中考数学模试卷
一、选择题（本题共12小题，每小题3分，满分36分）
1．（3分）计算：20180﹣|﹣2|=（ ）
A．2010 B．2016 C．﹣1 D．3
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a3+a3=a6 B．3a﹣a=3 C．（a3）2=a5 D．a•a2=a3
3．（3分）如图，一个圆柱体在正方体上沿虚线从左向右平移，平移过程中不变的是（ ）
A．主视图 B．左视图
C．俯视图 D．主视图和俯视图
4．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根，则m的值可以是（ ）
A．﹣1 B．1 C．3 D．5
5．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）如图，直线l1∥l2，且分别与△ABC的两边AB、AC相交，若∠A=45°，∠2=70°，则∠1的度数为（ ）
A．45° B．65° C．70° D．110°
7．（3分）五箱苹果的质量（单位：kg）分别为：19，20，21，22，19，则这五箱苹果质量的众数和中位数分别为（ ）
A．21和19 B．20和19 C．19和19 D．19和22
8．（3分）在同一平面坐标系内，若直线y=3x﹣1与直线y=x﹣k的交点在第四象限的角平分线上，则k的值为（ ）
A．k=﹣ B．k= C．k= D．k=1
9．（3分）关于x的分式方程+3=无解，m的值为（ ）
A．7 B．﹣7 C．1 D．﹣1
10．（3分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A=30°，BC=，把△ABC绕点O按逆时针方向旋转90°得到△BED，则对应点C、D之间的距离为（ ）
A．1 B． C． D．2
11．（3分）如图，△ABC三个顶点分别在反比例函数y=，y=的图象上，若∠C=90°，AC∥y轴，BC∥x轴，S△ABC=8，则k的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
12．（3分）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从B点出发，在BC上移动至点C停止．记PA=x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数解析式是（ ）
A．y=12x B． C． D．
二、填空题（本大共8小题，满分40分）
13．（5分）分解因式：a3﹣4a= ．
14．（5分）计算= ．
15．（5分）若关于x的方程x2+mx+7=0有一个根为1，则该方程的另一根为 ．
16．（5分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，∠ABC=50°，则∠CAD= ．
17．（5分）甲列车从A地开往B地，速度是60km/h，乙列车同时从B地开往A地，速度是90km/h．已知AB两地相距200km，则两车相遇的地方离A地 km．
18．（5分）如图，已知矩形ABCD的顶点A、D分别落在x轴、y轴，OD=2OA=6，AD：AB=3：1．则点B的坐标是 ．
19．（5分）如图，已知函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象的对称轴经过点（2，0），且与x轴的一个交点坐标为（4，0）．下列结论：①b2﹣4ac＞0； ②当x＜2时，y随x增大而增大； ③a﹣b+c＜0；④抛物线过原点；⑤当0＜x＜4时，y＜0．其中结论正确的是 ．（填序号）
20．（5分）我们知道，一元二次方程x2=﹣1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于﹣1，如果我们规定一个新数“i”，使它满足i2=﹣1（即x2=﹣1有一个根为i），并且进一步规定：一切实数可以与新数“i”进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有：i1=i，i2=﹣1，i3=i2•i=（﹣1）•i=﹣i，i4=（i2）2=（﹣1）2=1，从而对任意正整数n，由于i4n=（i4）n=1n=1，i4n+1=i4n•i=1•i=i，同理可得i4n+2=﹣1，i4n+3=﹣i，那么，i9= ；i2018= ．
三、解答题（共6小题，满分74分）
21．（10分）化简，并求值，其中a与2，3构成△ABC的三边，且a为整数．
22．（12分）如图，在▱ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，AE=CG，AH=CF，且EG平分∠HEF．
（1）求证：△AEH≌△CGF；
（2）求证：四边形EFGH是菱形．
23．（12分）县城某初中数学兴趣小组在全校范围内随机抽取了50名同学进行“舌尖上的无棣﹣我最喜爱的无棣名吃”调查活动，将调查问卷整理后绘制成如图所示的不完整条形统计图．请根据所给信息解答以下问题：
（1）请补全条形统计图；
（2）若全校有1000名同学，请估计全校同学中最喜爱“欢喜团”的同学有多少人？
（3）在一个不透明的口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标为四种小吃的序号A、B、C、D，随机地把四个小球分成两组，每组两个球，请用列表或画树形图的方法，求出A、B两球分在同一组的概率．
24．（13分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC=45°，OC∥AD，AD交BC的延长线于D，AB交OC于E．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的直径为6，线段BC=2，求∠BAC的正弦值．
25．（13分）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且BE平分∠ABC，∠ABE=∠ACD，BE，CD交于点F．
（1）求证：；
（2）请探究线段DE，CE的数量关系，并说明理由；
（3）若CD⊥AB，AD=2，BD=3，求线段EF的长．
26．（14分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，且OA=4，OC=3，若抛物线经过O，A两点，且顶点在BC边上，对称轴交AC于点D，动点P在抛物线对称轴上，动点Q在抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当PO+PC的值最小时，求点P的坐标；
（3）是否存在以A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出P，Q的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共12小题，每小题3分，满分36分）
1．
【考点】6E：零指数幂；15：绝对值．菁优网版权所有
【分析】根据零指数幂的意义以及负整数指数幂的意义即可求出答案．
【解答】解：原式=1﹣2=﹣1
故选：C．
【点评】本题考查实数运算，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．
2．
【考点】47：幂的乘方与积的乘方；35：合并同类项；46：同底数幂的乘法．菁优网版权所有
【分析】根据同类项合并、幂的乘方和同底数幂的乘法计算即可．
【解答】解：A、a3+a3=2a3，错误；
B、3a﹣a=2a，错误；
C、（a3）2=a6，错误；
D、a•a2=a3，正确；
故选：D．
【点评】此题考查同类项合并、幂的乘方和同底数幂的乘法，关键是根据同类项合并、幂的乘方和同底数幂的乘法的定义解答．
3．
【考点】Q2：平移的性质；U2：简单组合体的三视图．菁优网版权所有
【分析】主视图是从正面观察得到的图形，左视图是从左侧面观察得到的图形，俯视图是从上面观察得到的图形，结合图形即可作出判断．
【解答】解：根据图形，可得：平移过程中不变的是的左视图，变化的是主视图和俯视图．
故选：B．
【点评】此题主要考查了平移的性质和应用，以及简单组合体的三视图，要熟练掌握，解答此题的关键是掌握主视图、俯视图以及左视图的观察方法．
4．
【考点】AA：根的判别式．菁优网版权所有
【分析】根据方程的系数结合根的判别式△＞0，可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，对照四个选项即可得出结论．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根，
∴△=（﹣2）2﹣4×1×m=4﹣4m＞0，
解得：m＜1．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
5．
【考点】C4：在数轴上表示不等式的解集；CB：解一元一次不等式组．菁优网版权所有
【分析】根据不等式组的解法求出不等式组的解集，再根据＞，≥向右画；＜，≤向左画，在数轴上表示出来，从而得出正确答案．
【解答】解：，
由①得：x≤1，
由②得：x＞﹣3，
则不等式组的解集是﹣3＜x≤1；
故选：D．
【点评】此题考查了一元一次不等式组的解法和在数轴上表示不等式的解集，掌握不等式的解集在数轴上表示出来的方法：“＞”空心圆点向右画折线，“≥”实心圆点向右画折线，“＜”空心圆点向左画折线，“≤”实心圆点向左画折线是解题的关键．
6．
【考点】JA：平行线的性质．菁优网版权所有
【分析】依据∠A=45°，∠2=70°=∠AFE，即可得到∠AEF=180°﹣45°﹣70°=65°，依据l1∥l2，即可得出∠1=∠AEF=65°．
【解答】解：∵∠A=45°，∠2=70°=∠AFE，
∴∠AEF=180°﹣45°﹣70°=65°，
∵l1∥l2，
∴∠1=∠AEF=65°，
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，对顶角相等的应用，解此题的关键是求出∠AEF的度数，注意：两直线平行，同位角相等．
7．
【考点】W5：众数；W4：中位数．菁优网版权所有
【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
【解答】解：从小到大排列此数据为：19、19、20、21、22，数据19出现了2次最多，所以19为众数；
20处在第3位是中位数．所以本题这组数据的众数是19，中位数是20．
故选：B．
【点评】
本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．要明确定义，一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
8．
【考点】FF：两条直线相交或平行问题．菁优网版权所有
【分析】先解关于x，y的方程组，得到用k表示x，y的代数式，由于交点在第四象限的角平分线上得到方程=﹣，解方程求解即可．
【解答】解：解关于x，y的方程组，解得：，
∵交点在第四象限的角平分线上
∴=﹣，解得k=．
故选：C．
【点评】一次函数的解析式就是二元一次方程，因而把方程组的解中的x的值作为横坐标，以y的值为纵坐标得到的点，就是一次函数的图象的交点坐标．
9．
【考点】B2：分式方程的解．菁优网版权所有
【分析】根据分式方程无解，可得分式方程的增根，根据分式方程的增根适合整式方程，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案．
【解答】解：两边都乘以（x﹣1），得
7+3（x﹣1）=m，
m=3x+4，
分式方程的增根是x=1，
将x=1代入，得
m=3×1+4=7．
故选：A．
【点评】本题考查了分式方程的解，将分式方程的增根代入整式方程得出关于m的方程是解题关键．
10．
【考点】MA：三角形的外接圆与外心；R2：旋转的性质．菁优网版权所有
【分析】连接OC、OB、OD，根据圆周角定理求出∠BOC=60°，得到△OCB是等边三角形，求出OC=OB=BC=，根据旋转的性质得到∠COD=90°，根据勾股定理计算即可．
【解答】解：连接OC、OB、OD，
由圆周角定理得，∠BOC=2∠A=60°，
∴△OCB是等边三角形，
∴OC=OB=BC=，
由旋转的性质可知，∠COD=90°，
∴CD==2，
故选：D．
【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心的概念和性质，掌握圆周角定理、勾股定理、等边三角形的判定定理是解题的关键．
11．
【考点】G5：反比例函数系数k的几何意义；G6：反比例函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
【分析】设点C的坐标为（m，），则点A的坐标为（m，），点B的坐标为（km，），由此即可得出AC、BC的长度，再根据三角形的面积结合S△ABC=8，即可求出k值，取其正值即可．
【解答】解：设点C的坐标为（m，），则点A的坐标为（m，
），点B的坐标为（km，），
∴AC=﹣=，BC=km﹣m=（k﹣1）m，
∵S△ABC=AC•BC=（k﹣1）2=8，
∴k=5或k=﹣3．
∵反比例函数y=在第一象限有图象，
∴k=5．
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，设出点C的坐标，表示出点A、B的坐标是解题的关键．
12．
【考点】S9：相似三角形的判定与性质；E3：函数关系式．菁优网版权所有
【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠DAE=∠APB，再根据两组角对应相等的两个三角形相似求出△ABP和△DEA相似，根据相似三角形对应边成比例可得=，然后整理即可得到y与x的关系式．
【解答】解：矩形ABCD中，AD∥BC，
∴∠DAE=∠APB，
∵∠B=∠AED=90°，
∴△ABP∽△DEA，
∴=，
∴=，
∴y=．
故选：B．
【点评】本题考查了矩形的性质，主要利用了相似三角形的判定与性质，勾股定理，求出相似三角形并根据相似三角形对应边成比例列出比例式是解题的关键．
二、填空题（本大共8小题，满分40分）
13．
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．菁优网版权所有
【分析】原式提取a，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式=a（a2﹣4）
=a（a+2）（a﹣2）．
故答案为：a（a+2）（a﹣2）
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
14．
【考点】79：二次根式的混合运算；76：分母有理化．菁优网版权所有
【分析】先化简各二次根式，再计算可得．
【解答】解：原式===﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质和混合运算顺序及其法则．
15．
【考点】AB：根与系数的关系．菁优网版权所有
【分析】设方程的另一根为x1，根据两根之积等于，即可得出关于x1的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设方程的另一根为x1，
根据题意得：1×x1=7，
解得：x1=7．
故答案为：7．
【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之积等于是解题的关键．
16．
【考点】M5：圆周角定理．菁优网版权所有
【分析】首先连接CD，由AD是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠ACD=90°，又由圆周角定理，可得∠D=∠ABC=50°，继而求得答案．
【解答】解：连接CD，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD=90°，
∵∠D=∠ABC=50°，
∴∠CAD=90°﹣∠D=40°．
故答案为：40°．
【点评】此题考查了圆周角定理．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
17．
【考点】8A：一元一次方程的应用．菁优网版权所有
【分析】设两车相遇的时间为x小时，根据两车速度之和×时间=两地间的路程，即可求出两车相遇的时间，再利用相遇地离A地的距离=甲车的速度×相遇时间，即可求出结论．
【解答】解：设两车相遇的时间为x小时，
根据题意得：（60+90）x=200，
解得：x=，
∴60x=60×=80．
答：两车相遇的地方离A地80km．
故答案为：80．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
18．
【考点】LB：矩形的性质；D5：坐标与图形性质．菁优网版权所有
【分析】过B作BE⊥x轴于E，根据矩形的性质得到CD=AB，∠DAB=90°，根据余角的性质得到∠ABE=∠DAO，根据相似三角形的性质得到AE=OD=2，BE=OA=1，于是得到结论．
【解答】解：过B作BE⊥x轴于E，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB，∠DAB=90°，
∴∠DAO+∠BAE=∠BAE+∠ABE=90°，
∴∠DAO=∠ABE，
∴△ADO∽△ABE，
∴，
∵OD=2OA=6，AD：AB=3：1，
∴OA=3，BE=1
∴AE=OD=2，
∴OE=5，
∴B（5，1），
故答案为：（5，1）．
【点评】
本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，坐标与图形性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
19．
【考点】H4：二次函数图象与系数的关系；HA：抛物线与x轴的交点．菁优网版权所有
【分析】根据函数图象和二次函数的性质可以判断题目中的各个小题是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：由函数图象可知，
抛物线与x轴两个交点，则b2﹣4ac＞0，故①正确，
当x＜2时，y随x的增大而减小，故②错误，
当x=﹣1时，y=a﹣b+c＞0，故③错误，
由函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象的对称轴经过点（2，0），且与x轴的一个交点坐标为（4，0），则另一个交点为（0，0），故④正确，
当0＜x＜4时，y＜0，故⑤正确，
故答案为：①④⑤．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
20．
【考点】AA：根的判别式；2C：实数的运算．菁优网版权所有
【分析】利用幂的运算法则得到i9=（i4）2•i；i2018=（i4）504•i2，然后把i4=1，i2=﹣1代入计算即可．
【解答】解：i9=（i4）2•i=12•i=i；
i2018=（i4）504•i2=1•（﹣1）=﹣1．
故答案为i，﹣1．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜
0时，方程无实数根．也考查了对新定义的理解能力．
三、解答题（共6小题，满分74分）
21．
【考点】6D：分式的化简求值；K6：三角形三边关系．菁优网版权所有
【分析】原式利用除法法则变形，约分后两项通分并利用同分母分式的加法法则计算得到最简结果，求出a的值，代入计算即可求出值．
【解答】解：原式=•+=+==，
∵a与2，3构成△ABC的三边，
∴1＜a＜5，且a为整数，∴a=2，3，4，
又∵a≠2且a≠3，∴a=4，
当a=4时，原式=1．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
22．
【考点】L9：菱形的判定；KD：全等三角形的判定与性质；L5：平行四边形的性质．菁优网版权所有
【分析】（1）根据全等三角形的判定定理SAS证得结论；
（2）欲证明四边形EFGH是菱形，只需推知四边形EFGH是平行四边形，然后证得该平行四边形的邻边相等即可．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C．
∴在△AEH与△CGF中，，
∴△AEH≌△CGF（SAS）；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD，∠B=∠D．
∵AE=CG，AH=CF，
∴EB=DG，HD=BF．
∴△BEF≌△DGH．
∴EF=HG．
又∵△AEH≌△CGF，
∴EH=GF．
∴四边形HEFG为平行四边形．
∴EH∥FG，
∴∠HEG=∠FGE．
∵EG平分∠HEF，
∴∠HEG=∠FEG，
∴∠FGE=∠FEG，
∴EF=GF，
∴四边形EFGH是菱形．
【点评】本题考查了菱形的判定，全等三角形的判定与性质以及平行四边形的判定与性质．注意：本题菱形HEFG的判定是在平行四边形HEFG的基础上推知的．
23．
【考点】X6：列表法与树状图法；V5：用样本估计总体；VC：条形统计图．菁优网版权所有
【分析】（1）总人数减去其它三种小吃人数求得锅子饼的人数，据此补全图形可得；
（2）总人数乘以样本中“欢喜团”人数所占比例可得；
（3）列表得出所有等可能结果数，从中找到A、B两球分在同一组的结果数，再根据概率公式求解可得．
【解答】解：（1）锅子饼的人数为50﹣14﹣21﹣5=10．
补全图形如下：
（2）1000×=420（人），
∴估计最喜爱“欢喜团”的同学有420人；
（3）列表如下：
A
B
C
D
A
A，B
A，C
A，D
B
B，A
B，C
B，D
C
C，A
C，B
C，D
D
D，A
D，B
D，C
共有12种等可能结果，其中A，B在同一组有4种，
∴A、B两球分在同一组的概率为=．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用以及概率的求法，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
24．
【考点】ME：切线的判定与性质；M5：圆周角定理；T7：解直角三角形．菁优网版权所有
【分析】（1）连结OA，根据切线的性质得到OA⊥AD，再根据圆周角定理得到∠AOC=2∠ABC=90°，然后根据平行线的判定即可得到结论；
（2）延长CO交圆O于F，连接BF，利用三角函数解答即可．
【解答】（1）证明：连接OA，
∵∠ABC=45°，
∴∠AOC=2∠ABC=90°，
∴OA⊥OC，
又∵AD∥OC，
∴OA⊥AD，
∴AD是⊙O的切线；
（2）延长CO交圆O于F，连接BF．
∵∠BAC=∠BFC，
∴．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
25．
【考点】SO：相似形综合题．菁优网版权所有
【分析】（1）只要证明△ABE∽△ACD即可；
（2）首先证明△ADE∽△ACB，推出∠AED=∠ABC，由∠AED=∠ACD+∠CDE，∠ABC=∠ABE+∠CBE，推出∠ACD+∠CDE=∠ABE+∠CBE，由∠ABE=∠ACD，推出∠CDE=∠CBE，由BE平分∠ABC，推出∠ABE=∠CBE，推出∠CDE=∠ABE=∠ACD，可得ED=EC；
（3）由，只要求出CD、CE即可解决问题；
【解答】解：（1）证明：∵∠ABE=∠ACD，∠A=∠A，
∴△ABE∽△ACD，
∴，
（2）∵，
∴，
又∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∴∠AED=∠ABC，
∵∠AED=∠ACD+∠CDE，∠ABC=∠ABE+∠CBE，
∴∠ACD+∠CDE=∠ABE+∠CBE，
∵∠ABE=∠ACD，
∴∠CDE=∠CBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠CDE=∠ABE=∠ACD，
∴DE=CE．
（3）∵CD⊥AB，
∴∠ADC=∠BDC=90°，
∴∠A+∠ACD=∠CDE+∠ADE=90°，
∵∠ABE=∠ACD，∠CDE=∠ACD，
∴∠A=∠ADE，∠BEC=∠ABE+∠A=∠A+∠ACD=90°，
∴AE=DE，BE⊥AC，
∵DE=CE，
∴AE=DE=CE，
∴AB=BC，
∵AD=2，BD=3，
∴BC=AB=AD+BD=5，
在Rt△BDC中，，
在Rt△ADC中，，
∴，
∵∠ADC=∠FEC=90°，
∴，
∴EF===．
【点评】本题考查相似三角形综合题、角平分线的定义、勾股定理、三角形的外角的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
26．
【考点】HF：二次函数综合题．菁优网版权所有
【分析】（1）先确定A（4，0），C（0，3），再利用对称性确定抛物线顶点坐标为（2，3），然后利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）连接PA，如图，利用两点之间线段最短判断当点P与点D重合时，PO+PC的值最小，再利用待定系数法求出直线AC的解析式为y=﹣x+3，然后利用直线AC的解析式确定D点坐标，从而得到当PO+PC的值最小时，点P的坐标；
（3）讨论：当以AC为对角线时，易得点Q为抛物线的顶点，从而得到此时Q点和P点坐标；当AC为边时，当四边形AQPC为平行四边形，利用平行四边形的性质和点平移的规律先确定Q点的横坐标为6，则利用抛物线解析式可求出此时Q（6，﹣9），然后利用点平移的规律确定对应的P点坐标；当四边形APQC为平行四边形，利用同样的方法求解．
【解答】解：（1）在矩形OABC中，OA=4，OC=3，
∴A（4，0），C（0，3），
∵抛物线经过O、A两点，
∴抛物线的顶点的横坐标为2，
∵顶点在BC边上，
∴抛物线顶点坐标为（2，3），
设抛物线解析式为y=a（x﹣2）2+3，
把（0，0）坐标代入可得0=a（0﹣2）2+3，解得a=，
∴抛物线解析式为y=（x﹣2）2+3，
即y=x2+3x；
（2）连接PA，如图，
∵点P在抛物线对称轴上，
∴PA=PO，
∴PO+PC=PA+PC．
当点P与点D重合时，PA+PC=AC；
当点P不与点D重合时，PA+PC＞AC；
∴当点P与点D重合时，PO+PC的值最小，
设直线AC的解析式为y=kx+b，
根据题意，得，解得
∴直线AC的解析式为y=﹣x+3，
当x=2时，y=﹣x+3=，则D（2，），
∴当PO+PC的值最小时，点P的坐标为（2，）；
（3）存在．
当以AC为对角线时，当四边形AQCP为平行四边形，点Q为抛物线的顶点，即Q（2，3），则P（2，0）；
当AC为边时，当四边形AQPC为平行四边形，点C向右平移2个单位得到P，则点A向右平移2个单位得到点Q，则Q点的横坐标为6，当x=6时，y=x2+3x=﹣9，此时Q（6，﹣9），则点A（4，0）向右平移2个单位，向下平移9个单位得到点Q，所以点C（0，3）向右平移2个单位，向下平移9个单位得到点P，则P（2，﹣6）；
当四边形APQC为平行四边形，点A向左平移2个单位得到P，则点C向左平移2个单位得到点Q，则Q点的横坐标为﹣2，当x=﹣2时，y=x2+3x=﹣9，此时Q（﹣2，﹣9），则点C（0，3）向左平移2个单位，向下平移12个单位得到点Q，所以点A（4，0）向左平移2个单位，向下平移12个单位得到点P，则P（2，﹣12）；
综上所述，P（2，0），Q（2，3）或P（2，﹣6），Q（6，﹣9）或P（2，﹣12），Q（﹣2，﹣9）．
【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和平行四边形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用两点之间线段最短解决最短路径问题；会利用分类讨论的思想解决数学问题．
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