高三理科数学试题 2019.03
注意事项：
1、答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填涂自己的准考证号、姓名。
2、回答选择题时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
1.已知集合 ， ，则
A. B. C. D.
2.若复数 ，其中 是虚数单位，则复数 Z 的模为：
A. B. C. D.
3.若 ，则
A. B. C. D.
4.设 , 分别是双曲线 的左、右焦点．若点 在双曲线上，且 ，
则
A. B. C. D.
5.若实数 ， 满足 ，则 的最大值是：
A. B. C. D.
6.如图所示的茎叶图（图一）为高三某班 50
名学生的化学考试成绩，图（二）的算法
框图中输入的 为茎叶图中的学生成绩，
则输出的 ， 分别是
A.
B.
C.
D.
7.若将函数 的图象向右平移
个单位长度，则平移后所得图象对应函数的单调增区间是
A.B.
C. D.
8.已知函数 则不等式 的解集为
A. B.
C. D.
9.从某企业生产的某种产品中抽取若干件，经测量得这些产品的一项质量指标值 服从正态
(200,150) 用户从该企业购买了 100 件这种产品，记 表示这 100 件产品中质量指标值
位于区间（187.8，212.2）的产品件数，则 等于
附: 若 ～ ,
A．34.13 B．31.74 C．68.26 D．95.44
10.已知抛物线 的焦点为 ， 抛物线上一点， ，当 周长最小时，
所在的直线斜率为
A. B. C. D.
11.由国家公安部提出，国家质量监督检验检疫总局发布的《车辆驾驶人员血液、呼出酒精含
量与值与检验标准（GB/T19522-2010）》于 2011 年 7 月 1 日正式实施。车辆驾驶人员在饮酒
后或者醉酒后驾驶。醉酒后驾车，血液中的酒精含量阈值见表一。经过反复试验，一般情况
下。某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的 “散点图”见图一，且图 1 表示的函
数模型 则该人喝一瓶啤酒后，至少经过多长时间才可以驾车
（时间一整小时计算）（参考数据 ）
A. B. C. D.
12.已知函数 若方程 有 2 个不同的实根，则实数 的
取值范围
是
A. B.
C. D.二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13.设向量 若 则实数 .
14.二项式 的展开式中， 的系数为： .（用数字填写答案）
15.已知圆台的上、下底面都是球 的截面，若圆台的高为 6，上下底面的半径分别为 2 和 4，
则球 的表面积为： .
16.锐角 的内角 的对边分别为 若 则 的取值
范围是 .
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第 22～23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60 分。
17.（12 分）
已知数列 的前 项和为 ，且 2， ， 成等差数列.
（1）求数列 的 的通项公式；
（2）数列 的满足 ，求数列
的前 项和 .
18.（12 分）
如图正方形 所在平面与等腰梯形 所在的平面
互相垂直,已知 // , , .
（1）求证:平面 平面 ；
（2）求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值.
19.（12 分）
已知椭圆 的左右焦点分别为
椭圆 的长轴长与焦距之比为 过 的直线 与 交于 两点.
（1）当 的斜率为 1 时，求 的面积；
（2）当线段 的垂直平分线在 轴上的截距最小时，求直线 的方程.
20.（12 分）
某钢铁加工工厂新生产一批钢管，为了了解这批产品的质量状况，检验员随机抽取了 100
件钢管作为样本进行检测，将它们的内径尺寸作为质量指标值，由检测结果得如下频率分布
表和频率分布直方图：
（1）求 ；
（2）根据质量标准规定，钢管内径尺寸大于等于 25.75 或小于 25.15 为不合格,钢管内径尺寸在 或 为合格,钢管内径尺寸在 为优等.钢管的
检测费为 2 元/根，把样本的频率分布作为这批钢管的概率分布.
（ⅰ）若从这批钢管中随机抽取 3 根，求内径尺寸为优等钢管根数 的分布列和数学期望；
（ⅱ）已知这批钢管共有 根，有两种销售方案：
第一种方案：不再对该批剩余钢管进行检测，扣除 100 根样品中不合格的钢管后，其余
所有钢管均以 50 元/根售出；
第二种方案：对该批剩余钢管进行一一检测，不合格钢管不销售，并且每根不合格钢管
损失 20 元，合格等级的钢管 50 元/根，优等钢管 60 元/根.
请你为该企业选择最好的销售方案并说明理由.
21．（12 分）
已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）若 在区间 内有唯一的零点 ，证明： .
（二）选考题：共 10 分。请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一
题计分。
22.【选修 4-4：坐标系与参数方程】（10 分）
已知在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 以 轴的
非负半轴为极轴，以原点 为极点建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，若直线
，分别与曲线 相交于 两点，（ 两点异于坐标原点）.
（1）求曲线 的普通方程与 两点的极坐标；
（2）求直线 的极坐标方程及 的面积.
23.【选修 4-5：不等式选讲】（10 分）
设函数 .
（1）证明： ；
（2）若不等式 的解集为 ，求实数 的值.高三理科数学答案 2019、03
一、选择题： DCCBB , BADCA , BD .
12.当直线 y＝x＋a 与曲线 y＝lnx 相切时，设切点为(t，lnt)则切线斜率 k＝(lnx)′|x＝t＝
1
t＝1，
所以 t＝1，切点坐标为(1，0)，代入 y＝x＋a，得 a＝－1.
又当 x≤0 时，f(x)＝x＋a⇔(x＋1)(x＋a)＝0，
所以①当 a＝－1 时，lnx＝x＋a(x>0)有 1 个实根，
此时(x＋1)(x＋a)＝0(x≤0)有 1 个实根，满足题意；
②当 a0)有 2 个实根，
此时(x＋1)(x＋a)＝0(x≤0)有 1 个实根，不满足题意；
③当 a>－1 时，lnx＝x＋a(x>0)无实根，此时要使(x＋1)(x＋a)＝0(x≤0)有 2 个实根，应有－a
≤0 且－a≠－1，即 a≥0 且 a≠1，
综上得实数 a 的取值范围是{a|a＝－1 或 0≤a1}.
二、填空题：13. -13 ，14. 10 ，15. ， 16.
16. ∵ ,∴ ,∴
∴ ，∵ ，
∴ ，∵三角形 ABC 为锐角三角形，∴
∴ ，∴ ，∴ ∴ ，∴ ， ∴
，
∴ 。
三、解答题：第 17~21 题每题 12 分，第 22,23 题 10 分。21（12 分）解：（1） ，
①当 0＜a≤2 时，f'（x）≥0，y=f（x）在（0，+∞）上单调递增，
②当 a ＞ 2 时 ， 设 2ax2 ﹣ 2ax+1=0 的 两 个 根 为 ， 且
，y=f（x）在（0，x1），（x2，+∞）单调递増，在
（x1，x2）单调递减．
（2）证明：依题可知 f（1）=0，若 f（x）在区间（0，1）内有唯一的零点 x0，
由 （ 1 ） 可 知 a ＞ 2 ， 且 ． 于 是 ： ①
②
由①②得 ，设 ，则 ，因
此 g（x）在 上单调递减，又 ， 根据
零点存在定理，故 ．
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