第二章 圆锥曲线与方程
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．抛物线y＝－x2的焦点坐标是( )
A．(0，－4) B．(0，－2)
C. D.
解析：选B.由题意，知抛物线标准方程为x2＝－8y，所以其焦点坐标为(0，－2)，故选B.
2．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4，0)，(4，0)，则双曲线的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：选A.依题意得c＝4，e＝＝＝2，a＝2，b2＝c2－a2＝12，因此所求的双曲线的标准方程为－＝1，故选A.
3．若点P到直线x＝－1的距离比到点(2，0)的距离小1，则点P的轨迹是( )
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D.抛物线
解析：选D.点P到直线x＝－1的距离比到点(2，0)的距离小1，即点P到直线x＝－2的距离与到点(2，0)的距离相等，根据抛物线的定义可知，点P的轨迹是抛物线．
4．双曲线－＝1(mn≠0)的离心率为2，有一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，则mn的值为( )
A. B.
C. D.
解析：选A.抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，故双曲线－＝1中，m>0，n>0且m＋n＝c2＝1①，又e＝＝ ＝2②，联立方程①②，解得m＝，n＝.故mn＝.
5．已知F1，F2为椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点，过F2作椭圆的弦AB，若△AF1B
9
的周长为16，椭圆的离心率e＝，则椭圆的方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：选D.由椭圆的定义知|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝4a＝16，所以a＝4.又e＝＝，所以c＝2，所以b2＝42－(2)2＝4，所以椭圆的方程为＋＝1.
6．直线l过点(，0)且与双曲线x2－y2＝2仅有一个公共点，则这样的直线有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D.4条
解析：选C.点(，0)为双曲线的右顶点，过该点有两条与双曲线的渐近线平行的直线，这两条直线与双曲线仅有一个公共点，另外，过该点且与x轴垂直的直线也与双曲线只有一个公共点．所以共有3条．
7．已知双曲线与椭圆＋＝1有共同的焦点，且双曲线的一条渐近线方程为x＋y＝0，则双曲线的方程为( )
A．x2－y2＝50 B．x2－y2＝24
C．x2－y2＝－50 D.x2－y2＝－24
解析：选D.因为双曲线与椭圆＋＝1有共同的焦点，所以双曲线的焦点在y轴上，且焦点坐标为(0，－4)，(0，4)．又双曲线的一条渐近线方程为x＋y＝0，所以可设双曲线方程为y2－x2＝λ(λ>0)，则2λ＝48，λ＝24，故所求双曲线的方程为y2－x2＝24，即x2－y2＝－24.
8．已知F是抛物线y＝x2的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF中点的轨迹方程是( )
A．x2＝2y－1 B．x2＝2y－
C．x2＝y－ D.x2＝2y－2
解析：选A.焦点为F(0，1)，设P(p，q)，则p2＝4q.设Q(x，y)是线段PF的中点，则x＝，y＝，即p＝2x，q＝2y－1，代入p2＝4q得，(2x)2＝4(2y－1)，即x2＝2y－1.
9．抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0距离最小值是( )
A. B.
9
C. D.3
解析：选A.设抛物线y＝－x2上一点为(m，－m2)，该点到直线4x＋3y－8＝0的距离为，当m＝时，取得最小值为.
10．AB为过椭圆＋＝1(a>b>0)中心的弦，F(c，0)为椭圆的右焦点，则△AFB面积的最大值为( )
A．b2 B．ab
C．ac D.bc
解析：选D.由椭圆的对称性知，A、B两点关于原点O对称，因此S△AFB＝2S△OFB＝c·|yB|，故当|yB|＝b时，△AFB面积最大，最大面积为bc.故选D.
11．已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x相交于A、B两点，F为C的焦点．若|FA|＝2|FB|，则k等于( )
A. B.
C. D.
解析：选D.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知x1>0，x2>0，y1>0，y2>0.由
得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，
所以x1x2＝4，①
根据抛物线的定义得，
|FA|＝x1＋＝x1＋2，|FB|＝x2＋2.
因为|FA|＝2|FB|，所以x1＝2x2＋2，②
由①②得x2＝1(x2＝－2舍去)，
所以B(1，2)，代入y＝k(x＋2)得k＝.
12．已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)与双曲线C2：x2－＝1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点．若C1恰好将线段AB三等分，则( )
A．a2＝ B．a2＝13
C．b2＝ D.b2＝2
解析：选C.由题意，知a2＝b2＋5，因此椭圆方程为(a2－5)x2＋a2y2＋5a2－a4＝0，双曲线的一条渐近线方程为y＝2x，联立方程消去y，得(5a2－5)x2＋5a2－a4
9
＝0，所以直线截椭圆的弦长d＝×2＝a，解得a2＝，b2＝.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分．
13．已知抛物线y2＝ax过点A，那么点A到此抛物线的焦点的距离为________．
解析：由题意知点A在抛物线y2＝ax上，得1＝a，所以a＝4，故y2＝4x.由抛物线的定义可知点A到焦点的距离等于点A到准线的距离，所以点A到此抛物线的焦点的距离为＋1＝.
答案：
14．若椭圆＋＝1过抛物线y2＝8x的焦点，且与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，则该椭圆的方程为________．
解析：抛物线y2＝8x的焦点坐标为(2，0)，
双曲线x2－y2＝1的焦点坐标为(±，0)，
由题意得
所以a2＝4，b2＝2，
所以椭圆的方程为＋＝1.
答案：＋＝1
15．过点E的直线与抛物线y2＝2px(p>0)交于A、B两点，F是抛物线的焦点，若A为线段EB的中点，且|AF|＝3，则p＝________．
解析：设A、B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，由焦半径公式，|AF|＝x1＋，又|AF|＝3，所以x1＝3－.由中点坐标公式，得所以x2＝6－，y2＝2y1，所以y＝4y，2p＝4y＝4×2px1＝4×2p，结合p>0可得p＝4.
答案：4
9
16．已知点M(－3，0)，N(3，0)，B(1，0)，动圆C与直线MN相切于点B，过M，N与圆C相切的两直线相交于点P，则点P的轨迹方程为________．
解析：设圆C与直线PM，PN分别相切于E，F，则|PE|＝|PF|，|ME|＝|MB|，|NB|＝|NF|，所以|PM|－|PN|＝|PE|＋|ME|－(|PF|＋|NF|)＝|MB|－|NB|＝4－2＝2，所以点P的轨迹是以M(－3，0)，N(3，0)为焦点的双曲线的右支，且a＝1，c＝3，所以b2＝8.故双曲线的方程是x2－＝1(x>1)．
答案：x2－＝1(x>1)
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，点F是它的一个顶点，且其离心率e＝.求椭圆E的方程．
解：因为椭圆焦点在x轴上，所以设椭圆E的方程为＋＝1，半焦距为c(a>0，b>0，c>0)．
由题意知F(0，1)为椭圆的短轴的上顶点，
所以b＝1，又由＝，a2＝b2＋c2，
得a＝2，c＝.所以椭圆E的方程为＋y2＝1.
18．(本小题满分12分)已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点，并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直，抛物线与双曲线的一个交点为P，求抛物线的方程和双曲线的方程．
解：依题意，设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，
因为点P在抛物线上，
所以6＝2p×，
所以p＝2，所以所求抛物线的方程为y2＝4x.
因为双曲线的左焦点在抛物线的准线x＝－1上，
所以c＝1，即a2＋b2＝1，
又点P在双曲线上，
所以－＝1，
9
由得
或(舍去)
所以所求双曲线的方程为4x2－y2＝1.
19．(本小题满分12分)已知点P(3，4)是椭圆＋＝1(a>b>0)上的一点，F1、F2为椭圆的两焦点，若PF1⊥PF2，试求：
(1)椭圆的方程；
(2)△PF1F2的面积．
解：(1)令F1(－c，0)，F2(c，0)，
则b2＝a2－c2.因为PF1⊥PF2，
所以kPF1·kPF2＝－1，
即·＝－1，
解得c＝5，所以设椭圆方程为＋＝1.
因为点P(3，4)在椭圆上，
所以＋＝1.
解得a2＝45或a2＝5.
又因为a>c，
所以a2＝5舍去．
故所求椭圆的方程为＋＝1.
(2)由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝6， ①
又|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝100，②
①2－②，得2|PF1|·|PF2|＝80，
所以S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝20.
20．(本小题满分12分)(2017·高考北京卷)已知抛物线C：y2＝2px过点P(1，1)．过点(0，)作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A，B，其中O为原点．
(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
9
(2)求证：A为线段BM的中点．
解：(1)由抛物线C：y2＝2px过点P(1，1)，得p＝.
所以抛物线C的方程为y2＝x.
抛物线C的焦点坐标为，准线方程为x＝－.
(2)证明：由题意，设直线l的方程为y＝kx＋(k≠0)，l与抛物线C的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)．
由得4k2x2＋(4k－4)x＋1＝0.
则x1＋x2＝，x1x2＝.
因为点P的坐标为(1，1)，所以直线OP的方程为y＝x，点A的坐标为(x1，x1)．
直线ON的方程为y＝x，点B的坐标为.
因为
y1＋－2x1＝
＝
＝
＝＝0，
所以y1＋＝2x1.
故A为线段BM的中点．
21．(本小题满分12分)已知点A(0，－2)，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．
(1)求E的方程；
(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．
9
解：(1)设F(c，0)，由条件知，＝，得c＝.
又＝，所以a＝2，b2＝a2－c2＝1.
故E的方程为＋y2＝1.
(2)当l⊥x轴时不合题意，
故设l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
将y＝kx－2代入＋y2＝1得
(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.
当Δ＝16(4k2－3)>0，即k2>时，
x1，2＝.
从而|PQ|＝|x1－x2|
＝.
又点O到直线PQ的距离d＝，
所以△OPQ的面积S△OPQ＝d|PQ|＝.
设＝t，则t>0，S△OPQ＝＝.
因为t＋≥4，当且仅当t＝2，
即k＝±时等号成立，且满足Δ>0，
所以，当△OPQ的面积最大时l的方程为y＝x－2或y＝－x－2.
22．(本小题满分12分)已知A(－3p，0)(p>0)，B，C两点分别在y轴和x轴上运动，并且满足·＝0，＝.
(1)求动点Q的轨迹方程；
(2)设过点A的直线与Q点的轨迹交于E，F两点，A′(3p，0)，求直线A′E，A′F的斜率之和．
解：(1)设Q(x，y)，B(0，y0)，C(x0，0)，
则＝(x0，－y0)，＝(x－x0，y)，
9
因为＝，
所以(x0，－y0)＝(x－x0，y)，
所以x0＝，y0＝－，
所以B，C，
所以＝.
又A(－3p，0)，
所以＝，
由·＝0，得3px－y2＝0，
即y2＝4px.
所以Q点的轨迹方程为y2＝4px(p>0)．
(2)显然点A在(1)中求出的抛物线外部，
若过点A的直线斜率不存在，则直线与抛物线无交点．
设过点A的直线方程为y＝k(x＋3p)(k≠0)，
E(x1，y1)，F(x2，y2)．
由消去x，得y2－y＋3kp＝0.
所以y1y2＝12p2，
所以kA′E＋kA′F＝＋
＝，
又y＝4px1，y＝4px2，
所以kA′E＋kA′F＝.
由y1y2＝12p2，得kA′E＋kA′F＝0.
9
微信/支付宝扫码支付