山西大学附属中学
2018-2019学年高三第二学期3月模块诊断
数学试题（理）
第Ⅰ卷（共60分）
一、 选择题：（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.）
1. 已知集合，集合中至少有个元素，则（ ）
A． B． C． D．
2. 复数的实部与虚部之差为（ ）
A．-1 B．1 C． D．
3. 已知，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知，，且，则向量在方向上的投影为（ ）
A． B． C． D．
5．某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有（ ）
A．72种 B．36种 C．24种 D．18种
6. 当输入的值为，的值为时，执行如图所示的程序框图，则输出的的结果是（ ）
A． B． C． D．
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7. 已知函数，则的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，在棱长为的正方体中，为的中点，为上任意一点，、为上两点，且的长为定值，则下面四个值中不是定值的是（ ）
A．点到平面的距离
B．直线与平面所成的角
C．三棱锥的体积
D．△的面积
9．已知函数，则函数满足（ ）
A．最小正周期为 B．图象关于点对称
C．在区间上为减函数 D．图象关于直线对称
10. 设锐角的三个内角，，的对边分别为，，，且，，则周长的取值范围为（ ）
A． B．
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C． D．
11. 设双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线分别交双曲线左右两支于点，，连结，，若，，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12.已知函数（为自然对数的底），若方程有且仅有四个不同的解，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 已知点在不等式组表示的平面区域上运动，则的取值范围是
14．已知点及抛物线上一动点则的最小值是
15. 已知数列为正项的递增等比数列，，，记数列的前项和为，则使不等式成立的正整数的最大值为_______．
16. 已知在四面体中，，则该四面体的体积的最大值为___________．
三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（本小题满分12分）已知数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
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（2）若数列的前项和为，证明：．
18．（本小题满分12分）如图（1），等腰梯形，，，，、分别是的两个三等分点．若把等腰梯形沿虚线、折起，使得点和点重合，记为点，如图（2）．
（1）求证：平面平面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
19．（本小题满分12分）
图1：设备改造前样本的频率分布直方图
某企业对设备进行升级改造，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在内的产品视为合格品，否则为不合格品．图1是设备改造前样本的频率分布直方图，表1是设备改造后样本的频数分布表．
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表1：设备改造后样本的频数分布表
质量指标值
频数
2
18
48
14
16
2
（1）请估计该企业在设备改造前的产品质量指标的平均值;
（2）企业将不合格品全部销毁后，并对合格品进行等级细分，质量指标值落在内的定为一等品，每件售价240元；质量指标值落在或内的定为二等品，每件售价180元；其它的合格品定为三等品，每件售价120元．根据表1的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率．现有一名顾客随机购买两件产品，设其支付的费用为（单位：元），求的分布列和数学期望．
20．设椭圆的离心率为，圆与轴正半轴交于点，圆在点处的切线被椭圆截得的弦长为．
（1）求椭圆的方程；
21. 已知函数,其中为实数．
(1)求函数的单调区间；
(2)若函数有两个极值点，求证：．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22. （10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．为曲线上的动点，点在射线上，且满足．
（Ⅰ）求点的轨迹的直角坐标方程；
（Ⅱ）设与轴交于点，过点且倾斜角为的直线与相交于两点，求的值．
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23．选修4-5：不等式选讲
已知函数．
（1）当时，解不等式；
（2）设不等式的解集为，若，求实数的取值范围．
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