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课时作业(五)
[1.2 第 3 课时 勾股定理的逆定理]
一、选择题
1．下列四组线段中，能组成直角三角形的是( )
A．a＝1，b＝2，c＝2 B．a＝2，b＝3，c＝4
C．a＝2，b＝4，c＝5 D．a＝3，b＝4，c＝5
2．若△ABC 的三边 a，b，c 满足(a－c)(a2＋b2－c2)＝0，则△ABC 是( )
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形
D．等腰直角三角形
3．五根小木棒，其长度分别为 7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，
如图 K－5－1，其中正确的是 ( )
图 K－5－1
4．如图 K－5－2，在正方形网格中有一个△ABC，若小方格的边长均为 1，则△ABC 是
( )
图 K－5－2
A．直角三角形
B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．以上答案都不正确
5．2018·长沙我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目：
“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这
道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为 5 里、12 里、13 里，问这块沙田面积有
多大？题中的“里”是我国市制长度单位，1 里＝500 米，则该沙田的面积为( )
A．7.5 平方千米
B．15 平方千米
C．75 平方千米
D．750 平方千米
二、填空题
6．2017·益阳如图 K－5－3，在△ABC 中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，CD 是 AB 边上的2
中线．则 CD＝________．
图 K－5－3
7．如果△ABC 的三边长分别为 5，12，x，那么当 x 为______时，△ABC 是直角三角
形．
三、解答题
8．根据三角形的三边 a，b，c 的长，判断三角形是不是直角三角形．
(1)a＝11，b＝60，c＝61；
(2)a＝
2
3，b＝1，c＝
5
4.链接听课例2归纳总结
9．如图 K－5－4，在△ABC 中，CD 是 AB 边上的高，AB＝10 cm，BC＝8 cm，AC＝6 cm.
(1)求△ABC 的面积；
(2)求 CD 的长；
(3)若 BE 是△ABC 的边 AC 上的中线，求△ABE 的面积．
图 K－5－4
10．如图 K－5－5，在△ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，BC＝4，AC＝2，AD＝2 2.
(1)求∠C 的度数；
(2)求 AB 的长．
图 K－5－5
11．如图 K－5－6，小明的爸爸在鱼池边开垦了一块四边形土地种植一些蔬菜，爸爸让3
小明计算这块土地的面积，以便计算产量．小明找来一卷米尺，测得 AD＝3 m，AB＝4 m，∠
BAD＝90°，BC＝12 m，CD＝13 m．请你帮小明计算四边形 ABCD 的面积.链接听课例3归纳总结
图 K－5－6
12．图 K－5－7 是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方形，他在挖完后测量
了一下，发现 AB＝DC＝11 m，AD＝BC＝6 m，AC＝12 m，请你帮他看一下挖的是否合格．
图 K－5－7
13．在△ABC 中，∠A，∠B，∠C 所对的边分别为 a，b，c，且 a，b，c 满足条件 a2＋b2
＋c2＋338＝10a＋24b＋26c，试判断△ABC 的形状．
阅读理解题根据我国古代《周髀算经》记载，公元前 1120 年商高对周公说，将一根直尺折4
成一个直角，两端连接得到一个直角三角形，如果勾是 3，股是 4，那么弦就等于 5.后人概
括为“勾三、股四、弦五”．
(1)观察：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；…；发现这些勾股数的勾都是奇数，
且从 3 起就没有间断过，并且
1
2×(9－1)＝4，
1
2×(9＋1)＝5，
1
2×(25－1)＝12，
1
2×(25＋1)
＝13.
发现规律：当勾＝n(n≥3，且 n 为奇数)时，股＝
1
2(n2－1)，弦＝
1
2(n2＋1)，分别写出
能表示 7，24，25 的股和弦的算式；
(2)根据(1)的规律，用含 n(n 为奇数，且 n≥3)的代数式来表示所有这些勾股数的勾、
股、弦，合理猜想它们之间的两种等量关系，并对其中一种猜想加以证明；
(3)继续观察①6，8，10；②8，15，17；③10，24，26；…；可以发现各组的第一个数
都是偶数，且从 6 起也没有间断过，运用类似上述探索的方法，直接用含 m(m 为偶数，且 m
≥6)的代数式来表示它们的股和弦．5
详解详析
课堂达标
1．[解析] D ∵12＋22≠22，
∴长为 1，2，2 的线段不能组成直角三角形；
∵22＋32≠42，∴长为 2，3，4 的线段不能组成直角三角形；
∵22＋42≠52，
∴长为 2，4，5 的线段不能组成直角三角形；
∵32＋42＝52，
∴长为 3，4，5 的线段能组成直角三角形．故选 D.
2．[解析] C ∵(a－c)(a2＋b2－c2)＝0，
∴a－c＝0 或 a2＋b2－c2＝0，
则 a＝c 或 a2＋b2＝c2，
∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形，
故选 C.
3．C
4．[解析] A 利用勾股定理求出 AC＝ 13，AB＝ 52，BC＝ 65，所以有 AC2＋AB2＝
BC2，所以△ABC 是直角三角形．
5．[解析] A ∵52＋122＝132，∴这个三角形为直角三角形．又∵5 里＝5×500 米＝2500
米＝2.5 千米，12 里＝12×500 米＝6000 米＝6 千米，∴S＝
1
2×6×2.5＝7.5(平方千米)．
6．[答案] 6.5
[解析] ∵AC＝5，BC＝12，AB＝13，∴AC2＋BC2＝52＋122＝169，AB2＝169，∴AC2＋BC2
＝AB2，∴△ABC 是以∠ACB 为直角的直角三角形．∵CD 是 AB 边上的中线，∴CD＝
1
2AB＝
6.5.
7．[答案] 119或 13
[解析] 若 5，12，x 中，x 最大，
则 x2＝52＋122，
即当 x＝13 时，△ABC 为直角三角形；
若 5，12，x 中，12 最大，
则 122＝x2＋52，
即当 x＝ 119时，△ABC 为直角三角形．
[点评] 此题要注意将 x 分别作为直角边长和斜边长进行分类讨论．
8．解： (1)∵a
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