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高二数学上学期四校联测期中试卷 2017.11.16
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．)
1.命题“”的否定形式为___________________.
2.曲线在处的切线方程是__________.
3.以双曲线的右焦点为焦点的抛物线标准方程为___________ .
4.已知函数，则 .
5.的____________.
（从“充分不必要条件”，“必要不充分条件”，“充要条件”，“既不充分又不必要条件”选出恰当的形式填空）
6.过点的直线l与圆交于A,B两点,当最小时,直线l的方程为_________________.
7.设P是直线上的一个动点，过P作圆的两条切线，若的最大值为60°，则b = ．
8.已知圆的圆心是双曲线的一个焦点，则此双曲线的渐近线方程为_____________.
9.已知命题，命题，若命题是真命题，则实数的取值范围为_____________ .
10.函数的图像在点处的切线方程是，则等于_________.
11.已知是椭圆上的动点，是椭圆的两个焦点，则的取值范围是___________ .
12.已知直线与圆相切，且在轴、轴上的截距相等，则直线的方程为_______________.
13.设，则的最小值为___________.
14.已知椭圆的短轴长为2，离心率为，设过右焦点的直线与椭
圆 交于不同的两点，过作直线的垂线，垂足分别为，记，若直线的斜率，则的取值范围为___________.
二、解答题(本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
15. （本小题满分14分）
（1）求以椭圆的焦点为顶点，且以椭圆的顶点为焦点的双曲线标准方程.
（2）已知抛物线的焦点在轴上，点是抛物线上的一点，M到焦点的距离为5，
求抛物线的标准方程.
16.（本小题满分14分）
已知为实数，点在圆的内部；都有.（1）若为真命题，求的取值范围；（2）若为假命题，求的取值范围；（3）若为假命题，且为真命题，求的取值范围．
17.（本小题满分15分）
已知曲线
（1） 若，过点的直线交曲线于两点，且，求直线的方程；
（2） 若曲线表示圆，且直线与圆相交于两点，是否存在实数，使得以为直径的圆过原点，若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由。
18.（本小题满分15分）
(1)设，若，求在点处的切线方程；
(2)若存在过点的直线与曲线和都相切，求的值.
19. （本小题满分16分）
平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别是，以为圆心以3为半径的圆与以为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆上.
（1） 求椭圆的方程；
（2） 过椭圆上一动点的直线，过与轴垂直的直线记为，右准线记为；
设直线与直线相交于点，直线与直线相交于点，证明恒为定值，并求此定值.
若连接并延长与直线相交于点，椭圆的右顶点，设直线的斜率为，直线的斜率为，求的取值范围.
20.（本小题满分16分）
如图，在平面直角坐标系中，已知，，，直线与线段、分别交于点、.
(Ⅰ)当时，求以为焦点，且过中点的椭圆的标准方程；
(Ⅱ)过点作直线∥交于点，记的外接圆为圆.
第20题
P
A
R
O
F1
Q
x
y
F2
① 求证:圆心在定直线上；
② 圆是否恒过异于点的一个定点?若过，求出该点的坐标；若不过，请说明理由.
高二数学上学期四校联测期中答案 2017.11.16
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．)
1.命题“”的否定形式为___________________.
答案：
2.曲线在处的切线方程是__________.答案：
3.以双曲线的右焦点为焦点的抛物线标准方程为___________ .答案：
4.已知函数，则 .
答案：
5.的____________.
（从“充分不必要条件”，“必要不充分条件”，“充要条件”，“既不充分又不必要条件”选出恰当的形式填空）
答案：充分不必要条件
6.过点的直线l与圆交于A,B两点,当最小时,直线l的方程为_________________.
答案：
7. 设P是直线上的一个动点，过P作圆的两条切线，若的最大值为60°，则b = ．
答案：
8. 已知圆的圆心是双曲线的一个焦点，则此双曲线的渐近线方程为_____________.
答案：
9. 已知命题，命题，若命题是真命题，则实数的取值范围为_____________ .
答案：
10. 函数的图像在点处的切线方程是，则等于
_________.
答案：2
7. 已知是椭圆上的动点，是椭圆的两个焦点，则的取值范围是___________ .
答案：
8. 已知直线与圆相切，且在轴、轴上的截距相等，则直线的方程为_______________.
答案：
13.设，则的最小值为___________.
答案：
14.已知椭圆的短轴长为2，离心率为，设过右焦点的直线与椭圆 交于不同的两点，过作直线的垂线，垂足分别为，记，若直线的斜率，则的取值范围为___________.
答案：
二、解答题(本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
15. （本小题满分14分）
（1）求以椭圆的焦点为顶点，且以椭圆的顶点为焦点的双曲线标准方程.(8分）
（2）已知抛物线的焦点在轴上，点是抛物线上的一点，M到焦点的距离为5，
求抛物线的标准方程.（6分）
解：（1）椭圆的焦点为，顶点为 ----------------4分
双曲线的标准方程可设为
由题意知
-----------------6分
则双曲线的标准方程为------------------8分
（2） 由题意知，抛物线的标准方程可设为 --------------10分
------------------12分
抛物线的标准方程为 ------------------------14分
16.（本小题满分14分）
已知为实数，点在圆的内部；都有.（1）若为真命题，求的取值范围；（2）若为假命题，求的取值范围；（3）若为假命题，且为真命题，求的取值范围．
解：（1）为真命题
解得 ------------4分
（2） 为真命题时，恒成立
解得
为假命题时， -----------8分
（3） 为假命题，且为真命题
一真一假 ------------9分
，则 ------------11分
，则 ----------13分
-----------14分
17.（本小题满分15分）
已知曲线
（1） 若，过点的直线交曲线于两点，且，求直线的方程；（7分）
（2） 若曲线表示圆，且直线与圆相交于两点，是否存在实数，使得以为直径的圆过原点，若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由。（8分）
解：(1)圆
设圆心到直线的距离为
则 ---------------2分
若的斜率不存在，则符合题意； ----------------4分
若的斜率存在，设为，则
即
解得，可得 ------------6分
综上，直线的方程为或. -------------7分
（2）曲线表示圆
且直线与圆相交
-------------9分
设过两点的圆的方程为
----------------11分
圆心在上，且过原点
-------------13分
解得
------------15分
（法二）曲线表示圆
且直线与圆相交
-------------9分
设A,B坐标，将直线与圆联立，消去y得到关于x的一元二次方程，得到韦达定理------11分
利用向量数量积等于0，得到关于m的方程 ----------13分
解得m的值 -------------15分
18. （本小题满分15分）
(1)设，若，求在点处的切线方程；（5分）
(2)若存在过点的直线与曲线和都相切，求的值.（10分）
解：（1）因为
--------------1分
--------------3分
在点处的切线方程为 ---------------5分
（2）设曲线的切点为
，
------------7分
又该切线过点
解得 -------------9分
1.当时，切点为，切线
又直线与相切
满足
------------------12分
2.当时，切点为，切线
又直线与相切
满足
------------------15分
综上
19. （本小题满分16分）
平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别是，以为圆心以3为半径的圆与以为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆上.
（1） 求椭圆的方程；
（1） 过椭圆上一动点的直线，过与轴垂直的直线记为，右准线记为；
设直线与直线相交于点，直线与直线相交于点，证明恒为定值，并求此定值.
若连接并延长与直线相交于点，椭圆的右顶点，设直线的斜率为，直线的斜率为，求的取值范围.
解：（1）由题意知2a=4，则a=2，
由e==，求得c=1， ------------2分
b2=a2﹣c2=3
∴椭圆C的标准方程为； -----------4分
（2）①证明：直线l1：x=1，直线l2：x=4．
把x=1代入直线1： +=1，解得
----------6分
把x=4代入直线1： +=1方程，解得y=，
----------8分
∴
--------10分
②由，解得=3（1﹣）（﹣2≤x0＜2），x0≠﹣1．
直线l1的方程为：x=1；直线l2的方程为：x=4．
直线PF1的方程为：y﹣0=（x+1），
令x=4，可得yQ=．
点Q，
∵，k2=， ----------12分
∴k1•k2==． -------13分
∵点P在椭圆C上，∴，
∴k1•k2==．
∵﹣1＜x0＜2，
∴∈（，+∞），
∴k1•k2＜﹣．
∴k1•k2的取值范围是k1k2∈（﹣∞，﹣）． ---------16分
20.（本小题满分16分）
如图，在平面直角坐标系中，已知，，，直线与线段、分别交于点、.
(Ⅰ)当时，求以为焦点，且过中点的椭圆的标准方程；
(Ⅱ)过点作直线∥交于点，记的外接圆为圆.
① 求证:圆心在定直线上；
第20题
P
A
R
O
F1
Q
x
y
F2
② 圆是否恒过异于点的一个定点?若过，求出该点的坐标；若不过，请说明理由.
【解】:(Ⅰ)设椭圆的方程为,当时,PQ的中点为(0,3),所以b=3……………3分
而,所以，故椭圆的标准方程为…………………5分
(Ⅱ)①解法一:易得直线,
所以可得,再由∥,得……………8分
则线段的中垂线方程为, 线段的中垂线方程为,
由,解得的外接圆的圆心坐标为………10分
经验证,该圆心在定直线上…………………………… 11分
解法二: 易得直线,所以可得,再由∥,得………………………8分
设的外接圆的方程为,
则,解得…10分
所以圆心坐标为,经验证,该圆心在定直线上 …11分
②由①可得圆C的方程为………13分
该方程可整理为,
则由,解得或,
所以圆恒过异于点的一个定点,该点坐标为………………16分
高二数学上学期四校联测期中试卷 2017.11.16
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．)
1.命题“”的否定形式为___________________.
答案：
2.曲线在处的切线方程是__________.答案：
3.以双曲线的右焦点为焦点的抛物线标准方程为___________ .答案：
4.已知函数，则 .
答案：
5.的____________.
（从“充分不必要条件”，“必要不充分条件”，“充要条件”，“既不充分又不必要条件”选出恰当的形式填空）
答案：充分不必要条件
6.过点的直线l与圆交于A,B两点,当最小时,直线l的方程为_________________.
答案：
7. 设P是直线上的一个动点，过P作圆的两条切线，若的最大值为60°，则b = ．
答案：
7. 已知圆的圆心是双曲线的一个焦点，则此双曲线的渐近线方程为_____________.
答案：
8. 已知命题，命题，若命题是真命题，则实数的取值范围为_____________ .
答案：
9. 函数的图像在点处的切线方程是，则等于_________.
答案：2
10. 已知是椭圆上的动点，是椭圆的两个焦点，则的取值范围是___________ .
答案：
11. 已知直线与圆相切，且在轴、轴上的截距相等，则直线的方程为_______________.
答案：
13.设，则的最小值为___________.
答案：
14.已知椭圆的短轴长为2，离心率为，设过右焦点的直线与椭圆 交于不同的两点，过作直线的垂线，垂足分别为，记，若直线的斜率，则的取值范围为___________.
答案：
二、解答题(本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
15. （本小题满分14分）
（1）求以椭圆的焦点为顶点，且以椭圆的顶点为焦点的双曲线标准方程.
（2）已知抛物线的焦点在轴上，点是抛物线上的一点，M到焦点的距离为5，
求抛物线的标准方程.
解：（1）椭圆的焦点为，顶点为
双曲线的标准方程可设为
由题意知
则双曲线的标准方程为
（2） 由题意知，抛物线的标准方程可设为
抛物线的标准方程为
16.（本小题满分14分）
已知为实数，点在圆的内部；都有.（1）若为真命题，求的取值范围；（2）若为假命题，求的取值范围；（3）若为假命题，且为真命题，求的取值范围．
解：（1）为真命题
解得
16. 为真命题时，恒成立
解得
为假命题时，
15. 为假命题，且为真命题
一真一假
，则
，则
17.（本小题满分15分）
已知曲线
（2） 若，过点的直线交曲线于两点，且，求直线的方程；
（3） 若曲线表示圆，且直线与圆相交于两点，是否存在实数，使得以为直径的圆过原点，若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由。
解：(1)圆
设圆心到直线的距离为
则
若的斜率不存在，则符合题意；
若的斜率存在，设为，则
即
解得，可得
综上，直线的方程为或.
（2）曲线表示圆
设过两点的圆的方程为
圆心在上，且过原点
解得
（2） （本小题满分15分）
(1)设，若，求在点处的切线方程；
(2)若存在过点的直线与曲线和都相切，求的值.
解：（1）因为
在点处的切线方程为
（2）设曲线的切点为
，
又该切线过点
解得
1.当时，切点为，切线
又直线与相切
满足
2.当时，切点为，切线
又直线与相切
满足
综上
18. （本小题满分16分）
平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别是，以为圆心以3为半径的圆与以为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆上.
19. 求椭圆的方程；
20. 过椭圆上一动点的直线，过与轴垂直的直线记为，右准线记为；
设直线与直线相交于点，直线与直线相交于点，证明恒为定值，并求此定值.
若连接并延长与直线相交于点，椭圆的右顶点，设直线的斜率为，直线的斜率为，求的取值范围.
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（1）以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交，且交点E在椭圆C上．可得|EF1|+|EF2|=3+1=2a，解得a=2．又e==，a2=b2+c2，解得c，b2，即可得到椭圆C的方程；
（2）①直线l1：x=1，直线l2：x=4．把x=1代入直线1，解得y，可得M坐标．同理可得N坐标．又=，利用两点之间的距离公式可得=为定值．
②由由，解得=．直线l1的方程为：x=1；直线l2的方程为：x=4．直线PF1的方程为：y﹣0=（x+1），由于﹣1＜x0＜2，可得∈（，+∞），即可得出k1k2，利用函数的性质即可得出．
【解答】解：（1）由题意知2a=4，则a=2，
由e==，求得c=1，
b2=a2﹣c2=3
∴椭圆C的标准方程为；
（2）①证明：直线l1：x=1，直线l2：x=4．
把x=1代入直线1： +=1，解得y=，
∴M，
把x=4代入直线1： +=1方程，解得y=，
∴N，
∴
②由，解得=3（1﹣）（﹣2≤x0＜2），x0≠﹣1．
直线l1的方程为：x=1；直线l2的方程为：x=4．
直线PF1的方程为：y﹣0=（x+1），
令x=4，可得yQ═．
点Q，
∵，k2=，
∴k1•k2==．
∵点P在椭圆C上，∴，
∴k1•k2==．
∵﹣1＜x0＜2，
∴∈（，+∞），
∴k1•k2＜﹣．
∴k1•k2的取值范围是k1k2∈（﹣∞，﹣）．
20.（本小题满分16分）
如图，在平面直角坐标系中，已知，，，直线与线段、分别交于点、.
(Ⅰ)当时，求以为焦点，且过中点的椭圆的标准方程；
(Ⅱ)过点作直线∥交于点，记的外接圆为圆.
① 求证:圆心在定直线上；
第20题
P
A
R
O
F1
Q
x
y
F2
② 圆是否恒过异于点的一个定点?若过，求出该点的坐标；若不过，请说明理由.
【解】:(Ⅰ)设椭圆的方程为,当时,PQ的中点为(0,3),所以b=3……………3分
而,所以，故椭圆的标准方程为…………………5分
(Ⅱ)①解法一:易得直线,
所以可得,再由∥,得……………8分
则线段的中垂线方程为, 线段的中垂线方程为,
由,解得的外接圆的圆心坐标为………10分
经验证,该圆心在定直线上…………………………… 11分
解法二: 易得直线,所以可得,再由∥,得………………………8分
设的外接圆的方程为,
则,解得…10分
所以圆心坐标为,经验证,该圆心在定直线上 …11分
②由①可得圆C的方程为………13分
该方程可整理为,
则由,解得或,
所以圆恒过异于点的一个定点,该点坐标为………………16分
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