第9章 中心对称图形—平行四边形
本章中考演练
一、选择题
1．2018·盐城 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
图9－Y－1
2．2018·安徽 在▱ABCD中，E，F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是( )
A．BE＝DF B．AE＝CF
C．AF∥CE D．∠BAE＝∠DCF
3．2018·宁波 如图9－Y－2，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，连接OE.若∠ABC＝60°，∠BAC＝80°，则∠1的度数为( )
A．50° B．40° C．30° D．20°
图9－Y－2
图9－Y－3
4．2018·衢州 如图9－Y－3，将矩形ABCD沿GH折叠，点C落在点Q处，点D落在AB边上的点E处，若∠AGE＝32°，则∠GHC等于( )
A．112° B．110°
C．108° D．106°
图9－Y－4
5．2018·临沂 如图9－Y－4，E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．则下列说法：
①若AC＝BD，则四边形EFGH为矩形；
②若AC⊥BD，则四边形EFGH为菱形；
③若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分；
④若四边形EFGH是正方形，则AC与BD互相垂直且相等．
其中正确的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
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图9－Y－5
6．2018·金华 如图9－Y－5，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC.若点A，D，E在同一条直线上，∠ACB＝20°，则∠ADC的度数是( )
A．55° B．60°
C．65° D．70°
二、填空题
7．2018·衡阳 如图9－Y－6，▱ABCD的对角线相交于点O，且AD≠CD，过点O作OM⊥AC，交AD于点M.如果△CDM的周长为8，那么▱ABCD的周长是________．
图9－Y－6
图9－Y－7
8．2018·广州 如图9－Y－7，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为(3，0)，(－2，0)，点D在y轴上，则点C的坐标是________．
9．2018·株洲 如图9－Y－8，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC＝10，P，Q分别为AO，AD的中点，则PQ的长为________．
图9－Y－8
图9－Y－9
10．2018·扬州 如图9－Y－9，四边形OABC是矩形，点A的坐标为(8，0)，点C的坐标为(0，4)，把矩形OABC沿OB折叠，点C落在点D处，则点D的坐标为________．
图9－Y－10
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11．2018·青岛 如图9－Y－10，已知正方形ABCD的边长为5，点E，F分别在AD，DC上，AE＝DF＝2，BE与AF相交于点G，H为BF的中点，连接GH，则GH的长为________．
三、解答题
12．2018·淮安 已知：如图9－Y－11，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线分别与AD，BC相交于点E，F.求证：AE＝CF.
图9－Y－11
13．2018·枣庄 如图9－Y－12，在4×4的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．
(1)在图①中，画出一个与△ABC成中心对称的格点三角形；
(2)在图②中，画出一个与△ABC成轴对称且与△ABC有公共边的格点三角形；
(3)在图③中，画出△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°后的三角形．
图9－Y－12
14．2018·南通 如图9－Y－13，在▱ABCD中，E是BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F.
(1)求证：CF＝AB；
(2)连接BD，BF，当∠BCD＝90°时，求证：BD＝BF.
图9－Y－13
15．2018·徐州 已知四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，给出下列四个论断：
①OA＝OC，②AB＝CD，③∠BAD＝∠DCB，④AD∥BC.
请你从中选择两个论断作为条件，以“四边形ABCD为平行四边形”作为结论，完成下列各题：
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(1)构造一个真命题，画图并给出证明；
(2)构造一个假命题，举反例加以说明．
16．2018·泰安 如图9－Y－14，在△ABC中，D是AB上一点，DE⊥AC于点E，F是AD的中点，FG⊥BC于点G，与DE交于点H，若FG＝AF，AG平分∠CAB，连接GE，GD.
(1)求证：△ECG≌△GHD；
(2)小亮同学经过探究发现：AD＝AC＋EC.请你帮助小亮同学证明这一结论；
(3)若∠B＝30°，判断四边形AEGF是不是菱形，并说明理由．
图9－Y－14
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详解详析
本章中考演练
1．[解析] D A．不是轴对称图形，是中心对称图形；B.是轴对称图形，不是中心对称图形；C.是轴对称图形，不是中心对称图形；D.是轴对称图形，也是中心对称图形．故选D.
2．[解析] B 如图，连接AC，与BD相交于点O，
在▱ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，
要使四边形AECF为平行四边形，只需证明得到OE＝OF即可．
A．若BE＝DF，则OB－BE＝OD－DF，即OE＝OF，故本选项不符合题意；
B．若AE＝CF，则无法证得OE＝OF，故本选项符合题意；
C．若AF∥CE，则能够利用“角边角”证明△AOF和△COE全等，从而得到OE＝OF，故本选项不符合题意；
D．若∠BAE＝∠DCF，则能够利用“角边角”证明△ABE和△CDF全等，从而得到DF＝BE，然后同A选项，故本选项不符合题意．
故选B.
3．[解析] B ∵∠ABC＝60°，∠BAC＝80°，
∴∠BCA＝180°－60°－80°＝40°.
∵对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，
∴EO是△DBC的中位线，
∴EO∥BC，∴∠1＝∠BCA＝40°.
故选B.
4．[解析] D 根据折叠前后对应角相等可知∠DGH＝∠EGH.∵∠AGE＝32°，∴∠EGH＝×(180°－32°)＝74°.∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠GHC＝∠AGH＝∠EGH＋∠AGE＝106°.故选D.
5．[解析] A 因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，所以当对角线AC＝BD时，中点四边形是菱形，当对角线AC⊥BD时，中点四边形是矩形，当对角线AC＝BD，且AC⊥BD时，中点四边形是正方形，故说法④正确，故选A.
6．[解析] C ∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC.
∴∠DCE＝∠ACB＝20°，∠BCD＝∠ACE＝90°，AC＝CE，
∴∠ACD＝90°－20°＝70°.
∵点A，D，E在同一条直线上，
∴∠ADC＋∠EDC＝180°.
又∵∠EDC＋∠E＋∠DCE＝180°，
∴∠ADC＝∠E＋20°.
∵∠ACE＝90°，AC＝CE，
∴∠DAC＋∠E＝90°，∠E＝∠DAC＝45°.
在△ADC中，∠ADC＋∠DAC＋∠ACD＝180°，
即45°＋70°＋∠ADC＝180°，
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解得∠ADC＝65°，故选C.
7．[答案] 16
[解析] ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC.
又∵OM⊥AC，∴AM＝MC.
∴△CDM的周长＝AD＋CD＝8，
∴平行四边形ABCD的周长是2×8＝16.
8．[答案] (－5，4)
[解析] ∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为(3，0)，(－2，0)，点D在y轴上，
∴AB＝5，∴AD＝5，
∴由勾股定理知：OD＝＝＝4，
∴点C的坐标是(－5，4)．
故答案为(－5，4)．
9．[答案] 2.5
[解析] ∵四边形ABCD是矩形，
∴BD＝AC＝10，BO＝DO＝BD，
∴DO＝BD＝5.
∵P，Q分别是AO，AD的中点，
∴PQ是△AOD的中位线，
∴PQ＝DO＝2.5.
故答案为2.5.
10．[答案] (，－)
[解析] 由折叠得∠CBO＝∠DBO.
在矩形ABCO中，BC∥OA，
∴∠CBO＝∠BOA，
∴∠DBO＝∠BOA，
∴BE＝OE.
在△ODE和△BAE中，
∴△ODE≌△BAE(AAS)，
∴AE＝DE.
设DE＝AE＝x，则有OE＝BE＝8－x.
在Rt△ODE中，根据勾股定理，得42＋x2＝(8－x)2，
解得x＝3，即DE＝3，OE＝5.
过点D作DF⊥OA于点F，
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∵S△OED＝OD·DE＝OE·DF，
∴DF＝，OF＝＝，
则D(，－)．
11．[答案]
[解析] ∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝BC＝CD＝5，∠BAD＝∠D＝∠C＝90°.又∵AE＝DF，∴△ABE≌△DAF，∴∠DAF＝∠ABE，∴∠ABE＋∠BAG＝90°，∴∠BGF＝∠BGA＝90°.在Rt△BCF中，BC＝5，CF＝3，∴BF＝＝.在Rt△BGF中，∵H为BF的中点，∴GH＝BF＝.
12．证明：∵▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，
∴AO＝CO，AD∥BC，
∴∠EAC＝∠FCO.
在△AOE和△COF中，
∴△AOE≌△COF，
∴AE＝CF.
13．解：(1)答案不唯一，如图①所示，△DCE即为所作．
(2)答案不唯一，如图②所示，△ACD即为所作．
(3)如图③所示，△ECD即为所作．
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14．证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DF，
∴∠BAE＝∠CFE.
又∵BE＝CE，∠AEB＝∠FEC，
∴△AEB≌△FEC，∴CF＝AB.
(2)如图，连接AC.
∵四边形ABCD是平行四边形，∠BCD＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴BD＝AC.
∵AB＝CF，AB∥CF，
∴四边形ACFB是平行四边形，
∴BF＝AC，∴BD＝BF.
15．解：(1)答案不唯一，如以①④为条件构成真命题：在四边形ABCD中，OA＝OC，AD∥BC，则四边形ABCD是平行四边形．
证明如下：如图，
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠BCA，∠ADB＝∠DBC.
又∵OA＝OC，∴△AOD≌△COB，
∴AD＝BC，
∴四边形ABCD为平行四边形．
(2)答案不唯一，如以②④为条件构成假命题：在四边形ABCD中，AB＝CD，AD∥BC，则四边形ABCD是平行四边形．理由如下：如图，在四边形ABCD中，满足AB＝CD，AD∥BC，四边形ABCD是等腰梯形，不是平行四边形．
16．解：(1)证明：∵AF＝FG，
∴∠FAG＝∠FGA.
∵AG平分∠CAB，
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∴∠CAG＝∠FAG，
∴∠CAG＝∠FGA，∴AC∥FG.
∵DE⊥AC，∴FG⊥DE.
又∵FG⊥BC，∴DE∥BC，
∴AC⊥BC，∠CGE＝∠GED，
∴∠C＝∠DHG＝90°.
∵F是AD的中点，FG∥AE，
∴H是DE的中点，
∴FG是线段DE的垂直平分线，
∴GE＝GD，
∴∠GDE＝∠GED，
∴∠CGE＝∠GDE，
∴△ECG≌△GHD.
(2)证明：过点G作GP⊥AB于点P，
∴GC＝GP，而AG＝AG，
∴Rt△CAG≌Rt△PAG，
∴AC＝AP.
由(1)可得EG＝DG，
∴Rt△ECG≌Rt△DPG，
∴EC＝PD，
∴AD＝AP＋PD＝AC＋EC.
(3)四边形AEGF是菱形．
理由：∵∠B＝30°，DE∥BC，
∴∠ADE＝30°，
∴AE＝AD.
而F是AD的中点，
∴AE＝AF＝FG.
又由(1)得AE∥FG，
∴四边形AEGF是平行四边形．
又∵AE＝AF，
∴四边形AEGF是菱形．
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