2017--2018年度上学期辽师附中高三年级期中考试
数学试卷(理)
命题人:高三理科备课组 复查人:高三理科备课组
时间:120分钟 满分:150分
第Ⅰ卷(共 60 分)
一、选择题(单选题,每小题6分,共60分)
1、已知集合,集合,则 ( )
A. B. C. D.
2.定义运算=ad﹣bc,则符合条件=0的复数对应的点在
A.第一象限 B.第二象限 C.C第三象限 D.第四象限 ( )
3.已知,则 ( )
A. B. C. D.
4. 设l,m,n是空间三条互相不重合的直线,α,β是空间两个不重合的平面,则下列结论中
①当m Ì a,且n Ë a时,“n∥m”是“n∥α”的充要条件
②当m Ì a时,“m⊥β”是“α^β”的充要条件
③当n⊥α时,“n⊥β”是“α∥β”成立的充要条件
④当m Ì a且n是l在α内的射影时,“m⊥n”是“l⊥m”的充要条件
正确的个数有 ( )
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
5.若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是 ( )
A. B. C.5 D.6
6.为外心, 则的值为 ( )
A. B. C. D.
7.某几何体的三视图如图所示,则该几何体中,面积最大的侧面的面积为
A. B. C. D.3 ( )
8.函数f(x)=x3﹣ax2+2x在实数集R上单调递增的一个充分不必要条件是 ( )
A.a∈[0,6] B. C.a∈[﹣6,6] D.a∈[1,2]
9.函数的图像与函数()的图像所有交点的横坐标之和等于 ( )
A.2 B.4 C.6 D.8
10.已知PC为球O的直径,A,B是球面上两点,且,,若球O的体积为,则棱锥的体积为( )
A. B. C. D.
1
2
13
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
0
11.如图,将平面直角坐标系的格点(横、纵坐标均为
整数的点)按如下规则表上数字标签:原点处标0,
点(1,0)处标1,点(1,-1)处标2,点(0,-1)
处标3,点(-1,-1)处标4,点(-1,0)标5,点
(-1,1)处标6,点(0,1)处标7,以此类推,
则标签的格点的坐标为 ( )
A.(1005,1004) B.(1004.1003)
C.(2009,2008) D.(2008,2007)
12.设函数,若曲线上存在点使得成立则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷(共 90 分)
二、填空题(每小题4分,共16分)
13.变量满足约束条件,则目标函数的取值范围是______.
14.定积分等于____________.
15.若实数 满足
则的最小值为____.
16.若数列满足且数列满足,则数列的最大项为第___项
三、解答题(本大题共6小题,满分74分.解答须写出文字说明,证明过程和演算步骤.)
17(10分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知.
(Ⅰ)求角A的大小; (Ⅱ)若b+c=2,求a的取值范围.
18(12分)已知数列{an}满足Sn=,等比数列{bn}满足b2=4,b4=16.
(1)求数列{an}、数列{bn}的通项公式;(2)求数列{an•bn}的前n项和Tn;
(3)在(2)的条件下,当n≥2时,+2n﹣5≥k恒成立,求k的取值范围.
19(12分)已知函数的部分图象如图所示:
(1)求f(x)的单调区间和对称中心坐标;
(2)将f(x)的图象向左平移个单位,在将横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,最后将图象向上平移1个单位,得到函数g(x)的图象,求函数y=g(x)在上的最大值和最小值.
20.已知函数
(I)求的值;
(II)数列{an}满足数列{an}是等差数列吗?请给予证明;
(III),试比较Tn与Sn的大小.
21(12分)如图,直三棱柱中,,,Q是AC上的点,平面.
(Ⅰ)确定点Q在AC上的位置;
(Ⅱ)若与平面所成角的正弦值为,求二面角的余弦值.
22(12分)已知函数,(且)为定义域
上的增函数,是函数的导数,且的最小值小于等于.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)设函数,且,求证:.
2017--2018年度上学期辽师附中高三年级期中考试
数学试卷答案
1.A 2. B 3.C 4. B 5.C 6.A 7.B 8.D 9.B 10.C 11.A 12.D
13. 14. 15.8 16. 6
17..【解答】解:(Ⅰ)由已知得,
化简得,整理得,即,由于0<B+C<π,则,所以.
(Ⅱ)根据余弦定理,得=b2+c2+bc=b2+(2﹣b)2+b(2﹣b)
=b2﹣2b+4=(b﹣1)2+3. 又由b+c=2,知0<b<2,可得3≤a2<4,
所以a的取值范围是.
18. (1)数列{an}满足Sn=,∴n=1时,a1=S1=1;n≥2时,
an=Sn﹣Sn﹣1=﹣=n.n=1时也满足,∴an=n.
设等比数列{bn}的公比为q>0,∵b2=4,b4=16.∴b1q=4, =16,解得b1=q=2,∴bn=2n.
(2)an•bn=n•2n. 数列{an•bn}的前n项和Tn=2+2×22+3×23+…+n•2n,
2Tn=22+2×23+…+(n﹣1)•2n+n•2n+1,
∴﹣Tn=2+22+…+2n﹣n•2n+1=﹣n•2n+1, ∴Tn=(n﹣1)•2n+1+2.
(3)在(2)的条件下,当n≥2时+2n﹣5≥k恒成立,等价于:k≤+2n﹣5(n≥2)恒成立. ∵n≥2时, +2n﹣5≥2=,当且仅当n=2时取等号.
∴k≤,∴k的取值范围是.
19.解:(1)由图象可知,又由于,所以,由图象及五点法作图可知:,所以,所以.
(2)由(1)知,,
令,得,
所以f(x)的单调递增区间为,
令,得,
所以f(x)的对称中心的坐标为.
(3)由已知的图象变换过程可得:,
因为,所以,所以当,得时,g(x)取得最小值,
当时,即x=0 g(x)取得最小值.
20. 解析:(1)f(x)对任意
令
(2)数列{an}是等差数列 f(x)对任意x∈R都有
则令
∴{an}是等差数列.
(3)由(2)有
∴Tn≤Sn… 该题也可用数学归纳法做.
21. 因为直线AB1∥平面BC1Q,AB1Ì平面AB1C,平面BC1Q∩平面AB1C=PQ,
A
B
C
Q
A1
B1
C1
P
x
y
z
所以AB1∥PQ.因为P为B1C的中点,且AB1∥PQ,
所以,Q为AC的中点. …4分
(Ⅱ)如图建立空间直角坐标系.
设AB=BC=a,BB1=b,则
面BC1C的法向量为m=(1,0,0).
B(0,0,0),C1(0,a,b),Q(a,a,0),
=(0,a,b),=(-a,a,b).
因QC1与面BC1C所成角的正弦值为,
故==,解得b=a. …8分
设平面C1BQ的法向量n=(x,y,z),则
即取n=(1,-,2). …10分
所以有cosám,nñ==.
故二面角Q-BC1-C的余弦值为. …12分
22. (Ⅰ),……………………………………………………1分
由为增函数可得,恒成立,
则由,设,则,
若由和可知,
在上减,在上增,在处取得极小值即最小值,
所以,所以,,
当时,易知, 当时,则,这与矛盾,
从而不能使得恒成立,所以………………………………………3分
由可得,,即,
由之前讨论可知,,
当时,恒成立, 当时,,
综上...................................................................................................................6分
(II),
因为,
所以,
所以
所以,……………………………………..9分
令,,,
在上增,在上减,
,所以,
整理得,
解得或(舍),
所以得证………………………………………………………….. 12分