盐城市2018届高三年级第一学期期中考试
数 学 试 题
(总分160分,考试时间120分钟)
一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分. 请把答案填写在答题卡相应位置上.
1.已知集合,,则= ▲ .
2.函数的最小正周期为 ▲ .
3.若幂函数的图象经过点,则的值为 ▲ .
4.在中,角的对边分别为,若,,,
则= ▲ .
5.若命题“,”是真命题,则实数的取值范围是 ▲ .
6.在等差数列中,若,则数列的前6项的和 ▲ .
7.若向量,,,且,则= ▲ .
8.若函数在区间上存在唯一的极值点,则实数的取值范围为 ▲ .
9.若菱形的对角线的长为4,则 ▲ .
x
y
O
2
-2
第10题图
10.函数(其中,,为常数,且,,)的部分图象如图所示,若(),则的值
为 ▲ .
11. 函数是以4为周期的奇函数,当时,,则 ▲ .
12.设函数,若当时,不等式恒成立,则的取值范围是 ▲ .
13.在中,角的对边分别为,已知,角的平分线交边于点,其中,则= ▲ .
14.设数列共有4项,满足,若对任意的,且), 仍是数列中的某一项. 现有下列命题:①数列一定是等差数列;②存在,使得;③数列中一定存在一项为0. 其中,真命题的序号有 ▲ .(请将你认为正确命题的序号都写上)
二、解答题:本大题共6小题,共计90分. 请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分14分)
在中,角的对边分别为,已知,,且.
(1)求的值;
(2)求的值.
16.(本小题满分14分)
记函数的定义域、值域分别为集合.
(1)当时,求;
(2)若“”是“”的必要不充分条件,求实数的取值范围.
17.(本小题满分14分)
设直线是函数的图象的一条对称轴.
(1)求函数的最大值及取得最大值时的集合;
(2)求函数在上的单调减区间.
18.(本小题满分16分)
2016年射阳县洋马镇政府投资8千万元启动“鹤乡菊海”观光旅游及菊花产业项目. 规划从2017年起,在相当长的年份里,每年继续投资2千万元用于此项目. 2016年该项目的净收入为5百万元(含旅游净收入与菊花产业净收入),并预测在相当长的年份里,每年的净收入均为上一年的1.5倍. 记2016年为第1年,为第1年至此后第年的累计利润(注:含第年,累计利润 = 累计净收入-累计投入,单位:千万元),且当为正值时,认为该项目赢利.
(1)试求的表达式;
(2)根据预测,该项目将从哪一年开始并持续赢利?请说明理由.
(参考数据:,,)
19. (本小题满分16分)
已知数列满足,,且.
(1)求的值;
(2)设为数列的前项的和,求;
(3)设,是否存正整数,使得成等差数列?若存在,求出所有满足条件的;若不存在,请说明理由.
20.(本小题满分16分)
设函数,.
(1)若函数在上单调递增,求的取值范围;
(2)设函数,若对任意的,都有,求的取值范围;
(3)设,点是函数与图象的一个交点,且函数与的图象在点处的切线互相垂直,求证:存在唯一的满足题意,且.
数学参考答案
一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.
1. 2. 3. 4. 5. 6.2 7.
8. 9. 8 10. 11. 12. 13. 14.①②③
二、解答题:本大题共6小题,共计90分.
15.解:(1)由,得,即,解得. ………………3分
在中,由余弦定理,得,
所以. ………………6分
(2)因为,所以为锐角,故. ………………8分
又由余弦定理,得,
所以为锐角,且. ………………11分
所以.………………14分
16.解:(1)当时,,由,得. ……………2分
又,所以. ……………4分
故. ……………6分
(2)“”是“”的必要不充分条件. ……………8分
①当时,,,适合题意; ……………9分
②当时,,,适合题意; ……………11分
③当时,,,不适合题意. ……………13分
综上所述,实数的取值范围是. ……………14分
17.解:(1)因为直线是函数的图象的对称轴,
所以对恒成立. ……………2分
所以对恒成立,
即对恒成立,所以. ……………6分
从而. ……………8分
故当,即时,取得最大值为2. ……………10分
(说明:其它方法的,类似给分)
(2)由,解得的递减区间为. …12分
从而在上的减区间为.(注:区间的形式不唯一) ……………14分
18.解:(1)由题意知,第1年至此后第年的累计投入
为(千万元), ……………3分
第1年至此后第年的累计净收入
为(千万元). ………7分
所以(千万元). ……………8分
(2)方法一:因为,
所以当时,,故当时,递减;
当时,,故当时,递增. ……………12分
又,,
.
所以,该项目将从第8年开始并持续赢利. ……………15分
答:该项目将从2023年开始并持续赢利. ……………16分
方法二:设,则,
令,得,所以.
从而当时,,递减;
当时,,递增. ……………12分
又,,
.
所以,该项目将从第8年开始并持续赢利. ……………15分
答:该项目将从2023年开始并持续赢利. ……………16分
19.解:(1)由题意,当为奇数时,;当为偶数时,. …………2分
又,,所以,即. …………4分
(2)①当时,
. ……………6分
②当时,
. ……………8分
所以, ……………9分
(3)由(1),得(仅且递增). ……………10分
因为,且,所以.
①当时,,若成等差数列,则
,
此与矛盾. 故此时不存在这样的等差数列. ……………12分
②当时,,若成等差数列,则
,
又因为,且,所以.
若,则,得,
得,矛盾,所以.
从而,得,
化简,得,解得. ……………15分
从而,满足条件的只有唯一一组解,即,,. ……………16分
20.解:(1)由题意,知,所以.
由题意,,即对恒成立. ……………2分
又当时,,所以. ……………4分
(2)因为,所以.
①当时,因为,所以,,故,不合题意.…6分
②当时,因为,所以,故在上单调递增. ……8分
欲对任意的都成立,则需,所以,解得.
综上所述,的取值范围是. ……………10分
(3)证明:因为,,且函数与在点处的切线互相垂直,所以,即 (*).
又点是函数与的一个交点,所以 (**).
由(*)(**)消去,得. ……………12分
①当时,因为,所以,且,此与(**)式矛盾.
所以在上没有适合题意. ……………13分
②当时,设,.
则,即函数在上单调递增,
所以函数在上至多有一个零点.
因为,,
且的图象在上不间断,所以函数在有唯一零点.
即只有唯一的,使得成立,且.
综上所述,存在唯一的,且. ……………16分