嘉兴市第一中学2017学年第一学期期中考试
高三数学 试题卷
满分[150]分 ,时间[120]分钟 2017年11月
一、选择题 : 本大题共10小题, 每小题4分, 共40分. 在每小题给出的四个选项中, 有且只有一项是符合题目要求的.
1.设全集,集合则集合=( ▲ )
A. B.
C. D.
2.若复数满足,其中为虚数单位,则=( ▲ )
A. B. C. D.
3. 下列函数中,其图象既是轴对称图形又在区间上单调递增的是( ▲ )
A. B. C. D.
4. 已知直线,其中,则“”是
“”的( ▲ )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 为了得到函数的图象,可以将函数的图象( ▲ )
A.向右平移个单位 B.向右平移个单位
C.向左平移个单位 D.向左平移个单位
6.某校的四位同学准备从三门选修课中各选一门,若要求每门选修课至少有一人选修,且不选修同一门课,则不同的选法有( ▲ )
A.36种 B.72种 C.30种 D.66种
7.若是两个相交平面,则在下列命题中,真命题的序号为( ▲ )
①若直线,则在平面内,一定不存在与直线平行的直线.
②若直线,则在平面内,一定存在无数条直线与直线垂直.
③若直线,则在平面内,不一定存在与直线垂直的直线.
④若直线,则在平面内,一定存在与直线垂直的直线.
A.①③ B.②③ C.②④ D.①④
8. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩。老师说:你们四人中有2
位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩。看
后甲对大家说:我还是不知道我的成绩。根据以上信息,则( ▲ )
A.乙可以知道四人的成绩 B.丁可以知道四人的成绩
C.乙、丁可以知道对方的成绩 D.乙、丁可以知道自己的成绩
9.正方体中,点在上运动(包括端点),则与所成角的取值范围是( ▲ )
A. B. C. D.
10.设函数,若存在唯一的整数使得,则实数的取值范围是( ▲ )
A. B.
C. D.
二、填空题:本大题有7小题, 前4小题每小题6分,后3小题每题4分 共36分. 请将答
案填写在答题卷中的横线上.
11. 若双曲线的离心率为,则实数 ;
渐近线方程为__________.
12. 已知一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积
是 ;体积是__________.
13. 二项式中,所有的二项式系数之和为 ;系数最大的项为_________.
14.已知的方程为,直线与交于两点,
当取最大值时 __________,面积最大时,__________.
15. 已知点,为坐标原点,动点满足,则点所构成的平面区域的面积是__________.
16. 设直线与双曲线的两条渐近线分别交于点
,若点满足,则该双曲线的离心率为 .
A
P
B
C
E
F
O
17. 如图,已知为圆的直径,为圆上一动点,圆所在平面,且,过点作平面,交分别于,当三棱锥体积最大时,_________.
三、 解答题:本大题共5小题,共74分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
18. (本题满分14分)
已知函数.
(1)求函数的单调递增区间;
(2)若,求的值.
19. (本题满分15分)
如图①,在矩形中,,是的中点,将三角形沿翻折到图②的位置,使得平面平面.
(1)在线段上确定点,使得平面,并证明;
(2)求与所在平面构成的锐二面角的正切值.
20.(本题满分15分)
已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)若有两个零点,求的取值范围.
21.如图,椭圆的离心率为,其左焦点到点的距离为.不过原点的直线与相交于两点,且线段被直线平分.
(1)求椭圆的方程;
(2)求的面积取最大时直线的方程.
22.(本题满分15分)
已知数列满足,,,记,分别是数列,的前项和,证明:当时,
(1);
(2);
(3).
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密
封
线
班 级
学 号
姓 名
(密 封 线 内 不 要 答 题)
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嘉兴市第一中学2017学年第一学期期中考试
高三数学 答题卷
满分[150]分 ,时间[120 ]分钟 2017年11月
一、选择题:本大题共10小题, 每小题4分, 共40分. 在每小题给出的四个选项中, 有且只有一项是符合题目要求的.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
B
D
A
A
C
C
D
D
A
二、填空题:本大题有7小题, 前4小题每小题6分,后3小题每题4分 共36分. 请将答
案填写在答题卷中的横线上.
11. 2 12.
13. 32 14. 2 1或7
15. 4 16.
17.
三、解答题:本大题共5小题,共74分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
18.(本题满分14分)
已知函数.
(1)求函数的单调递增区间;
(2)若,求的值.
解:(1)=…………4分
所以,函数的单调递增区间为:…………7分
(2), ,…………9分
又,, …………11分
……14分
19.(本题满分15分)
如图①,在矩形中,,是的中点,将三角形沿翻折到图②的位置,使得平面平面.
(1)在线段上确定点,使得平面,并证明;
(2)求与所在平面构成的锐二面角的正切值.
(Ⅰ)点是线段中点时,平面.
证明:记,的延长线交于点,因为,所以点是的中点,
所以.
而在平面内,在平面外,
所以平面.……………………7分
(Ⅱ)在矩形中,,,
因为平面平面,且交线是,
所以平面.
在平面内作,连接,
则.
所以就是与所在平面构成的锐
二面角的平面角.
因为,,
所以.……………………15分
20. (本题满分15分)
已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)若有两个零点,求a的取值范围. [Z|xx|k.Co
(1)
若时,,所以在上为减函数
若时,,则
则:在上为减函数,上为增函数
(2)即可
令,令在上为减函数
又因为:,所以,所以, 所以:a的取值范围为
21.如图,椭圆的离心率为,其左焦点到点的距离为.不过原点的直线与相交于两点,且线段被直线平分.
(1)求椭圆的方程;
(2)求的面积取最大时直线的方程.
【解析】
(Ⅰ)由题:; (1)
左焦点(﹣c,0)到点P(2,1)的距离为:. (2)
由(1) (2)可解得:.
∴所求椭圆C的方程为:.
(Ⅱ)易得直线OP的方程:y=x,设A(xA,yA),B(xB,yB),R(x0,y0).其中y0=x0.
∵A,B在椭圆上,
∴.
设直线AB的方程为l:y=﹣(m≠0),
代入椭圆:.
显然.∴﹣<m<且m≠0.
由上又有:=m,=.
∴|AB|=||==.
∵点P(2,1)到直线l的距离为:.
∴SABP=d|AB|=|4-m|,
当时,最大.
此时直线l的方程.
22.(本题满分15分)
已知数列满足,,,记,分别是数列,的前项和,证明:当时,
(1);
(2) ;
(3).
解:(1)由及知,故,
因此.
(2)由取到数得:,平方得:,从而
,累加得,即.
(3) 由(2)知,由累加得
又因为,所以,;又由,即得
当时,,
累加得
当时,成立.
因此,