2017-2018学年第一学期期中考试
高三数学(文)
一. 选择题(每题5分,共计60分)
1.设集合A={x|x2+x﹣6<0},B={x|x<0},则=( )
A.{x|0< x0}
2.已知z∈C,若,则z所对应的点在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.设p:在(2,+∞)内单调递增,q:,则p是q的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.已知实数x,y满足条件,则z=x+y的最小值为( )
A. B.4 C.2 D.3
5.Sn为等差数列{an}的前n项和,S9=﹣36,S13=﹣104,等比数列{bn}中,b5=a5,b7=a7,则b6等于( )
A. B. C. D.无法确定
6.如图,某几何体的三视图中,俯视图是边长为2的正三角形,正视图和左视图分别为直角梯形和直角三角形,则该几何体的体积为( )
A. B. C. D.
7. 已知,则( )
A. B. C. D.
8.已知周期为2的函数在区间 上的解析式为.若在区间
[﹣2,3]上关于x的方程ax+2a﹣f(x)=0恰有四个不相等的实数根,则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.(1,2)
9.如图,在四棱锥C﹣ABOD中,CO⊥平面ABOD,AB∥OD,OB⊥OD,且AB=2OD=12,AD=6 ,异面直线CD与AB所成角为30°,点O,B,C,D都在同一个球面上,则该球的表面积为( )
A. B. C. D.
10.如图是函数y=Asin(ωx+ϕ)(x∈R,A>0,ω>0,0<ϕ< )在区间上的图象,为了得到这个函数的图象,只需将y=cosx(x∈R)的图象上的所有的点( )
A.向右平移 个长度单位,再把所得各点的横坐标变为原来的 ,纵坐标不变
B.向右平移个长度单位,再把所得各点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标不
变
C.向右平移 个长度单位,再把所得各点的横坐标变为原来的,纵坐标不变
D.向右平移个长度单位,再把所得各点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变
11.已知定义在R上的函数y=f(x)满足条件,且函数 是奇函数,由下列四个命题中不正确的是( )
A.函数f(x)是周期函数 B.函数f(x)的图象关于点对称
C.函数f(x)是偶函数 D.函数f(x)的图象关于直线对称
12. 已知函数f(x)=alnx + x2﹣b(x﹣1)﹣1,若对,f(x)≥0恒成立,则实数a的取值范围是( )
A. B.a<2 C. D.
二.填空题(每题5分,共计20分)
13. “干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法,甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十个符号叫天干,子、丑、寅、卯、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二个符号叫地支.把干支顺序相配正好六十为一周,周而复始,循环记录,这就是俗称的“干支表”.比如2015年是“干支纪年法”中的乙未年,2016年是“干支纪年法”中的丙申年,那么2017年是“干支纪年法”中的_________
14. 已知△是边长为1的等边三角形,点分别是边的中点,连接并延长到点,使得,则的值为______________
15. 已知x>0,y>0,,则的最小值是______
16. 用表示不超过的最大整数,例如,,.已知数列满足
,,则_____________.
三、解答题(共6小题,共70分)
17.(10分)设.
(1)求的单调递增区间;
(2)锐角中,角的对边分别为,若, , ,求的值.
18.(12分)已知数列的前项和,且是与的等差中项.
(1)求数列的通项公式;
(2)若,求数列的前项和.
19.(12分)如图,在四棱锥S ABCD中,平面SAD⊥平面ABCD.四边形ABCD为正方形,且点P为AD的中点,点Q为SB的中点.
(1)求证:PQ∥平面SCD.
(2)若SA=SD,点M为BC的中点,在棱SC上是否存在点N,使得平面DMN⊥平面ABCD?若存在,请说明其位置,并加以证明;若不存在,请说明理由.
20.(12分)已知函数, ().
(1)若, 恒成立,求实数的取值范围;
(2)设函数,若在上有两个零点,求实数的取值范围.
21.(12分)如图所示,在四棱锥中, 为等边三角形, ,⊥平面,为的中点.
(1)证明:;
(2)若,求点到平面的距离.
22.(12分)设函数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)求证:对任意,,都有.
石家庄二中高三期中考试文科试卷 答案
一、选择:C A B C C A D A C C D A
二、填空:13. 丁酉年 14. 15. 16. 2016
17. 解析:
(1)由题意知
,……………………………………………….3分
由 可得
所以函数 的单调递增区间是…………………5分
(2)由得,又为锐角,所以 ……………6分
由余弦定理得: ,即,.………………….8分
即 ,而,所以………………….10分
18. 解析:
(1)∵an是2与Sn的等差中项,
∴2an=2+Sn, ①
∴2an-1=2+Sn-1,(n≥2) ②.………………….2分
①-②得,2an-2an-1=Sn-Sn-1=an,
即 =2(n≥2)..………………….4分
在①式中,令n=1得,a1=2.
∴数列{an}是首项为2,公比为2的等比数列,………………………………5分
∴an=2n. . ………………………………………………………………………………………………….6分
(2)bn==.
所以Tn=+++…++, ①
则Tn=+++…++, ②.………………….7分
①-②得,
Tn=++++…+- …………………8分
=+2(+++…+)-
=+2×-
=-..………………….10分
所以Tn=3-. .………………….12分
19. 解析:(1)取SC的中点R,连QR,DR.
由题意知:PD∥BC且PD=BC.
在△SBC中,Q为SB的中点,R为SC的中点,
所以QR∥BC且QR=BC.
所以QR∥PD且QR=PD,则四边形PDRQ为平行四边形. ….………………….3分
所以PQ∥DR.又PQ⊄平面SCD,DR⊂平面SCD,
所以PQ∥平面SCD. .………………….………….5分
(2)存在点N为SC中点,使得平面DMN⊥平面ABCD. …………….…………………6分
连接PC、DM交于点O,连接PM、SP,
因为PD∥CM,并且PD=CM,
所以四边形PMCD为平行四边形,
所以PO=CO.
又因为N为SC中点,
所以NO∥SP. …………….…………………8分
因为平面SAD⊥平面ABCD,平面SAD∩平面ABCD=AD,并且SP⊥AD,
所以SP⊥平面ABCD,….………………….10分
所以NO⊥平面ABCD,
又因为NO⊂平面DMN,
所以平面DMN⊥平面ABCD. …………….…………………12分
20. (1)由题意,得的定义域为,
. ….………………….2分
,∴、随的变化情况如下表:
0
单调递减
极小值
单调递增
所以. ….…………………4分
在上恒成立,∴.….………………….5分
(2)函数在上有两个零点,等价于方程在上有两个解.
化简,得. ….………………….6分
设. 则,
, 、随的变化情况如下表:
1
3
单调递增
单调递减
单调递增
….………………….….…………………..………………….….…………………….….…………………8分
且, , ,
. ….………………….10分
所以,当时, 在上有两个解.
故实数的取值范围是.….………………….12分
21. 解析:
(1)证明:取中点,
平面, ,
平面,
,
平面,
.….…………………………………………………………………………………….2分
又 为等边三角形且为中点,
, ….…………………………………………………………………………………………….4分
平面
….………………….…………………………………………………………………………………………….5分
(2)解:取的中点, 平面,………………………………………………6分
又,
所以,……………………………………………………………8分
由(1)知平面,所以,又
所以,…………………………………………………………………10分
设点到平面的距离为,
由得….………………….12分
22. 解析:(1),定义域为,
.………………………………………………2分
① 当时, ,故函数在上单调递减;
② 当时,令,得
x
↘
极小值
↗
综上所述,当时, 在上单调递减;当时,函数在上单调递减,在上单调递增. …………………………5分
(2)当时,由第一问可知,函数在上单调递减,
显然, ,故,
所以函数在上单调递减,………………7分
因为对任意,都有,所以.
所以,即,……………9分
所以,即,
所以,即,
所以.…………………………………………12分