综合学业质量标准检测
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在△ABC中，若B＝120°，则a2＋ac＋c2－b2的值( C )
A．大于0 B．小于0
C．等于0 D．不确定
[解析] 根据余弦定理，得cos120°＝＝－，
即a2＋c2－b2＝－ac.故a2＋ac＋c2－b2＝0．
2．若1＋2＋22＋…＋2n>128，n∈N*，则n的最小值为( B )
A．6 B．7
C．8 D．9
[解析] 1＋2＋22＋…＋2n＝2n＋1－1．
∵2n＋1－1>128＝27，∴n＋1>7，n>6．
又∵n∈N*，∴n的最小值为7．
3．(2018－2019学年山东寿光现代中学高二月考)不等式(x＋)·(－x)≥0的解集是( A )
A．{x|－≤x≤} B．{x|x≤－或x≥}
C．{x|－＜x＜} D．{x|x＜－或x＞}
[解析] ∵(x＋)(－x)≥0，
∴(x＋)(x－)≤0，
∴－≤x≤，故选A．
4．已知数列{an}中的首项a1＝1，且满足an＋1＝an＋，则此数列的第三项是( C )
A．1 B．
C． D．
[解析] ∵a1＝1，an＋1＝an＋，∴a2＝a1＋＝1，a3＝a2＋＝，∴选C．
5．已知A为△ABC的一个内角，且sinA＋cosA＝，则△ABC的形状是( B )
8
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．不确定
[解析] 解法一：∵sinA＋cosA＝，∴(sinA＋cosA)2＝，∴2sinA·cosA＝－.故选B．
6．(2016·北京理，5)已知x、y∈R，且x>y>0，则( C )
A．－>0 B．sinx－siny>0
C．()x－()y0
[解析] 解法一：因为x>y>0，选项A，取x＝1，y＝，则－＝1－2＝－10，所以x1，则( D )
A．(a－1)(b－1)0
8
C．(b－1)(b－a)0
[解析] 根据题意，logab>1⇔logab>logaa
⇔或．
当时，00，故选D．
9．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2＋a7＋a12＝24，则S13＝( C )
A．52 B．78
C．104 D．208
[解析] 由等差数列的性质得
a2＋a7＋a12＝3a7＝24，∴a7＝8，
∴S13＝＝＝13a7，故选C．
10．从某电视塔的正东方向的A处，测得塔顶仰角是60°；从电视塔的西偏南30°的B处，测得塔顶仰角为45°，A、B间距离是35 m，则此电视塔的高度是( A )
A．5 m B．10 m
C． m D．35 m
[解析] 作出示意图，设塔高OC为h m，
在Rt△AOC中，OA＝＝h，OB＝h．
AB＝35，∠AOB＝150°，由余弦定理得352＝(h)2＋h2－2×h·hcos150°，
解得h＝5.故选A．
11．已知直线ax＋by－6＝0(a>0，b>0)被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为2，则ab的最大值是( B )
A．9 B．
C．4 D．
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[解析] 圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5，直线截圆所得的弦长为 2，等于直径，∴直线ax＋by－6＝0过圆心，即a＋2b－6＝0.又a>0，b>0，由基本不等式得a＋2b≥2，即ab≤，当且仅当a＝3，b＝时等号成立，
∴ab的最大值为.故选B．
12．定义为n个正数p1，p2，…，pn的“均倒数”，若已知数列{an}的前n项的“均倒数”为，又bn＝，则＋＋…＋等于( C )
A． B．
C． D．
[解析] 由＝得Sn＝a1＋a2＋…＋an＝5n2，则Sn－1＝5(n－1)2(n≥2)，an＝Sn－Sn－1＝10n－5(n≥2)，当n＝1时，a1＝5也满足．故an＝10n－5，bn＝2n－1，＝＝(－)，所以原式＝(－)＝×(1－)＝.故选C．
二、填空题(本大题共4个小题，每个小题5分，共20分．将正确答案填在题中横线上)
13．等比数列{an}和等差数列{bn}中，a5＝b5,2a5－a2a8＝0，则b3＋b7＝__4__．
[解析] ∵2a5－a2a8＝2a5－a＝0，an≠0，∴a5＝2，
∴b3＋b7＝2b5＝2a5＝4．
14．如图，在△ABC中，∠B＝45°，D是BC边上一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，则AB的长为____．
[解析] 在△ACD中，cos∠ADC＝＝－，所以∠ADC＝120°，所以∠ADB＝60°.在△ABD中，由正弦定理得＝，所以AB＝．
15．(2018－2019学年度北京市顺义区杨镇一中高二月考)设a＞0，b＞0，若是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为__4__．
[解析] ∵是3a与3b的等比中项，
∴3＝3a·3b＝3a＋b，∴a＋b＝1，
8
∴＋＝(＋)(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当＝，即a＝b＝时，等号成立．
16．某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位m/s)、平均车长l(单位：m)的值有关，其公式为F＝．
(1)如果不限定车型，l＝6.05，则最大车流量为__1_900__辆/小时；
(2)如果限定车型，l＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加__100__辆/小时．
[解析] (1)l＝6.05，则F＝＝，由基本不等式v＋≥2＝22，得F≤＝1 900(辆/小时)，故答案为1 900．
(2)l＝5，F＝＝，由基本不等式v＋≥2＝20，得F≤＝2 000(辆/小时)，增加2 000－1 900＝100(辆/小时)，故答案为100．
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本题满分10分)和为114的三个数是一个公比不为1的等比数列的连续三项，也是一个等差数列的第1项，第4项，第25项，求这三个数．
[解析] 由题意，设这三个数分别是，a，aq，且q≠1，则＋a＋aq＝114①
令这个等差数列的公差为d，则a＝＋(4－1)·d．
则d＝(a－)，
又有aq＝＋24××②
由②得(q－1)(q－7)＝0，∵q≠1，∴q＝7
代入①得a＝14，则所求三数为2,14,98．
18．(本题满分12分)在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.已知tan＝2．
(1)求的值；
(2)若B＝，a＝3，求△ABC的面积．
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[解析] (1)由tan(＋A)＝2，得tanA＝，所以＝＝＝．
(2)由tanA＝，A∈(0，π)可得，sinA＝，cosA＝.由a＝3，B＝及正弦定理知：b＝3．
又sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝，
所以S△ABC＝absinC＝×3×3×＝9．
19．(本题满分12分)已知关于x的一元二次不等式kx2－2x＋6k
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