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一、选择题
1.(2018·长沙模拟)如图是一个正方体,A,B,C为三个顶点,D是棱的中点,则三棱锥ABCD的正视图、俯视图是(注:选项中的上图为正视图,下图为俯视图)( )
解析:选A.正视图和俯视图中棱AD和BD均看不见,故为虚线,易知选A.
2.(2018·高考北京卷)某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
解析:选C.将三视图还原为直观图,几何体是底面为直角梯形,且一条侧棱和底面垂直的四棱锥,如图所示.
易知,BC∥AD,BC=1,AD=AB=PA=2,
AB⊥AD,PA⊥平面ABCD,故△PAD,△PAB为直角三角形,
因为PA⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD,
所以PA⊥BC,又BC⊥AB,且PA∩AB=A,
所以BC⊥平面PAB,又PB⊂平面PAB,所以BC⊥PB,
所以△PBC为直角三角形,容易求得PC=3,CD=,PD=2,
故△PCD不是直角三角形,故选C.
3.(2018·沈阳教学质量监测(一))如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某简单几何体的三视图,则该几何体的体积为( )
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A. B.
C. D.
解析:选A.由三视图可得该几何体为半圆锥,底面半圆的半径为2,高为2,则其体积V=××π×22×2=,故选A.
4.(2018·西安八校联考)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( )
A. B.
C.2+ D.4+
解析:选B.由三视图可知,该几何体为一个半径为1的半球与一个底面半径为1,高为2的半圆柱组合而成的组合体,故其体积V=π×13+π×12×2=,故选B.
5.(2018·长春质量检测(一))已知矩形ABCD的顶点都在球心为O,半径为R的球面上,AB=6,BC=2,且四棱锥OABCD的体积为8,则R等于( )
A.4 B.2
C. D.
解析:选A.如图,设矩形ABCD的中心为E,连接OE,EC,由球的性质可得OE⊥平面ABCD,所以VOABCD=·OE·S矩形ABCD=×OE
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×6×2=8,所以OE=2,在矩形ABCD中可得EC=2,则R===4,故选A.
6.(2018·南昌调研)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的体积为( )
A. B.
C.2 D.
解析:选A.由三视图可知,该几何体为三棱锥,将其放在棱长为2的正方体中,如图中三棱锥ABCD所示,故该几何体的体积V=××1×2×2=.
7.(2018·辽宁五校协作体联考)如图所示,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线及粗虚线画出的是三棱锥的三视图,则此三棱锥的体积是( )
A.8 B.16
C.24 D.48
解析:选A.由三视图还原三棱锥的直观图,如图中三棱锥PABC 所示,且长方体的长、宽、高分别为6,2,4,△ABC是直角三角形,AB⊥BC,AB=2,BC=6,三棱锥PABC的高为4,故其体积为××6×2×4=8,故选A.
8.将一个底面半径为1,高为2的圆锥形工件切割成一个圆柱体,能切割出的圆柱的最大体积为( )
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A. B.
C. D.
解析:选B.如图所示,设圆柱的半径为r,高为x,体积为V,由题意可得=,所以x=2-2r,所以圆柱的体积V=πr2(2-2r)=2π(r2-r3)(0