安徽师范大学附属中学 期中考查
高二数学试卷（文）
命题教师：曹多保 审题教师：张家武
时间120分钟，满分100分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题为真的是( )
A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥α B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α
C．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m
2．设P是异面直线a，b外的一点，则过点P与a，b都平行的平面( )
A．有且只有一个 B．恰有两个 C．不存在或只有一个 D．有无数个
3．两个圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切线有且仅有 ( )
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
4．圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A、B两点，则AB的垂直平分线方程为( )
A．x＋y＋3＝0 B．2x－y－5＝0 C．3x－y－9＝0 D．4x－3y＋7＝0
5．如图所示的是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为
DE，BE，EF，EC的中点，在原正四面体中，给出下列结论：
① GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN所成角为60°；④DE与MN垂直．其中正确的结论有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．一个四面体的所有棱长为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为( )
A．3π B．4π C．3π D．6π
7．一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积和半球的体积相等，则这个圆锥的母线与轴所成角正弦值为( )
A． B． C． D．
8．与直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是( )
A．3x－2y＋2＝0 B．2x＋3y＋7＝0
C．3x－2y－12＝0 D．2x＋3y＋8＝0
9．在三棱锥中，已知⊥底面，⊥，，分别是线段，
上的动点，则下列说法错误的是（ ）
A．当⊥时，一定为直角三角形
B．当⊥时，一定为直角三角形
C．当∥平面时，一定为直角三角形
D．当⊥平面时，一定为直角三角形
10．如果直线l将圆x2＋y2－4x＋2y＝0平分，且不通过第三象限，则l的斜率的取值范围是( )
A. B. C. D.
11．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为( )
A． B．
C． D．
12．已知点，，，直线将分割为面积相等
的两部分，则的取值范围是 ( )
A． B． C． D．
二、填空题(本大题共4个小题，每小题3分，共12分，把正确答案填在题中横线上)
13．已知平面区域恰好被圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2及其内部所覆盖，若圆C
的面积最小，则圆C的方程为________．
14．已知正三棱柱ABC A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则直线AB1与侧面ACC1A1所成
角的正弦值为________．
15．在平面直角坐标系中，直线与圆交于，两点，
为坐标原点，若圆上有一个满足，则 ．
16．在三棱锥中，，，，，
则直线与所成角的余弦值是 ．
三、解答题(本大题共5个大题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本题满分9分) 已知三条直线l1：2x－y＋a＝0(a＞0)，l2：－4x＋2y＋1＝0，
l3：x＋y－1＝0，且l1与l2间的距离是.
(1)求a的值．
(2)能否找到一点P，使P同时满足下列三个条件？若能，求点P的坐标；若不能，说明理由．
①点P在第一象限；
②点P到l1的距离是点P到l2的距离的；
③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是∶．
18．(本题满分9分)如图所示，在直四棱柱ABCD A1B1C1D1中，底面是边长为的正方形，
AA1＝3，点E在棱B1B上运动．
(1)证明：AC⊥D1E；
(2)当三棱锥B1A1D1E的体积为时，求异面直线AD，D1E所成的角．
19．(本小题满分10分)已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0(t∈R)的图形是圆．
(1)求t的取值范围；
(2)求其中面积最大的圆的方程；
(3)若点P(3,4t2)恒在所给圆内，求t的取值范围．
20．(本小题满分12分)如图所示的几何体中，四边形为平行四边形，，
⊥平面，∥，，，，，且是
的中点．
（1）求证：∥平面；
（2）求多面体的体积．
21．(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，已知圆：和圆
：．
（1）若直线过点，且与圆相切，求直线的方程；
（2）若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程；
（3）直线的方程是，证明：直线上存在点，满足过的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等．
高二上学期期中考试数学文试卷答案
一、选择题(本大题共12个小题，每小题3分，共36
分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
B
C
B
C
C
A
C
D
文B理B
C
A
B
二、填空题(本大题共4个小题，每小题3分，共12分，把正确答案填在题中横线上)
13．[答案] (x－2)2＋(y－1)2＝5
[解析] 由题易知，此平面区域表示的是以O(0，0)，P(4，0)，Q(0，2)所构成的三角形及其内部，能覆盖它且面积最小的圆是其外接圆，又△OPQ为直角三角形，故外接圆的圆心为斜边PQ的中点(2，1)，半径为＝，所以圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.
14．[答案]
15．[答案]
16．（文）[答案]
（理）[答案]
三、解答题(本大题共6个大题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．解：(1)将直线l2的方程化为2x－y－＝0，所以两条平行线l1与l2间的距离
d＝＝，
所以＝，即＝，
由a＞0，解得a＝3.
(2)假设存在点P，设点P(x0，y0)．若P点满足条件②，则P点在与l1，l2平行的直线l′：2x－y＋c＝0上，且＝，解得c＝或，
所以2x0－y0＋＝0或2x0－y0＋＝0.
若P点满足条件③，由点到直线的距离公式，
有＝，
即|2x0－y0＋3|＝|x0＋y0－1|，
所以x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0.
由于点P在第一象限，所以排除3x0＋2＝0.
联立方程2x0－y0＋＝0和x0－2y0＋4＝0，
解得(舍去)；
联立方程2x0－y0＋＝0和x0－2y0＋4＝0，
解得所以存在点P（，）同时满足三个条件．
18．[解析](1)证明：连接BD，
因为ABCD为正方形，所以AC⊥BD，
因为B1B⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，
所以B1B⊥AC.
又因为B1B∩BD＝B，
所以AC⊥平面B1BDD1.
因为D1E⊂平面B1BDD1，
所以AC⊥D1E.
(2)因为V三棱锥B1A1D1E＝V三棱锥EA1B1D1，EB1⊥平面A1B1C1D1.
所以V三棱锥EA1B1D1＝S△A1B1D1·EB1.
又因为S△A1B1D1＝A1B1·A1D1＝1，
所以V三棱锥EA1B1D1＝EB1＝，
所以EB1＝2.
因为AD∥A1D1，所以∠A1D1B1为异面直线AD，D1E所成的角．
在Rt△EB1D1中，可求得ED1＝2.
因为D1A1⊥平面A1ABB1，所以D1A1⊥A1E.
在Rt△EA1D1中，cos∠A1D1E＝＝，所以∠A1D1E＝60°，所以异面直线AD，D1E所成的角为60°.
19．[解析] (1)方程即(x－t－3)2＋(y＋1－4t2)2
＝－7t2＋6t＋1，
∴r2＝－7t2＋6t＋1>0.∴－
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