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2018届高三年级考试试卷
理科数学
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题,每个小题5分,满分60分.每个小题的四个选项中,只有一项符合要求)
1.已知集合是整数集,则
2.若复数为纯虚数,其中则的值为
3.在△ABC中,若,则=
A B.
C. D.
4.已知命题则有关命题的真假及的论述正确的是
假命题,
真命题,
假命题,
真命题,
5.函数的最小正周期为
6.向量,均为非零向量,,则,的夹角为
A. B. C. D.
7. 为了得到函数的图像,可以将函数的图像( )
A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位
C. 向右平移个单位 D. 向左平移个单位
8. 函数的图象可能是
(A) (B) (C) (D)
9. 已知定义在上的函数满足:①对于任意的,都有;②函数是偶函数;③当时,,设,,,则的大小关系是 ( )
A. B. C. D.
10.已知函数,且,,则函数图象的一条对称轴的方程为( )
A. B. C. D.
11.若定义在上的函数满足则不等式的解集为
12. 已知函数,若恒成立,则实数的取值范围是
(A) (B) (C) (D)
第II卷(非选择题 共90分)
二、填空题:本小题共4个小题,每小题5分,满分20分.
13. 设为锐角,若,则的值为
14.已知向量,,且在上的投影为,则向量与夹角为_________.
15.若定义在[-1,+∞)上的函数f(x)=,则=_____
16、已知定义在R上的函数满足:,
,则方程在区间上的所有实根之和为
三、本大题共6小题,共70分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)
已知三个集合:,,
.
(1)求;
(2)已知,求实数的取值范围.
18.(本小题满分12分)
已知向量, ,设函数.
(1)求函数的单调增区间;
(2)已知的三个内角分别为若,,边,
求边.
19.(本题满分12分)
已知函数.
(1)求函数的图象在点处的切线的方程;
(2)讨论函数的单调性.
20.(本小题满分12分)
如图所示,某公路AB一侧有一块空地△OAB,其中OA=3 km,OB=3 km,∠AOB=90°.当地政府拟在中间开挖一个人工湖△OMN,其中M,N都在边AB上(M,N不与A,B重合,M在A,N之间),且∠MON=30°.
(1)若M在距离A点2 km处,求点M,N之间的距离;
(2)为节省投入资金,人工湖△OMN的面积要尽可能小.试确定M的位置,使△OMN的面积最小,并求出最小面积.
21. (本小题满分12分)
已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程;
(2)是否存在正整数,使函数在上单调递增,若存在,求出正整数
的所有值,若不存在,说明理由.
请考生在第22、23两题中任选一题做答,如果多做.则按所做的第一题记分.做答时请写清题号。
22. (本小题满分10分)选修4-4:极坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中,曲线M的参数方程为(α为参数),若以直角坐标系中的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线N的极坐标方程为(t为参数).
(1)求曲线M的普通方程和曲线N的直角坐标方程;
(2)若曲线N与曲线M有公共点,求t的取值范围.
23.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲
已知函数.
(1)当时,求不等式的解集;
(2)求证:.
理科数学参考答案
1—12 CAADB ABCDC AB
13. . 14. 15. 16.-7
17.(本小题满分12分)
解:(1), . …………………………………2分
,. ……………………………………….4分
. …………………………………………………..………..6分
(2),
……………………………………………..…….…..7分
……………………………………………..…..8分
即解得 ……………………..……..11分
所以实数的取值范围是 ………………………………………..….12分
18. (本小题满分12分)
解: .
…………………………4分
∵R,由 得
……… 6分
∴函数的单调增区间为. ………………7分
(2)∵,即,∵角为锐角,得, ……9分
又,∴,∴
∵,由正弦定理得 ……… 12分
19. (本题满分12分)
(1) ……………1分
…………………………2分
…………………………3分
切线方程: 即……………4分
(2),……………………5分
令,
①当时,,所以在上单调递增。………6分
②当时,令,,
所以在上单调递增,在上单调递减。……………9分
③当时,令,,
所以在上单调递减,在上单调递增。………………12分
20. (本题满分12分)
解:(1)在△OAB中,因为OA=3,OB=3,∠AOB=90°,所以∠OAB=60°.
在△OAM中,由余弦定理得OM2=AO2+AM2-2AO·AM·cosA=7,
所以OM=,所以cos∠AOM==,
在△OAN中,sin∠ONA=sin(∠A+∠AON)= sin(∠AOM+90°)=cos∠AOM=.
在△OMN中,由=,得MN=×=. ………6分
(2):设∠AOM=θ,0<θ<
在△OAM中,由=,得OM=.
在△OAN中,由=,得ON==.
所以S△OMN=OM·ON·sin∠MON=···
===
==,0<θ<.
当2θ+=,即θ=时,S△OMN的最小值为.
所以应设计∠AOM=,可使△OMN的面积最小,最小面积是 km2.----------12分
21.解:
(1):由已知得, ---------1分
得. --------2分
在处的切线方程为即 ---5分
(2)法一:令,依题意在上恒成立, . ------7分
① 当时, ,在上单调递增,
② 故符合题意 --------9分
③ 当时,由得. 取值变化情况如下表,
-
0
+
减
极小值
增
依题意即. -------------------------10分
令,则,在上单调递减,
由,知时,,故此时只有符合题意.
综上,所求正整数的值有1,2,3. ----------12分
法二:
由在上恒成立,得在上恒成立。---6分
令,则, ---------7分
令,得在上恒成立, ----8分
又,[
从而,使,即。 ---------10分
进而知取值变化情况如下表,
-
0
+
减
极小值
增
故符合题意的正整数K为1,2,3. -------------12分
22解 (1)由x=cosα+sinα得x2=(cosα+sinα)2=cos2α+2sinαcosα+sin2α,
所以曲线M可化为y=x2-1,,
由ρsin=t得ρsinθ+ρcosθ=t,
所以ρsinθ+ρcosθ=t,所以曲线N可化为x+y=t.
(2)若曲线M,N有公共点,则当直线N过点,时满足要求,此时t=,并且向左下方平行移动直到相切之前总有公共点,相切时仍然只有一个公共点,
联立,得x2+x-1-t=0,
由Δ=1+4(1+t)=0,解得t=-.
综上可求得t的取值范围是-≤t≤
23.解:(1)当a=2时,原不等式等价于
解得故不等式的解集是
(2) 证明:
当且仅当时等号成立。