炎德·英才大联考
湖南师大附中2019届高三月考试卷(七)
数 学(理科)
命题人：朱海棠 贺祝华 张天平 欧阳普
审题：高三数学备课组
时量：120分钟 满分：150分
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数z＝a＋(a∈R)，若z为纯虚数，则|a－2i|＝(B)
A．5 B. C．2 D.
【解析】因为z＝a＋i(3＋i)＝a－1＋3i为纯虚数，则a＝1，所以|a－2i|＝＝，选B.
2．下列说法错误的是(B)
A．在回归模型中，预报变量y的值不能由解释变量x唯一确定
B．若变量x，y满足关系y＝－0.1x＋1，且变量y与z正相关，则x与z也正相关
C．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高
D．以模型y＝cekx去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z＝ln y，将其变换后得到线性方程z＝0.3x＋4，则c＝e4，k＝0.3
【解析】对于A，在回归模型中，预报变量y的值由解释变量x和随机误差e共同确定，即x只能解释部分y的变化，所以A正确；对于B，由回归方程知变
量y与z正相关，则x与z负相关，所以B错误；对于C，在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高，C正确；由回归分析的意义知D正确．故选B.
3．函数f(x)＝(其中e为自然对数的底数)的图象大致为(A)
【解析】当x>0时，ex>1，则f(x)0)，则f′(x)＝.
令g(x)＝ex－3(x>0)，则g′(x)＝xex>0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增．
因为g(1)＝－30，则g(x)在(1，2)内只有一个零点．
设g(t)＝0，则et＝.当x∈(0，t)时，g(x)＜0，从而f′(x)0，f(x)单调递增，所以f(x)min＝＝＝et.
由题意知ea≤et，即a≤t.因为t∈(1，2)，a为整数，所以a的最大值为1.
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
(一)必考题：共60分．
17．(本小题满分12分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足acos B＋bcos A＝2ccos C.
(1)求角C的大小；
(2)若△ABC的周长为3，求△ABC的内切圆面积S的最大值．
【解析】(1)由已知，sin Acos B＋sin Bcos A＝2sin Ccos C，(2分)
即sin(A＋B)＝2sin Ccos C，因为sin(A＋B)＝sin C>0，则cos C＝，(4分)
又C∈(0，π)，所以C＝.(5分)
(2)设△ABC的内切圆半径为R，则absin＝·3R，则R＝ab，(6分)
由余弦定理，得a2＋b2－ab＝(3－a－b)2，化简得3＋ab＝2(a＋b)，(8分)
因为a＋b≥2，则3＋ab≥4，解得≥3或≤1，(10分)
若≥3，则a，b至少有一个不小于3，这与△ABC的周长为3矛盾；(11分)
若≤1，则当a＝b＝1＝c时，R取最大值.
所以△ABC的内切圆面积的最大值为Smax＝π＝.(12分)
18．(本小题满分12分)
如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，且∠ABC＝60°，BM⊥平面ABCD，BM∥DN，BM＝2DN，点E是线段MN上任意一点．
(1)证明：平面EAC⊥平面BMND；
(2)若∠AEC的最大值是，求三棱锥M－NAC的体积．
【解析】(1)因为BM⊥平面ABCD，则AC⊥BM.(2分)
又四边形ABCD是菱形，则AC⊥BD，所以AC⊥平面BMND. (4分)
因为AC在平面EAC内，所以平面EAC⊥平面BMND.(5分)
(2)设AC与BD的交点为O，连结EO. 因为AC⊥平面BMND，则AC⊥OE，又O为AC的中点，则AE＝CE，所以cos∠AEC＝＝1－，∠AEC∈(0，π)．
当AE最短时∠AEC最大，此时AE⊥MN，CE⊥MN，∠AEC＝，AE＝.(7分)
取MN的中点H，分别以直线OA，OB，OH为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设ND＝a，
则点A(1，0，0)，N(0，－，a)，M(0，，2a)，＝(－1，－，a)，＝(－1，，2a)．
设平面AMN的法向量n1＝(x，y，z)，
则
取z＝1，则n1＝，
同理求得平面CMN的法向量n2＝.
因为∠AEC＝是二面角A―MN－C的平面角，则
|cos∠AEC|＝＝，解得a＝或a＝(舍去)．(10分)
因为MN＝＝＝，AE＝，S△EAC＝AE2sin ＝××＝，
则VM－NAC＝VM－EAC＋VN－EAC＝S△EAC·MN ＝.(12分)
19．(本小题满分12分)
在湖南师大附中的校园歌手大赛决赛中，有6位参赛选手(1号至6号)登台演出，由现场的100位同学投票选出最受欢迎的歌手，各位同学须彼此独立地在投票器上选出3位候选人，其中甲同学是1号选手的同班同学，必选1号，另在2号至6号选手中随机选2名；乙同学不欣赏2号选手，必不选2号，在其他5
位选手中随机选出3名；丙同学对6位选手的演唱没有偏爱，因此在1号至6号选手中随机选出3名．
(1)求同学甲选中3号且同学乙未选中3号选手的概率；
(2)设3号选手得到甲、乙、丙三位同学的票数之和为X，求X的分布列和数学期望．
【解析】设A表示事件“甲同学选中3号选手”，B表示事件“乙同学选中3号选手”，C表示事件“丙同学选中3号选手”，则
(1)P(A)＝＝，P(B)＝＝，(2分)
所以P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝.(5分)
(2)P(C)＝＝，(6分)
X可能的取值为0，1，2，3，
P(X＝0)＝P(A )＝××＝××＝，
P(X＝1)＝P(A )＋P(A BC)＋P(A C)＝××＋××＋××＝，
P(X＝2)＝P(A B C)＋P(AB C)＋P(A B C)＝××＋××＋××＝，
P(X＝3)＝P(A B C)＝××＝.(10分)
所以X的分布列为：
X
0
1
2
3
P
X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.(12分)
20．(本小题满分12分)
已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，D(0，2)为椭圆C短轴的一个端点，F为椭圆C的右焦点，线段DF的延长线与椭圆C相交于点E，且|DF|＝3|EF|.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设直线l与椭圆C相交于A，B两点，O为坐标原点，若直线OA与OB的斜率之积为－，求·的取值范围．
【解析】(1)设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，右焦点F(c，0)．(1分)
因为D(0，2)为椭圆短轴的一个端点，则b＝2.因为|DF|＝3|EF|，则点E.(3分)
因为点E在椭圆上，则＋＝1，即a2＝2c2.(4分)
又c2＝a2－4，则a2＝2(a2－4)，得a2＝8，所以椭圆C的标准方程是＋＝1. (5分)
(2)解法一：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋m，
代入椭圆方程，得x2＋2(kx＋m)2＝8，即(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－8＝0.
设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝. (6分)
因为kOA·kOB＝－，则·＝－，即3x1x2＋2y1y2＝0，即3x1x2＋2(kx1＋m)(kx2＋m)＝0，
即(2k2＋3)x1x2＋2km(x1＋x2)＋2m2＝0，所以(2k2＋3)·－＋2m2＝0，
即(2k2＋3)(m2－4)－4k2m2＋m2(2k2＋1)＝0，化简得m2＝2k2＋3.(7分)
所以·＝x1x2＋y1y2＝－x1x2＝－＝－＝－1.(8分)
因为Δ＝16k2m2－4(2k2＋1)(2m2－8)＝8(8k2＋4－m2)＝8(6k2＋1)>0，k2≥0，则00时，由f′(x)>0，得02，即证k(x1＋x2)>2，
即证(x2＋x1)>2，即证ln x2－ln x1>，只要证ln>.
设t＝(t>1)，则只要证ln t>(t>1)．(10分)
设g(t)＝ln t－，则g′(t)＝>0，所以g(t)在(1，＋∞)上单调递增．
所以g(t)>g(1)＝0，即ln t>，所以ln x1＋ln x2>2，即ln x2>2－ln x1.(12分)
(二)选考题：共10分．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1的参数方程为(α为参数). 以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.
(1)求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；
(2)设动直线l：y＝kx(x≠0，k≠0)分别与曲线C1，C2相交于点A，B，求当k为何值时，|AB|取最大值，并求|AB|的最大值．
【解析】(1)曲线C1的普通方程为(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2－2x＝0.将x2＋y2＝ρ2，x＝ρcos θ代入，
得ρ2－2ρcos θ＝0，所以曲线C1的极坐标方程是ρ＝2cos θ.(3分)
由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ.将ρ2＝x2＋y2，ρsin θ＝y代入，得x2＋y2＝2y，
所以曲线C2的直角坐标方程是x2＋y2－2y＝0.(5分)
(2)解法一：设直线l的倾斜角为α，则l的参数方程为(t为参数，且t≠0). (6分)
将l的参数方程代入曲线C1的普通方程，得t2－2tcos α＝0，则tA＝2cos α.(7分)
将l的参数方程代入曲线C2的直角坐标方程，得t2－2tsin α＝0，则tB＝2sin α.(8分)
所以|AB|＝|tA－tB|＝|2cos α－2sin α|＝4，(9分)
据题意，直线l的斜率存在且不为0，则α∈∪，
所以当α＝，即k＝tan α＝－时，|AB|取最大值，且|AB|max＝4.(10分)
解法二：设直线l的倾斜角为α，则l的极坐标方程为θ＝α(ρ≠0)．(6分)
设点A，B的极坐标分别为A(ρ1，α)，B(ρ2，α)，则ρ1＝2cos α，ρ2＝2sin α.(8分)
所以|AB|＝|ρ1－ρ2|＝|2cos α－2sin α|＝4.(9分)
据题意，直线l的斜率存在且不为0，则α∈∪，
所以当α＝，即k＝tan α＝－时，|AB|取最大值，且|AB|max＝4.(10分)
解法三：将y＝kx(x≠0)代入曲线C1的普通方程，得x2＋k2x2－2x＝0(x≠0)，则xA＝.(6分)
将y＝kx(x≠0)代入曲线C2的直角坐标方程，得x2＋k2x2－2kx＝0(x≠0)，则xB＝.(7分)
所以|AB|＝|xA－xB|·＝|－|·＝＝2(k≠0)．(8分)
令＝m，则(m－3)k2＋2k＋m－1＝0. 据题意，该方程有非零实数解，
则m＝3或解得0≤m≤4，所以|AB|＝2≤4.(9分)
当m＝4时，k2＋2k＋3＝0，即(k＋)2＝0，得k＝－.
所以当k＝－时，|AB|取最大值，且|AB|max＝4.(10分)
23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲
已知函数f(x)＝|x－5|.
(1)解不等式：f(x)＋f(x＋2)≤3；
(2)若a
微信/支付宝扫码支付