有36人，若在甲、乙两个单位抽取的人数之比为1:2，则这四个单位的总人数为（ ）‎ A. 96 B. 120 C. 144 D. 160‎ ‎【答案】B ‎【解析】设甲单位人数为，乙单位的人数，丙单位的人数，丁单位的人数 由题意得，解得：‎ 易得：这四个单位的总人数为120‎ 故选：B ‎9. 函数的递减区间为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】函数的定义域为 令，在上单调递减，在上单调递增 ‎∴函数的递减区间为 故选：A ‎10. 已知某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：）可得这个几何体的体积是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由三视图易知：该几何体为正方体上面放了半个圆锥.‎ 其体积为：‎ 故选：D 点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.‎ ‎11. 小王计划租用两种型号的小车安排30名队友（大多有驾驶证，会开车）出去游玩，与两种型号的车辆每辆的载客量都是5人，租金分别为1000元/辆和600元/辆，要求租车总数 不超过12辆且不少于6辆，且型车至少要有1辆，则租车所需的最少租金为（ ）‎ A. 1000元 B. 2000元 C. 3000元 D. 4000元 ‎【答案】D ‎【解析】设分别租用A，B两种型号的小车x辆、y辆，所用的总租金为z元，‎ 则 其中x，y满足不等式组，‎ 作出可行域：‎ 当直线经过D点时，z最小，此时D（1,5）‎ ‎∴租车所需的最少租金为 故选：D 点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.‎ ‎12. 祖暅原理也就是“等积原理”，它是由我国南北朝杰出的数学家祖冲之的儿子祖暅首先提出来的，祖暅原理的内容是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．已知，两个 平行平面间有三个几何体，分别是三棱锥、四棱锥、圆锥（高度都为），其中：三棱锥的底面是正三角形（边长为），四棱锥的底面是有一个角为的菱形（边长为），圆锥的体积为，现用平行于这两个平行平面的平面去截三个几何体，如果截得的三个截面的面积相等，那么，下列关系式正确的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由祖暅原理可知：三个几何体的体积相等.设圆锥的底面半径为r，‎ 可得：‎ 由，易得：‎ 由V，易得：‎ 由，易得：‎ 故选：C 点睛：本题主要考查祖暅原理的应用，由题意易知，三个几何体的体积相等，从而构建了变量间的等量关系，根据选项合理选择方程，从而易知正确选项.‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 函数的定义域为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】x应该满足：‎ ‎，即，，，‎ ‎∴定义域为 ‎14. 已知，则实数的值为_________．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】∵∴‎ ‎∴，解得：‎ 故答案为：2‎ ‎15. 在中，内角所对的边分别为，已知，则的面积为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵由，可得，‎ ‎∴由，可得：‎ ‎∴‎ 故答案为：‎ 点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：‎ 第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.‎ 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.‎ 第三步：求结果.‎ ‎16. 正六边形的边长为1，在正六边形内随机取点，则使的面积大于的概率为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由题意，易知：点M到AB的距离大于，即M在线段FC的上方，‎ ‎∴使的面积大于的概率为 故答案为：‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） ‎ ‎17. 已知数列满足，．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设,将的底数与指数互换得到，设数列的前项和为 ‎，求证：．‎ ‎【答案】(1) ；(2)见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用待定系数法得到，所以数列是以1为首项，8为公比的等比数列，所以；（2）由（1）可知 ，所以..利用裂项相消法求和，即可证明不等式.‎ 试题解析：‎ ‎（1）设（为常数），则，‎ 得，又，所以，即 所以，由，，得 又因为，所以数列是以1为首项，8为公比的等比数列，所以，‎ 所以.‎ 所以数列的通项公式为.‎ ‎（2）由（*）式，得，所以 ‎ 将的底数与指数互换得到，所以.‎ ‎.‎ 当时，；‎ 当时，；‎ 当时，.‎ ‎.‎ 综上，成立. ‎ ‎18. 在四棱锥中，底面是矩形，平面，是等腰三角形，‎ ‎，是的一个三等分点（靠近点），的延长线与的延长线交于点，连接．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求证：在线段上可以分别找到两点，，使得直线平面，并分别求出此时的值．‎ ‎【答案】(1)见解析；(2)证明见解析，，.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由题意易证平面，又因为平面，所以.‎ ‎（2）取线段的中点，连接，作，垂足为，连接，则此时满足直线平面. 在中，由勾股定理，得，所以.在中，由，得所以.‎ 试题解析：‎ ‎（1）证明：因为平面，平面，所以.‎ 因为底面是矩形，所以 又因为，所以平面.‎ 又因为平面，所以.‎ ‎（2）如图所示，取线段的中点，连接，‎ 作，垂足为，连接，则此时满足直线平面.‎ 由（1）得，平面，又平面，‎ 所以 ‎ 因为平面，所以 又因为是等腰三角形，所以.‎ 又因为，所以平面.‎ 又因为，，所以平面.‎ 易知，下面求解：‎ 因为，，所以可设，则，.‎ 在等腰直角三角形中，由勾股定理，得.‎ 因为平面，又平面，‎ 所以 的平面图如图所示：‎ 在中，由勾股定理，得，‎ 所以.‎ 在中，由，得所以.‎ 综上，在线段上可以分别找到两点，，使得直线平面，‎ 并且此时，‎ 点睛：垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.‎ ‎(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.‎ ‎19. 某校高一年级共有1000名学生，其中男生400名，女生600名，该校组织了一次口语模拟考试（满分为100分）．为研究这次口语考试成绩为高分（80分以上（含80分）为高分）是否与性别有关，现按性别采用分层抽样的方法抽取100名学生的成绩，按从低到高分成七组，并绘制成如图所示的频率分布直方图．已知区间上的频率等于区间上频率，区间上的频率与区间上的频率之比为．‎ ‎0．010‎ ‎0．050‎ ‎0．025‎ ‎0．010‎ ‎0．001‎ ‎6．635‎ ‎3．841‎ ‎5．024‎ ‎6．635‎ ‎10．828‎ ‎（1）估计该校高一年级学生在口语考试中，成绩为高分的人数；‎ ‎（2）请你根据已知条件将下列列联表补充完整，并判断是否有的把握认为“该校高一年级学生在本次考试中口语成绩及格（60分以上（含60分）为及格）与性别有关”．‎ 附：‎ ‎【答案】(1) 该校高一年级学生在口语考试中，成绩为高分的频率为；(2) 有的把握认为“该校高一年级学生在本次考试中口语成绩及格（60分以上（含60分）为及格）与性别有关”．.‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据频率分布直方图得到成绩为高分的概率，从而得到成绩为高分的人数；（2）由列联表中数据，代入公式，求出K2的值，进而与临界值比较，即可得出结论．‎ 试题解析：‎ ‎(1)设区间上的频率为，则区间上的频率为，‎ 区间上的频率为，‎ 则，‎ 解得.‎ 故区间上的频率为，区间上的频率为.‎ 所以估计该校高一年级学生在口语考试中，成绩为高分的频率为 所以估计该校高一年级学生在口语考试中，成绩为高分的频率为.‎ ‎（2）根据已知条件补全列联表如下：‎ 因为，‎ 所以有的把握认为“该校高一年级学生在本次考试中口语成绩及格（60分以上（含60分）为及格）与性别有关”．‎ ‎20. 已知椭圆：的离心率与双曲线：的离心率互为倒数，且经过点．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）如图，已知是椭圆上的两个点，线段的中垂线的斜率为且与交于点，为坐标原点，求证：三点共线．‎ ‎【答案】(1) ；(2)见解析.‎ ‎【解析】试题分析：(1)由二者离心率互为倒数以及椭圆经过点，建立关于a，b，c的方程组从而得到椭圆的标准方程；（2）因为线段线段的中垂线的斜率为，所以线段所在直线的斜率为，线段所在直线的方程为，联立方程可得，利用韦达定理得到弦的中点的坐标，所以，所以点在定直线上，而两点也在定直线上，所以三点共线．‎ 试题解析：‎ ‎（1）因为双曲线：的离心率，‎ 而椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数，所以椭圆的离心率为，‎ 设椭圆的半焦距为，则.①‎ 又椭圆经过点，所以.②‎ ‎，③‎ 联立①②③，解得.‎ 所以椭圆的标准方程为.‎ ‎（2）因为线段线段的中垂线的斜率为，所以线段所在直线的斜率为.‎ 所以可设线段所在直线的方程为，‎ 设点，‎ 联立，消去，并整理得，‎ 显然.‎ 所以 ‎，‎ 则 因为，所以，‎ 所以点在定直线上，而两点也在定直线上，所以三点共线．‎ ‎21. 已知函数的一个极值为．‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）若函数在区间上的最大值为18，求实数的值．‎ ‎【答案】(1) 实数的值为或5；(2) 实数的值为.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由题意得，函数有两个极值为和令，从而得到实数的值；（2）研究函数在区间上的单调性，明确函数的最大值，建立关于实数的方程，解之即可.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由，得 ‎，‎ 令，得或；令，得；‎ 令，得或.‎ 所以函数有两个极值为和令.‎ 若，得，解得；‎ 若，得，解得；‎ 综上，实数的值为或5. ‎ ‎（2）由（1）得，，在区间上的变化情况如下表所示：‎ 由上表可知，当时，函数在区间上的最大值为，其值为或，不符合题意．‎ 当时，函数在区间上的最大值为，其值为或25，不符合题意．‎ 当时，要使函数在区间上的最大值为18，必须使，且（因为若，则极大值，那么，函数在区间上的最大值只可能小于，更小于18，不合题意）.‎ 即，所以.‎ 所以或.‎ 因为，所以舍去.‎ 综上，实数的值为．‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．‎ ‎22. 选修4-4：坐标系与参数方程 已知直线经过点，倾斜角，圆的极坐标方程．‎ ‎（1）写出直线的参数方程，并把圆的方程化为直角坐标方程；‎ ‎（2）设圆上的点到直线的距离最近，点到直线的距离最远，求点的横坐标之积．‎ ‎【答案】(1) 圆的直角坐标方程为；(2) 点的横坐标之积为.‎ ‎【解析】试题分析：（I）由题意可得直线l的参数方程为：（t为参数）．圆C的极坐标方程是ρ=2cosθ即ρ2=2ρcosθ，利用ρ2=x2+y2，x=ρcosθ即可化为直角坐标方程．‎ ‎（II）经过圆心（1，0）且与直线l垂直的直线方程为：y=﹣（x﹣1），即直线AB的方程．与圆的方程联立化为：．利用根与系数的关系即可得出．‎ 试题解析：‎ ‎（1）直线的参数方程为即（为参数）‎ 由得 因为，，，‎ 所以，即圆的直角坐标方程为.‎ ‎（2）将直线的参数方程化为直角坐标方程是，‎ 过圆心且垂直于的直线的方程为，‎ 即.‎ 则直线：与圆：的交点为两点.‎ 设点的横坐标分别为，联立消去，‎ 得，则.‎ 故点的横坐标之积为.‎ ‎23. 选修4-5：不等式选讲 已知函数．‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】(1) 不等式的解集为或；(2)的取值范围是.‎ ‎【解析】试题分析： （Ⅰ）讨论x的取值，利用零点分段法把不等式转化为去掉绝对值的不等式，从而求出不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）把不等式变形，求出f（x）的最小值，再解关于a的不等式即可．‎ 试题解析：‎ ‎（1）原不等式等价于或或 ‎，解得或或.‎ 所以不等式的解集为或．‎ ‎（2）不等式恒成立等价于，即 因为，‎ 所以，得，得，解得.‎ 故实数的取值范围是.‎ 点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．‎