2019届高三数学理科2月月考试卷(附答案湖北荆、荆、襄、宜四地七校联盟)
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资料简介
www.ks5u.com ‎“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟” ‎ ‎2019届高三2月联考 ‎ 数 学(理)试 题 ‎ 命题学校:襄阳四中 命题人:梁中强 程孟良 审题人:龙泉中学数学组 ‎ 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知全集,集合,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎2.欧拉公式(是自然对数的底,是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的.它将三 角函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里占有非常重要的地位 当时,就有.根据上述背景知识试判断表示的复数在复平面对应的点位于( ) ‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎3.向量在正方形网格中的位置如图所示.若向量与共线,则实数( )‎ A. B. C. D.‎ ‎4. 若数列是公比不为1的等比数列,且,则 ‎ ‎( )‎ A. B. C. D.‎ ‎5.设,定义符号函数,则下列等式正确的是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎6.运行如图所示的程序框图,设输出的数据构成集合A,从集合A中任取一个元 素a,则函数y=xa在(0,+∞)上是增函数的概率为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎7. 已知函数的导函数为,‎ 的解集为,若的极小值等于,则的值是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎8.已知的展开式中常数项为,则的值为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎9.已知函数在区间上是增函数,且在区间上存在唯一的使得,则的取值不可能为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎10.直线与双曲线C:的渐近线交于A、B两点,设P为双曲线C上的任意一点,若(a、bÎR,O为坐标原点),则下列不等式恒成立的是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎11.如图,在正方体ABCD-A¢B¢C¢D¢中,平面a垂直于对角线AC¢,且平 面a截得正方体的六个表面得到截面六边形,记此截面六边形的面积为S,周长为l,则( )‎ A.S为定值,l不为定值 B.S不为定值,l为定值 C.S与l均为定值 D.S与l均不为定值 ‎12.设函数,. 若当时,不等式 ‎ 恒成立,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ 二.填空题:本大题共4小题,每小题5分。‎ ‎13.实数满足,则的最大值是_____________.‎ ‎14.现有编号为①、②、③的三个三棱锥(底面水平放置),俯视图分别为图1、图2、图3,则至少存在一个侧面与此底面互相垂直的三棱锥的所有编号是______________. ‎ ‎15.已知抛物线:的焦点为,准线与轴的交点为,是抛物线上的点,且轴.若以为直径的圆截直线所得的弦长为,则实数的值为__________.‎ ‎16.设数列的前项和为满足:,则______________.‎ 三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.‎ ‎(一)必考题:共60分. ‎ ‎17.(本题满分12分)如图, 四点共圆,为钝角且, ‎ ‎,,‎ ‎(1)求;‎ ‎(2)设,,求的值.‎ ‎18.(本题满分12分)已知分别为椭圆的左、右焦点.‎ ‎(1)当时,若是椭圆上一点,且位于第一象限,,求点的坐标;‎ ‎(2)当椭圆的焦距为2时,若直线与椭圆相交于两点,且,试求的面积.‎ ‎19. (本题满分12分)在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为的正方形,‎ 平面PAC⊥底面ABCD,PA=PC=. ‎ ‎(1)求证:PB=PD;‎ ‎(2)若点M,N分别是棱PA,PC的中点,平面DMN与棱PB的交点Q,‎ 则在线段BC上是否存在一点 H,使得DQ⊥PH,若存在,求BH的长,‎ 若不存在,请说明理由.‎ ‎20. (本题满分12分)‎ 有甲、乙两家公司都需要招聘求职者,这两家公司的聘用信息如下:‎ ‎ ‎ 甲公司 乙公司 职位 A B C D 职位 A B C D 月薪/元 ‎6000‎ ‎7000‎ ‎8000‎ ‎9000‎ 月薪/元 ‎5000‎ ‎7000‎ ‎9000‎ ‎11000‎ 获得相应职位概率 ‎0.4‎ ‎0.3‎ ‎0.2‎ ‎0.1‎ 获得相应职位概率 ‎0.4‎ ‎0.3‎ ‎0.2‎ ‎0.1‎ ‎(1根据以上信息,如果你是该求职者,你会选择哪一家公司?说明理由;‎ ‎(2)某课外实习作业小组调查了1000名职场人士,就选择这两家公司的意愿做了统计,得到以下数据分布:‎ 选择意愿 人员结构 ‎40岁以上(含40岁)男性 ‎40岁以上(含40岁)女性 ‎40岁以下男性 ‎40岁以下女性 选择甲公司 ‎110‎ ‎120‎ ‎140‎ ‎80‎ 选择乙公司 ‎150‎ ‎90‎ ‎200‎ ‎110‎ 若分析选择意愿与年龄这两个分类变量,计算得到的K2的观测值为k1=5.5513,测得出“选择意愿与年龄有关系”的结论犯错误的概率的上限是多少?并用统计学知识分析,选择意愿与年龄变量和性别变量哪一个关联性更大?‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ 附:‎ ‎21.(本题满分12分)已知,设,且,记;‎ ‎(1)设,其中,试求的单调区间;‎ ‎(2)试判断弦的斜率与的大小关系,并证明;‎ ‎(3)证明:当时,.‎ ‎(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.‎ ‎22. (本题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为,其中为参数,在以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,点的极坐标为,直线的极坐标方程为.‎ ‎(1)求直线的直角坐标方程与曲线的普通方程;‎ ‎(2)若是曲线上的动点,为线段的中点.求点到直线的距离的最大值.‎ ‎23. (本题满分10分)选修4-5:不等式选讲 已知函数=,=.‎ ‎(1)当=2时,求不等式<的解集;‎ ‎(2)设,且当∈[,)时,≤,求的取值范围.‎ ‎2019届“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”‎ 高三2月联考数学(理)参考答案 ‎ ‎ 一、选择题 BCDCD CCCAB BD ‎ ‎12、,令,‎ 则 而是R上的单调递增函数,又是奇函数,于是.故 此题是考察三次函数的对称中心.‎ 二、填空题:‎ ‎13.21 14.①、② 15. 16. ‎ ‎16、,,时,‎ 故 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎17.解:(1),且角为钝角,.‎ 在中,由余弦定理得,,‎ ‎,解得或(舍),‎ ‎. …………6分 ‎(2)连接AC,则与互补,于是 在中由正弦定理…………12分 其它方法酌情给分.‎ ‎18.解:(1)设,有于是…………6分 ‎(2),椭圆方程为(7分)联立直线得(8分)‎ 得满足(9分) (10分)‎ 于是 …………12分 方法二:坐标计算 将两点坐标代入椭圆方程中有 此方法可以推广到斜率任意时均成立.‎ ‎19.解:(1)证明:记AC∩BD=O,连结PO,‎ ‎∵底面ABCD为正方形,∴OA=OC=OB=OD=2.‎ ‎∵PA=PC,∴PO⊥AC,‎ ‎∵平面PAC∩底面ABCD=AC,POÌ平面PAC,‎ ‎∴PO⊥底面ABCD.‎ ‎∵BDÌ底面ABCD,∴PO⊥BD. ‎ ‎∴PB=PD. …………6分 ‎(2)以O为坐标原点,射线OB,OC,OP的方向分别为轴,轴,轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示,由(1)可知OP=2.‎ 可得P(0,0,2),A(0,-2,0), B(2,0,0), C(0,2,0), D(-2,0,0),‎ 可得,M(0,-1,1), N(0,1, 1).,.‎ 设平面的法向量n=,‎ ‎∵,,∴‎ 令,可得n=.‎ 记,可得,‎ ‎,=0,可得,,解得.‎ 可得,.‎ 记,可得,‎ ‎,若DQ⊥PH,则,‎ ‎,解得.故.…………12分 另:取的中点,说明均在平面PBD与平面DMN的交线上.‎ ‎20.解:(1)设甲公司与乙公司的月薪分别为随机变量X,Y,‎ 则E(X)=6000×0.4+7000×0.3+8000×0.2+9000×0.1=7000,‎ E(Y)=5000×0.4+7000×0.3+9000×0.2+11000×0. 1=7000,‎ D(X)=(6000﹣7000)2×0.4+(7000﹣7000)2×0.3+(8000﹣7000)2×0.2+(9000﹣7000)2×0.1‎ ‎=10002,‎ D(Y)=(5000﹣7000)2×0.4+(7000﹣7000)2×0.3+(9000﹣7000)2×0.2+(11000﹣7000)2×0.1‎ ‎=20002,‎ 则E(X)=E(Y),D(X)<D(Y),…………4分 我希望不同职位的月薪差距小一些,故选择甲公司;‎ 或我希望不同职位的月薪差距大一些,故选择乙公司;(只要言之有理即给2分)…………6分 ‎(2)因为k1=5.5513>5.024,根据表中对应值,‎ 得出“选择意愿与年龄有关系”的结论犯错的概率的上限是0.025,…………7分 由数据分布可得选择意愿与性别两个分类变量的2×2列联表如下:‎ 选择甲公司 选择乙公司 总计 男 ‎250‎ ‎350‎ ‎600‎ 女 ‎200‎ ‎200‎ ‎400‎ 总计 ‎450‎ ‎550‎ ‎1000‎ 计算K2==≈6.734,‎ 且K2=6.734>6.635,‎ 对照临界值表得出结论“选择意愿与性别有关”的犯错误的概率上限为0.01,‎ 由0.01<0.025,所以与年龄相比,选择意愿与性别关联性更大.…………12分 ‎21. 解:(1)(),‎ 若,则,它为上的增函数,‎ 若,则增区间为,减区间为…………3分 ‎(2)‎ 令,,,而.故在单调递增,故…………7分 ‎(3)当时,原不等式等价于,由(2)知,即证 ‎,转化为.‎ 令,,,故也成立.………12分 ‎22. 解:(1)∵直线的极坐标方程为,即.‎ 由,,可得直线的直角坐标方程为.‎ 将曲线的参数方程消去参数,得曲线的普通方程为 ‎.……………5分 ‎(2)设,.‎ 点的极坐标化为直角坐标为.‎ 则.‎ ‎∴点到直线的距离.‎ 当,即时,等号成立.‎ ‎∴点到直线的距离的最大值为.……………10分 ‎23.解:(1)当=时,不等式<化为,‎ 设函数=,=,令得 ‎∴原不等式解集是. ……………5分 ‎(2)当∈[,)时,=,不等式≤化为,‎ ‎∴对∈[,)都成立,故,即≤,‎ ‎∴的取值范围为(-1,]. ……………10分

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