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“长汀、连城、上杭、武平、漳平、永定一中”六校联考
2017-2018学年第一学期半期考
高三数学（理科）试题
（考试时间：120分钟 总分：150分）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.
注意事项：
1. 答题前，考生务必用黑色铅字笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并请认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码.
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选择其它答案标号，第Ⅱ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答.在试卷上作答，答案无效.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1.若集合则=
A． B. C. D.
2.命题“”的否定是
A． B.
C. D.
3.记为等差数列的前n项和.若，则的公差为
A． B. C. D.
4.若向量满足条件与共线，则x的值为
A． B. C. D.
5.在中，内角所对的边分别为，已知，则=
A． B. C. D.
6.中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔仔细算相还”.其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”.则该人第五天走的路程为（ ）
A. 6里 B. 12里 C. 24里 D. 48里
7.若偶函数在上单调递减，，则
满足
A. B.
C. D.
8.已知函数，则的图象大致为
9.设函数若有三个不等实数根，则的取值范围是
A. B. C. D.
10.已知，将f（x）的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到y=g（x）的图象，则=
A. B. C. D.
11.设过曲线上任意一点处的切线为，总存在过曲线上一点处的切线，使得，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
12.已知数列中， 为数列的前项和，当时，恒有
成立，若，则的值是
A． B. C. D.
第Ⅰ卷（非选择题 共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分。第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22～24题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13.设函数的导函数,则的值等于
14.已知则= ______ ．
15.如图，梯形中，，
若，则____________.
16.存在，使得成立，则的
取值范围是_____________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
(一)必考题：共60分。
17.（12分）
如图，已知中，为上一点，，．
（Ⅰ）求的长；
（Ⅱ）若的面积为，求的长．
18．（12分）
已知等比数列是递增数列，它的前项和为，，且10是的等差中项.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前项和.
19. （12分）
如图,在四棱锥中,平面平面,
.
(Ⅰ)求证: 平面;
(Ⅱ)求锐二面角的余弦值.
20. （12分）
已知是函数的两个相邻的极值点，且.
（Ⅰ）求的单调增区间；
（Ⅱ）已知方程在区间有两个不同的解且，求的取值范围并用含的式子表示的值.
21．（12分）
已知函数.
（Ⅰ）若时，函数存在两个零点，求的取值范围；
（Ⅱ）若时，不等式在上恒成立，求的取值范围.
(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分；
22. [选修4—4：坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系中，将圆经过伸缩变换 后得到曲线 ，直线的（为参数）.
(Ⅰ)求曲线的方程，直线的普通方程；
(Ⅱ)若点分别是曲线、直线上的任意点，求的最小值.
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
设函数且不等式的解集为.
(Ⅰ)求的值，并作出函数的图象；
(Ⅱ)若方程恰有两个不等实数根，求实数的取值范围.
“长汀、连城、上杭、武平、永定、漳平一中”六校联考
2017-2018学年第一学期半期考
高三数学（理科）试题参考答案
一、选择题：
1．A 2. A 3. B 4.D 5.C 6.B 7.D 8.A 9.C 10.B 11.C 12.B
二、填空题：
13. 14. 15. 16.
三、解答题：
17.解：（Ⅰ）
……………3分
由得………………………………………..6分
（Ⅱ）
由
…………………………………………………………………………………9分
…………………………………………………………………………………12分
18.解：（Ⅰ）设等比数列的公比为，依题意有， 又
，……………………………………3分
解得或.又数列递增，，………………5分
…………………………6分
（Ⅱ）令=，
则，①
① ，得，②……………………9分
① ②，得，………………………………11分
整理得…………………………………12分
19. (Ⅰ)证明: ∵平面平面，，平面平面，平面，平面，……………………2分
而平面，.
在中，，…………………………3分
又、面
平面.…………………………5分
(Ⅱ) 解：取的中点，连接
又平面，平面平面,
平面平面
∴平面，∵平面,.
，即、、两两互相垂直
又， ∴……………………7分
以为坐标原点，、方向为、轴正方向建立空间直角坐标系如图所示，由题意得，………………8分
设平面的法向量为
则即
取平面一个法向量
同理可求得平面的一个法向量……………………10分
∴…………………11分
∴锐二面角的余弦值是…………………………12分
20.（Ⅰ）因为是函数的两个相邻的极值点.
且
又
…………………………………………………………………3分
令
的单调递增区间为……………………………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得在递增，在递减.
且
又方程在区间有两个不同的解.
…………………………………………………………………………..7分
时的对称轴
又且
……………………………………………………………………9分
又
….…12分
21. （Ⅰ）令得………………1分
0
递减
极小值
递增
……………………3分
且 有两个不等实根
即
------------------5分
（Ⅱ），令 则
又，，在在单调递增…………6分
又
①当，即时，，
所以在内单调递增，，
所以．………………8分
②当，即时，由在内单调递增，
且
使得
0
递减
极小值
递增
所以的最小值为，
又，所以，
因此，要使当时，恒成立，只需，即即可．
解得，此时由，可得．
以下求出的取值范围．
设，， 得，
所以在上单调递减，从而 ……11分
综上①②所述，的取值范围．………………12分
22. 解.(Ⅰ)由 得代入
得曲线方程为：…………3分
直线l的普通方程为： ----------5分
（Ⅱ）设曲线上任意取一点
则到直线距离的最小值就是的最小值
……………………8分
（其中）
当时，………………9分
最小值为……………………10分
23.(Ⅰ)由题意可知，
当时，有，………………………2分
因为满足不等式，因此，即．……4分
------------------------7分
如右图：---------------------------------6分
(Ⅱ)函数=有两根即函数和函数
有两个交点，由（Ⅰ）的图象可知，即知
……………………………10分
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