中考数学模试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．（4分）下列各数中，绝对值最大的数是（ ）
A．5 B．﹣3 C．0 D．﹣2
2．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3=a5 B．（﹣a2）3=a6 C．a2+a3=a5 D．（a2）3=a5
3．（4分）在下面的四个几何体中，它们各自的主视图与左视图不相同的是（ ）
A．圆锥 B．正方体 C．三棱柱 D．圆柱
4．（4分）王老师为了了解本班学生课业负担情况，在班中随机调查了10名学生，他们每人上周平均每天完成家庭作业所用的时间分别是（单位：小时）：1.5，2，2，2，2.5，2.5，2.5，2.5，3，3.5．则这10个数据的平均数和众数分别是（ ）
A．2.4，2.5 B．2.4，2 C．2.5，2.5 D．2.5，2
5．（4分）已知∠α=35°，那么∠α的余角等于（ ）
A．35° B．55° C．65° D．145°
6．（4分）不等式组的解集为（ ）
A．x＞ B．x＜﹣1 C．﹣1＜x＜ D．x＞﹣
7．（4分）计算，其结果是（ ）
A．2 B．3 C．x+2 D．2x+6
8．（4分）如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE=BC，连接DE，则图中等腰三角形共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
9．（4分）如图，点A，B，C，在⊙O上，∠ABO=32°，∠ACO=38°，则∠BOC等于（ ）
A．60° B．70° C．120° D．140°
10．（4分）A，B两点在一次函数图象上的位置如图所示，两点的坐标分别为A（x+a，y），B（x，y+b），下列结论正确的是（ ）
A．a＞0 B．ab＜0 C．ab＞0 D．b＜0
11．（4分）如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4．点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形，则AE的长是（ ）
A．2 B．3 C．5 D．6
12．（4分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边BC在x轴上，点D的坐标为（﹣2，6），点B是动点，反比例函数y=（x＜0）经过点D，若AC的延长线交y轴于点E，连接BE，则△BCE的面积为（ ）
A．3 B．5 C．6 D．7
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在答题卡的横线上。）
13．（4分）﹣3的相反数是 ．
14．（4分）已知一粒大米的质量约为0.000021千克，这个数用科学记数法表示为 千克．
15．（4分）如图，正方形ODBC中，OC=1，OA=OB，则数轴上点A表示的数是 ．
16．（4分）如图，与抛物线y=x2﹣2x﹣3关于直线x=2成轴对称的函数表达式为 ．
17．（4分）如图，是将菱形ABCD以点O为中心按顺时针方向分别旋转90°，180°，270°后形成的图形．若∠BAD=60°，AB=2，则图中阴影部分的面积为 ．
18．（4分）把所有正偶数从小到大排列，并按如下规律分组：（2），（4，6，8），（10，12，14，16，18），（20，22，24，26，28，30，32）…现用等式AM=（i，j）表示正偶数M是第i组第j个数（从左往右数），如A8=（2，3），A12=（3，2），则A2018= ．
三、解答题（本大题共9小题，共78分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）
19．（6分）因式分解：m3n﹣4m2n+4mn
20．（6分）解方程：x2﹣4x﹣5=0．
21．（6分）如图，正方形ABCD中，点E、F分别在AD、CD上，且AE=DF，连接BE，AF，求证：BE=AF．
22．（8分）端午节前夕，小东的父母准备购买若干个粽子和咸鸭蛋（每个粽子的价格相同，每个咸鸭蛋的价格相同）．已知粽子的价格比咸鸭蛋的价格贵1.8元，花30元购买粽子的个数与花12元购买咸鸭蛋的个数相同，求粽子与咸鸭蛋的价格各多少？
23．（8分）如图，已知等腰三角形ABC的底角为30°，以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E．
（1）证明：DE为⊙O的切线；
（2）连接OE，若BC=4，求△OEC的面积．
24．（10分）随着交通道路的不断完善，带动了旅游业的发展，某市旅游景区有A、B、C、D、E等著名景点，该市旅游部门统计绘制出2017年“五•一”长假期间旅游情况统计图，根据以下信息解答下列问题：
（1）2017年“五•一”期间，该市周边景点共接待游客 万人，扇形统计图中A景点所对应的圆心角的度数是 ，并补全条形统计图．
（2）根据近几年到该市旅游人数增长趋势，预计2018年“五•一”节将有80万游客选择该市旅游，请估计有多少万人会选择去E景点旅游？
（3）甲、乙两个旅行团在A、B、D三个景点中，同时选择去同一景点的概率是多少？请用画树状图或列表法加以说明，并列举所有等可能的结果．
25．（10分）太阳能光伏发电因其清洁、安全、便利、高效等特点，已成为世界各国普遍关注和重点发展的新兴产业．如图是太阳能电池板支撑架的截面图，其中的粗线表示支撑角钢，太阳能电池板与支撑角钢AB的长度相同，均为300cm，AB的倾斜角为30°，BE=CA=50cm，支撑角钢CD，EF与底座地基台面接触点分别为D、F，CD垂直于地面，FE⊥AB于点E．两个底座地基高度相同（即点D，F到地面的垂直距离相同），均为30cm，点A到地面的垂直距离为50cm，求支撑角钢CD和EF的长度各是多少cm（结果保留根号）．
26．（12分）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（0，6）．动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动，以CP，CO为邻边构造▱PCOD，在线段OP延长线上取点E，使PE=AO，设点P运动的时间为t秒．
（1）当点C运动到线段OB的中点时，求t的值及点E的坐标；
（2）当点C在线段OB上时，求证：四边形ADEC为平行四边形；
（3）在线段PE上取点F，使PF=1，过点F作MN⊥PE，截取FM=2，FN=1，且点M，N分别在一，四象限，在运动过程中，设▱PCOD的面积为S．
①当点M，N中有一点落在四边形ADEC的边上时，求出所有满足条件的t的值；
②若点M，N中恰好只有一个点落在四边形ADEC的内部（不包括边界）时，直接写出S的取值范围．
27．（12分）如图，抛物线y=a（x+2）2+k与x轴交于A，0两点，将抛物线向上移动4个单位长度后得到一条新抛物线，它的顶点在x轴上，新抛物线上的D，E两点分别是A，O两点平移后的对应点．设两条抛物线、线段AD和线段OE围成的面积为S．P（m，n）是新抛物线上一个动点，且满足2m2+2m﹣n﹣w=0．
（1）求新抛物线的解析式．
（2）当m=﹣2时，点F的坐标为（﹣2w，w﹣4），试判断直线DF与AE的位置关系，并说明理由．
（3）当w的值最小时，求△AEP的面积与S的数量关系．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．
【考点】18：有理数大小比较；15：绝对值．菁优网版权所有
【分析】根据绝对值的概念，可得出距离原点越远，绝对值越大，可直接得出答案．
【解答】解：|5|=5，|﹣3|=3，|0|=0，|﹣2|=2，
∵5＞3＞2＞0，
∴绝对值最大的数是5，
故选：A．
【点评】本题考查了实数的大小比较，以及绝对值的概念，解决本题的关键是求出各数的绝对值．
2．
【考点】47：幂的乘方与积的乘方；35：合并同类项；46：同底数幂的乘法．菁优网版权所有
【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方、合并同类项法则逐一判断即可得．
【解答】解：A、a2•a3=a5，此选项正确；
B、（﹣a2）3=﹣a6，此选项错误；
C、a2与a3不是同类项，不能合并，此选项错误；
D、（a2）3=a6，此选项错误；
故选：A．
【点评】本题主要考查整式的运算，解题的关键是掌握合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、积的乘方．
3．
【考点】U1：简单几何体的三视图．菁优网版权所有
【分析】主视图、左视图分别从物体正面、左面看所得到的图形．
【解答】解：A、主视图与左视图都是等腰三角形；
B、主视图与左视图都是正方形；
C、主视图为长方形，左视图为三角形，不相同；
D、主视图与左视图都是矩形；
故选：C．
【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图，左视图是从物体的左面看得到的视图．
4．
【考点】W5：众数；W1：算术平均数．菁优网版权所有
【分析】根据平均数的定义，以及众数的定义就可以解决．
【解答】解：因为这10名学生每人上周平均每天完成家庭作业所用的时间分别是（单位：小时）：1.5，2，2，2，2.5，2.5，2.5，2.5，3，3.5，则根据平均数的计算公式可得：=2.4．
这组数据中，2.5出现了4次，是出现次数最多的，即这组数据的众数是2.5．
故选：A．
【点评】本题考查数据的分析．解题的关键是理解平均数与众数的意义．
5．
【考点】IL：余角和补角．菁优网版权所有
【分析】根据余角的定义：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角计算．
【解答】解：∵∠α=35°，
∴它的余角等于90°﹣35°=55°．
故选：B．
【点评】本题考查了余角的定义，解题时牢记定义是关键．
6．
【考点】CB：解一元一次不等式组．菁优网版权所有
【分析】分别计算出两个不等式的解集，再根据大小小大中间找确定不等式组的解集即可．
【解答】解：，
由①得：x＞，
由②得：x＞﹣1，
不等式组的解集为：x＞，
故选：A．
【点评】此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
7．
【考点】6B：分式的加减法．菁优网版权所有
【分析】原式利用同分母分式的加法法则计算，约分即可得到结果．
【解答】解：原式===2．
故选：A．
【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8．
【考点】KJ：等腰三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【分析】根据已知条件分别求出图中三角形的内角度数，再根据等腰三角形的判定即可找出图中的等腰三角形．
【解答】解：∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形；
∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=72°，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=36°，
∴∠A=∠ABD=36°，
∴BD=AD，
∴△ABD是等腰三角形；
在△BCD中，∵∠BDC=180°﹣∠DBC﹣∠C=180°﹣36°﹣72°=72°，
∴∠C=∠BDC=72°，
∴BD=BC，
∴△BCD是等腰三角形；
∵BE=BC，
∴BD=BE，
∴△BDE是等腰三角形；
∴∠BED=（180°﹣36°）÷2=72°，
∴∠ADE=∠BED﹣∠A=72°﹣36°=36°，
∴∠A=∠ADE，
∴DE=AE，
∴△ADE是等腰三角形；
∴图中的等腰三角形有5个．
故选：D．
【点评】此题考查了等腰三角形的判定，用到的知识点是等腰三角形的判定、三角形内角和定理、三角形外角的性质、三角形的角平分线定义等，解题时要找出所有的等腰三角形，不要遗漏．
9．
【考点】K8：三角形的外角性质；KH：等腰三角形的性质．菁优网版权所有
【分析】过A、O作⊙O的直径AD，分别在等腰△OAB、等腰△OAC中，根据三角形外角的性质求出θ=2α+2β．
【解答】解：过A作⊙O的直径，交⊙O于D；
在△OAB中，OA=OB，
则∠BOD=∠OBA+∠OAB=2×32°=64°，
同理可得：∠COD=∠OCA+∠OAC=2×38°=76°，
故∠BOC=∠BOD+∠COD=140°．
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的外角性质，解答本题的关键是求出∠COD及∠BOD的度数．
10．
【考点】F8：一次函数图象上点的坐标特征；F3：一次函数的图象．菁优网版权所有
【分析】根据一次函数的性质可以判断出a、b的正负，从而可以判断选项中的式子是否正确．
【解答】解：由图象可知，
该函数y随x的增大而增大，
∵A，B两点在一次函数图象上的位置如图所示，两点的坐标分别为A（x+a，y），B（x，y+b），
∴x+a＜x，y＜y+b，
解得，a＜0，b＞0，故选项A、D错误，
∴ab＜0，故选项B正确，选项C错误，
故选：B．
【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
11．
【考点】L8：菱形的性质；LB：矩形的性质．菁优网版权所有
【分析】连接EF交AC于O，由四边形EGFH是菱形，得到EF⊥AC，OE=OF，由于四边形ABCD是矩形，得到∠B=∠D=90°，AB∥CD，通过△CFO≌△AOE，得到AO=CO，求出AO=AC=2，根据△AOE∽△ABC，即可得到结果．
【解答】解；连接EF交AC于O，
∵四边形EGFH是菱形，
∴EF⊥AC，OE=OF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠D=90°，AB∥CD，
∴∠ACD=∠CAB，
在△CFO与△AOE中，，
∴△CFO≌△AOE，
∴AO=CO，
∵AC==4，
∴AO=AC=2，
∵∠CAB=∠CAB，∠AOE=∠B=90°，
∴△AOE∽△ABC，
∴，
∴，
∴AE=5．
故选：C．
【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练运用定理是解题的关键．
12．
【考点】G5：反比例函数系数k的几何意义；G6：反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】依据点D的坐标为（﹣2，6），CD⊥CO，即可得出CO=2，CD=6=AB，进而得到CO×AB=12，再根据=，可得BC•EO=AB•CO=12，进而得到△BCE的面积=×BC×OE=6．
【解答】解：∵点D的坐标为（﹣2，6），CD⊥CO，
∴CO=2，CD=6=AB，
∴CO×AB=12，
∵AB∥OE，
∴=，
即BC•EO=AB•CO=12，
∴△BCE的面积=×BC×OE=6，
故选：C．
【点评】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，矩形的性质以及平行线分线段成比例定理的综合应用．解题的关键是将△BCE的面积与点D的坐标联系在一起，体现了数形结合的思想方法．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在答题卡的横线上。）
13．
【考点】14：相反数．菁优网版权所有
【分析】一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号．
【解答】解：﹣（﹣3）=3，
故﹣3的相反数是3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号．一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．学生易把相反数的意义与倒数的意义混淆．
14．
【考点】1J：科学记数法—表示较小的数．菁优网版权所有
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000 021=2.1×10﹣5．
故答案为：2.1×10﹣5．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
15．
【考点】KQ：勾股定理；29：实数与数轴．菁优网版权所有
【分析】在直角三角形中根据勾股定理求得OB的值，即OA的值，进而求出数轴上点A表示的数
【解答】解：∵OB==，
∴OA=OB=，
∵点A在数轴上原点的左边，
∴点A表示的数是﹣，
故答案为：﹣．
【点评】本题考查了实数与数轴、勾股定理的综合运用．
16．
【考点】H6：二次函数图象与几何变换．菁优网版权所有
【分析】根据抛物线关于直线对称的函数的顶点关于直线对称，可得答案．
【解答】解：y=x2﹣2x﹣3的顶点是（1，﹣4），
（1，﹣4）关于x=2的对称点是（3，﹣4），
y=x2﹣2x﹣3关于直线x=2成轴对称的函数表达式为y=（x﹣3）2﹣4，
故答案为：y=（x﹣3）2﹣4．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用抛物线关于直线对称的函数的顶点关于直线对称得出抛物线的顶点是解题关键．
17．
【考点】R2：旋转的性质；L8：菱形的性质．菁优网版权所有
【分析】根据菱形的性质得出DO的长，进而求出S正方形DNMF，进而得出S△ADF即可得出答案．
【解答】解：如图所示：连接AC，BD交于点E，连接DF，FM，MN，DN，
∵将菱形ABCD以点O为中心按顺时针方向分别旋转90°，180°，270°后形成的图形，∠BAD=60°，AB=2，
∴AC⊥BD，四边形DNMF是正方形，∠AOC=90°，BD=2，AE=EC=，
∴∠AOE=45°，ED=1，
∴AE=EO=，DO=﹣1，
∴S正方形DNMF=2（﹣1）×2（﹣1）×=8﹣4，
S△ADF=×AD×AFsin30°=1，
∴则图中阴影部分的面积为：4S△ADF+S正方形DNMF=4+8﹣4=12﹣4．
故答案为：12﹣4．
【点评】此题主要考查了菱形的性质以及旋转的性质，得出正确分割图形得出DO的长是解题关键．
18．
【考点】37：规律型：数字的变化类．菁优网版权所有
【分析】先计算出2018是第1009个数，然后判断第1009个数在第几组，进一步判断是这一组的第几个数即可．
【解答】解：2018是第1009个数，
设2018在第n组，则1+3+5+7+（2n﹣1）=×2n×n=n2，
当n=31时，n2=961，
当n=32时，n2=1024，
故第1009个数在第32组，
第32组第一个数是961×2+2=1924，
则2018是第+1=48个数，
故A2018=（32，48）．
故答案为：（32，48）．
【点评】此题考查数字的变化规律，找出数字之间排列的规律，得出数字的运算规律，利用规律解决问题是关键．
三、解答题（本大题共9小题，共78分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）
19．
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．菁优网版权所有
【分析】首先提取公因式mn，再利用完全平方公式分解因式得出答案．
【解答】解：原式=mn（m2﹣4m+4）
=mn（m﹣2）2．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用完全平方公式是解题关键．
20．
【考点】A8：解一元二次方程﹣因式分解法．菁优网版权所有
【分析】因式分解法求解可得．
【解答】解：（x+1）（x﹣5）=0，
则x+1=0或x﹣5=0，
∴x=﹣1或x=5．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键
21．
【考点】LE：正方形的性质；KD：全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【分析】由正方形的性质，结合条件证明△ABE≌△DAF即可证得结论．
【解答】证明：
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠BAE=∠ADF=90°，
在△ABE和△DAF中
∴△ABE≌△DAF（SAS），
∴BE=AF．
【点评】本题主要考查正方形的性质，证得△ABE≌△DAF是解题的关键．
22．
【考点】B7：分式方程的应用．菁优网版权所有
【分析】设咸鸭蛋的价格为x元，则粽子的价格为（1.8+x）元，根据花30元购买粽子的个数与花12元购买咸鸭蛋的个数相同，列出分式方程，求出方程的解得到x的值，即可得到结果．
【解答】解：设咸鸭蛋的价格为x元，则粽子的价格为（1.8+x）元，
根据题意得：=，
去分母得：30x=12x+21.6，
解得：x=1.2，
经检验x=1.2是分式方程的解，且符合题意，
1.8+x=1.8+1.2=3（元），
故咸鸭蛋的价格为1.2元，粽子的价格为3元．
【点评】此题考查了分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．航行问题常用的等量关系为：花30元购买粽子的个数与花12元购买咸鸭蛋的个数相同．
23．
【考点】MD：切线的判定；KH：等腰三角形的性质；KX：三角形中位线定理；M5：圆周角定理．菁优网版权所有
【分析】（1）首先连接OD，CD，由以BC为直径的⊙O，可得CD⊥AB，又由等腰三角形ABC的底角为30°，可得AD=BD，即可证得OD∥AC，继而可证得结论；
（2）首先根据三角函数的性质，求得BD，DE，AE的长，然后求得△BOD，△ODE，△ADE以及△ABC的面积，继而求得答案．
【解答】（1）证明：连接OD，CD，
∵BC为⊙O直径，
∴∠BDC=90°，
即CD⊥AB，
∵△ABC是等腰三角形，
∴AD=BD，
∵OB=OC，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∵D点在⊙O上，
∴DE为⊙O的切线；
（2）解：∵∠A=∠B=30°，BC=4，
∴CD=BC=2，BD=BC•cos30°=2，
∴AD=BD=2，AB=2BD=4，
∴S△ABC=AB•CD=×4×2=4，
∵DE⊥AC，
∴DE=AD=×2=，
AE=AD•cos30°=3，
∴S△ODE=OD•DE=×2×=，
S△ADE=AE•DE=××3=，
∵S△BOD=S△BCD=×S△ABC=×4=，
∴S△OEC=S△ABC﹣S△BOD﹣S△ODE﹣S△ADE=4﹣﹣﹣=．
【点评】此题考查了切线的判定、三角形中位线的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理以及三角函数等知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
24．
【考点】X6：列表法与树状图法；V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图；VC：条形统计图．菁优网版权所有
【分析】（1）根据A景点的人数以及百分比进行计算即可得到该市周边景点共接待游客数；先求得A景点所对应的圆心角的度数，再根据扇形圆心角的度数=部分占总体的百分比×360°进行计算即可；根据B景点接待游客数补全条形统计图；
（2）根据E景点接待游客数所占的百分比，即可估计2018年“五•一”节选择去E景点旅游的人数；
（3）根据甲、乙两个旅行团在A、B、D三个景点中各选择一个景点，画出树状图，根据概率公式进行计算，即可得到同时选择去同一景点的概率．
【解答】解：（1）该市周边景点共接待游客数为：15÷30%=50（万人），
A景点所对应的圆心角的度数是：30%×360°=108°，
B景点接待游客数为：50×24%=12（万人），
补全条形统计图如下：
故答案为：50，108°；
（2）∵E景点接待游客数所占的百分比为：×100%=12%，
∴2018年“五•一”节选择去E景点旅游的人数约为：80×12%=9.6（万人）；
（3）画树状图可得：
∵
共有9种可能出现的结果，这些结果出现的可能性相等，其中同时选择去同一个景点的结果有3种，
∴同时选择去同一个景点的概率==．
【点评】本题考查的是条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体以及概率的计算的综合应用，读懂统计图、从中获取正确的信息是解题的关键．当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．解题时注意：概率=所求情况数与总情况数之比．
25．
【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．菁优网版权所有
【分析】过A作AG⊥CD于G，在Rt△ACG中，求得CG=25，连接FD并延长与BA的延长线交于H，在Rt△CDH中，根据三角函数的定义得到CH=90，在Rt△EFH中，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】解：过A作AG⊥CD于G，则∠CAG=30°，
在Rt△ACG中，CG=ACsin30°=50×=25，
∵GD=50﹣30=20，∴CD=CG+GD=25+20=45，
连接FD并延长与BA的延长线交于H，则∠H=30°，
在Rt△CDH中，CH==2CD=90，
∴EH=EC+CH=AB﹣BE﹣AC+CH=300﹣50﹣50+90=290，
在Rt△EFH中，EF=EH•tan30°=290×=，
答：支撑角钢CD和EF的长度各是45cm，cm．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是将实际问题转化为数学问题，构造直角三角形并解直角三角形，难度适中．
26．
【考点】LO：四边形综合题．菁优网版权所有
【分析】（1）由C是OB的中点求出时间，再求出点E的坐标，
（2）连接CD交OP于点G，由▱PCOD的对角线相等，求四边形ADEC是平行四边形．
（3）当点C在BO上时，第一种情况，当点M在CE边上时，由△EMF∽△ECO求解，第二种情况，当点N在DE边上时，由△EFN∽△EPD求解；
当点C在BO的延长线上时，第一种情况，当点M在DE边上时，由EMF∽△EDP求解，第二种情况，当点N在CE边上时，由△EFN∽△EOC求解；
②当1≤t＜时和当＜t≤5时，分别求出S的取值范围，
【解答】解：（1）∵OB=6，C是OB的中点，
∴BC=OB=3，
∴2t=3即t=，
∴OE=+3=，E（，0）；
（2）如图，连接CD交OP于点G，
在▱PCOD中，CG=DG，OG=PG，
∵AO=PE，
∴AG=EG，
∴四边形ADEC是平行四边形．
（3）①（Ⅰ）当点C在BO上时，
第一种情况：如图，当点M在CE边上时，
∵MF∥OC，
∴△EMF∽△ECO，
∴=，即=，
∴t=1，
第二种情况：当点N在DE边时，
∵NF∥PD，
∴△EFN∽△EPD，
∴=，即=，
∴t=，
（Ⅱ）当点C在BO的延长线上时，
第一种情况：当点M在DE边上时，
∵MF∥PD，
∴△EMF∽△EDP，
∴= 即 =，
∴t=，
第二种情况：当点N在CE边上时，
∵NF∥OC，
∴△EFN∽△EOC，
∴=即 =，
∴t=5．
②＜S≤或＜S≤20．
当1≤t＜时，
S=t（6﹣2t）=﹣2（t﹣）2+，
∵t=在1≤t＜范围内，
∴＜S≤，
当＜t≤5时，S=t（2t﹣6）=2（t﹣）2﹣，
∴＜S≤20．
【点评】本题主要是考查了四边形的综合题，解题的关键是正确分几种不同种情况求解．
27．
【考点】HF：二次函数综合题．菁优网版权所有
【分析】（1）抛物线向上平移4个单位后得到的抛物线顶点在x轴上，那么原抛物线顶点纵坐标为﹣4，可先将原抛物线解析式设为顶点式，再代入原点坐标，即可确定原抛物线解析式；最后根据“左加右减、上加下减”的平移规律求出新抛物线的解析式．
（2）由m的值（即点P横坐标），可求出n的值，再代入关于m、n、w的方程可求出w的值，由此能得到点P、F的坐标，而点A、D、E的坐标易知，根据这些点的特点即可判断出DF、AE的位置关系．
（3）第一步，先求出S的值；由于新抛物线是原抛物线平移所得，若连接DE，那么将下面的曲线部分补偿到x轴上方，S所表示的面积正好等于四边形AOED的面积．
第二步，求出△AEP的知；点P在新抛物线的图象上，可得出m、n的关系式，代入题干给出的方程，即可得到关于m、w的函数关系式，根据函数的性质即可确定当w最小时，m的值，即可确定点P的坐标，通过观察A、E、P三点坐标，可过P作x轴的垂线，△AEP的面积可视为：大直角三角形的面积减去小直角三角形与直角梯形的面积和．
综合上面两步，可得到△AEP的面积与S的数量关系．
【解答】解：（1）由题意可知，原抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣4），可设其抛物线解析式为：y=a（x+2）2﹣4，代入原点坐标，得：
a（0+2）2﹣4=0，a=1
∴原抛物线解析式：y=（x+2）2﹣4=x2+4x；
那么，新抛物线解析式为 y=x2+4x+4．
（2）直线DF与AE的位置关系为 DF∥AE．理由如下：
当m=﹣2时，P（﹣2，0）；
把点 P（﹣2，0）代入2m2+
2m﹣n﹣w=0中，可得：8﹣4﹣0﹣w=0，w=4，所以点F（﹣8，0）；
易求得A（﹣4，0）、D（﹣4，4）、E（0，4）；
那么，∴△DAF≌△EOA；
∴∠DFA=∠EAO，则 DF∥AE．
（3）连接DE，则新抛物线与DE围成的图形的面积等于原抛物线与AO围成的图形的面积；
所以S=S四边形AOED=4×4=16．
因为点P（m，n）是新抛物线上的一点，所以 n=m2+4m+4，
又因为点P的坐标满足2m2+2m﹣n﹣w=0，所以 w=2m2+2m﹣n=2m2+2m﹣（m2+4m+4）=（m﹣1）2﹣5．
当m=1时，w取最小值﹣5，此时n=9，即点P的坐标为（1，9）．
过点P作PH⊥x轴于H，如右图；
S△AEP=S△APH﹣S△AOE﹣S梯形EOHP
=×5×9﹣×4×4﹣（4+9）×1
=8；
所以S△AEP=S．
【点评】题目主要考查了函数解析式的确定、函数图象的平移、全等三角形的判定和性质以及图形面积的解法．需要熟记的是函数图象的平移规律“上加下减、左加右减”；（3）题中，通过图形间的“割补”，得出S与正方形AOED面积的等量关系是解题的关键所在．
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