1
课时作业(十二)
[2.2.1 第 2 课时 平行四边形的对角线的性质]
一、选择题
1．如图 K－12－1，▱ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，则下列说法一定正确的是( )
图 K－12－1
A．AO＝DO B．AO⊥DO
C．AO＝CO D．AO⊥AB
2．2017·眉山如图 K－12－2，EF 过▱ABCD 的对角线的交点 O，交 AD 于点 E，交 BC 于
点 F.若▱ABCD 的周长为 18，OE＝1.5，则四边形 EFCD 的周长为链接听课例1归纳总结( )
图 K－12－2
A．14 B．13 C．12 D．10
3．如图 K－12－3，在▱ABCD 中，已知∠ODA＝90°，AC＝10 cm，BD＝6 cm，则 AD 的长
为( )
图 K－12－3
A．4 cm B．5 cm C．6 cm D．8 cm
4．如图 K－12－4，在周长为 20 cm 的▱ABCD 中，AB≠AD，AC，BD 相交于点 O，OE⊥BD
交 AD 于点 E，则△ABE 的周长为( )
图 K－12－4
A．4 cm B．6 cm C．8 cm D．10 cm
5．2017·青岛如图 K－12－5，▱ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AE⊥BC，垂足为
E，AB＝ 3，AC＝2，BD＝4，则 AE 的长为( )
图 K－12－5
A.
3
2 B.
3
2 C.
21
7 D.
2 21
72
二、填空题
6．2018·泰州如图 K－12－6，在▱ABCD 中，AC，BD 相交于点 O.若 AD＝6，AC＋BD＝
16，则△BOC 的周长为________．
图 K－12－6
7．如图 K－12－7 所示，在▱ABCD 中，AC＝8，BD＝6，AD＝a，则 a 的取值范围是
________．
图 K－12－7
8．如图 K－12－8，▱ABCD 的面积为 16，对角线交于点 O；以 AB，AO 为邻边作▱AOC1B，
对角线交于点 O1；以 AB，AO1 为邻边作▱AO1C2B，对角线交于点 O2；…；依此类推，则▱AOC1B
的面积为__________；▱AO4C5B 的面积为________；▱AOnCn＋1B 的面积为________．
图 K－12－8
三、解答题
9．如图 K－12－9，已知四边形 ABCD 是平行四边形，AB＝10，AD＝8，AC⊥BC，求 AC，
OA 的长以及▱ABCD 的面积.链接听课例2归纳总结
图 K－12－9
10．如图 K－12－10，在▱ABCD 中，AD⊥DB，AC 与 BD 相交于点 O，OD＝1，∠CAD＝
30°，求 AC 和 DC 的长．3
图 K－12－10
11.如图 K－12－11，在▱ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，EO⊥AC.
(1)若△ABE 的周长为 10 cm，求▱ABCD 的周长；
(2)若∠ABC＝78°，AE 平分∠BAC，试求∠DAC 的度数．
图 K－12－11
12．如图 K－12－12，▱ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，EF 过点 O 且分别与 BC，AD 交
于点 E，F，连接 AE，CF.试猜想线段 AE，CF 的数量关系，并说明理由．
图 K－12－12
13.如图 K－12－13，O 是▱ABCD 的对角线的交点，过点 O 作直线 EF 分别交 CD，AB 于点
E，F.4
(1)求证：OE＝OF；
(2)若 AB＝5，BC＝4，OE＝1.5，则四边形 CEFB 的周长为________；
(3)若四边形 CEFB 的面积为 10，则▱ABCD 的面积为________．
图 K－12－13
操作设计在一次数学活动课上，小明用两条直线把▱ABCD 分割成四个部分，使含有一组对顶
角的两个图形全等．
(1)根据小明的分割方法，你认为把平行四边形分割成满足以上全等关系的直线有
________组；
(2)请你在如图 K－12－14 所示的三个平行四边形中画出满足小明分割方法的直线；
(3)通过以上操作，你发现所画的两条直线有什么规律？
图 K－12－145
详解详析
课堂达标
1．C
2．[解析] C 因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以 AD∥BC，OA＝OC，所以∠OAE＝∠
OCF.又因为∠AOE＝∠COF，所以△AOE≌△COF，所以 AE＝CF，OE＝OF.因为 AB＝CD，AD＝
BC，所以四边形 EFCD 的周长为 AD＋CD＋EF＝
1
2×18＋2×1.5＝12.
3．[解析] A 在▱ABCD 中，OD＝
1
2BD＝3 cm，AO＝
1
2AC＝5 cm.在 Rt△AOD 中，AD＝
AO2－OD2＝ 52－32＝4(cm)．
4．[解析] D ∵四边形 ABCD 为平行四边形，
∴OB＝OD.
∵OE⊥BD，∴EB＝ED，
∴AE＋ED＝AE＋EB，
∴AB＋AD＝AB＋AE＋BE＝△ABE 的周长．
∵▱ABCD 的周长＝2(AB＋AD)＝20 cm，
∴△ABE 的周长＝AB＋AD＝10 cm.
5．[解析] D ∵在▱ABCD 中，AC＝2，BD＝4，∴AO＝1，BO＝2.∵AB＝ 3，∴△ABO 是
直角三角形，∠BAO＝90°，∴BC＝ AB2＋AC2＝ 7，在 Rt△ABC 中，S△ABC＝
1
2AB·AC＝
1
2
BC·AE，
1
2× 3×2＝
1
2× 7·AE，∴AE＝
2 21
7 .
6．[答案] 14
[解析] 在▱ABCD 中，BC＝AD＝6.∵OB＝OD，OA＝OC，AC＋BD＝16，∴OB＋OC＝8，∴△
BOC 的周长＝OB＋OC＋BC＝14.
7．[答案] 1＜a＜7
[解析] 设▱ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，则 OA＝OC＝4，OB＝OD＝3.在△OAD 中，OA
－OD＜AD＜OA＋OD，即 1＜a＜7.故答案为 1＜a＜7.
8．[答案] 8
1
2
8
2n－3
[解析] ∵▱ABCD 的面积为 16，O 为▱ABCD 的对角线的交点，∴▱AOC1B 底边 AB 上的高等
于▱ABCD 底边 AB 上的高的
1
2，∴▱AOC1B 的面积＝
1
2×16.∵▱AOC1B 的对角线交于点 O1，∴▱
AO1C2B 的边 AB 上的高等于▱AOC1B 底边 AB 上的高的
1
2，∴▱AO1C2B 的面积＝
1
2×
1
2×16＝
1
22×
16，…，依此类推，▱AO4C5B 的面积＝
1
25×16＝
1
2；▱AOnCn＋1B 的面积为
1
2n＋1×16＝
8
2n－3.
9．解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴BC＝AD＝8.
∵AB＝10，AC⊥BC，∴AC＝ AB2－BC2＝6，
∴OA＝
1
2AC＝3，
∴S▱ABCD＝BC·AC＝8×6＝48.6
10．解：在 Rt△AOD 中，∵∠CAD＝30°，OD＝1，
∴AO＝2OD＝2，
∴AC＝4，利用勾股定理可得 AD＝ 3.
又∵BD＝2OD＝2，
∴在 Rt△ABD 中，AB＝ AD2＋BD2＝ 7，
∴DC＝ 7.
11．解：(1)∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴OA＝OC.∵OE⊥AC，
∴OE 所在直线是线段 AC 的垂直平分线，
∴AE＝CE，
∴△ABE 的周长＝AB＋BE＋AE＝AB＋BE＋CE＝AB＋BC＝10 cm，
根据平行四边形的对边相等，得
▱ABCD 的周长为 2×10＝20(cm)．
(2)由(1)知，AE＝CE，
∴∠EAC＝∠ECA.
∵∠ABC＝78°，AE 平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠EAC＝∠ECA，
∴3∠ECA＋78°＝180°，∴∠ECA＝34°.
∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ECA＝34°.
12．解：AE＝CF.
理由：∵四边形 ABCD 为平行四边形，
∴OA＝OC，AD∥BC，∴∠AFE＝∠CEF.
在△AOF 和△COE 中，{∠AFO＝∠CEO，
∠AOF＝∠COE，
OA＝OC，
∴△AOF≌△COE(AAS)，∴OF＝OE.
在△AOE 和△COF 中，{OA＝OC，
∠AOE＝∠COF，
OE＝OF，
∴△AOE≌△COF(SAS)，∴AE＝CF.
13．解：(1)证明：在▱ABCD 中，OD＝OB，
DC∥AB，∴∠EDO＝∠FBO.
又∵∠DOE＝∠BOF，
∴△ODE≌△OBF，∴OE＝OF.
(2)12 (3)20
素养提升
解：(1)无数(2)略．
(3)两条直线都经过平行四边形对角线的交点．
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