安徽师范大学附属中学 期中考查
高二数学试卷（理）
命题教师：曹多保 审题教师：张家武
时间120分钟，满分100分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．一组数据的方差为s2，将这组数据中的每一个数都乘以2所得到的一组新数据的方差为( )
A． B． C． D．
2．在100个零件中，有一级品20个、二级品30个、三级品50个，从中抽取20个作为样本．
①将零件编号为00,01，…，99，抽签取出20个；
②采用系统抽样法，将所有零件分成20组，每组5个，然后每组中随机抽取1个；
③采用分层抽样法，从一级品中随机抽取4个，从二级品中随机抽取6个，从三级品中随机抽取10个．
对于上述问题，下面说法正确的是( )
A．不论采用哪一种抽样方法，这100个零件中每一个被抽到的概率都是
B．①②两种抽样方法，这100个零件中每一个被抽到的概率为，③并非如此
C．①③两种抽样方法，这100个零件中每一个被抽到的概率为，②并非如此
D．采用不同的抽样方法，这100个零件中每一个零件被抽到的概率是各不相同的
3．两个圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切线有且仅有( )
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
4．圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A、B两点，则AB的垂直平分线方程为( )
A．x＋y＋3＝0 B．2x－y－5＝0 C．3x－y－9＝0 D．4x－3y＋7＝0
5．有2个人从一座10层大楼的底层进入电梯，设他们中的每一个人自第二层开始在每一层离开是等可能的，则2个人在不同层离开的概率为( )
A． B． C． D．
6．一个四面体的所有棱长为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为( )
A．3π B．4π C．3π D．6π
7． 一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积和半球的体积相等，则这个圆锥的母
线与轴所成角正弦值为( )
A． B． C． D．
8．已知圆C：x2＋y2＝1，过点P（0，2）作圆C的切线，交x轴正半轴于点Q．若
M（m，n）为线段PQ上的动点（不含端点），则的最小值为( )
A． B． C． D．
9． 如图，已知，是的中点，沿直线将翻折
成，所成二面角的平面角为 ( )
A． B．
C． D．
10． 在平面直角坐标系中，定义d（P，Q）＝|x1－x2|＋|y1－y2|为点P（x1，y1）到点
Q（x2，y2）的“折线距离”.在这个定义下，给出下列命题：
①到原点的“折线距离”等于1的点的轨迹是一个正方形；
②到原点的“折线距离”等于1的点的轨迹是一个圆；
③到M（－1，0），N（1，0）两点的“折线距离”相等的点的轨迹方程是x＝0；
④到M（－1，0），N（1，0）两点的“折线距离”之差的绝对值为1的点的轨迹是两条平行线.
其中真命题有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )
A．10＋
B．10＋
C．6＋2＋
D．6＋＋
12．已知点，，，直线将分割为面积相等的两部分，则的取值范围是 ( )
A． B． C． D．
二、填空题(本大题共4个小题，每小题3分，共12分，把正确答案填在题中横线上)
13．已知平面区域恰好被圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2及其内部所覆盖，若圆C
的面积最小，则圆C的方程为________．
14．已知直线l过点(－1,0)，l与圆C：(x－1)2＋y2＝3相交于A、B两点，则弦长|AB|≥2的
概率为________．
15．在平面直角坐标系中，直线与圆交于，两点，
为坐标原点，若圆上有一个满足，则 ．
16．点是直角斜边上一动点，，，将直角沿着翻折，
使与构成直二面角，则翻折后的最小值是________．
三、解答题(本大题共5个大题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本题满分8分)下表数据是退水温度x(℃ )对黄硐延长性y(%)效应的试验结果，y是以
延长度计算的，且对于给定的x，y为正态变量，其方差与x无关.
x(℃ )
300
400
500
600
700
800
y(%)
40
50
55
60
67
70
(1)请画出上表数据的散点图；
(2)请根据上表提供的数据，求出y关于x的回归直线方程．
18．(本题满分9分)如图所示，在直四棱柱ABCD A1B1C1D1中，底面是边长为的正方形，AA1＝3，点E在棱B1B上运动．
(1)证明：AC⊥D1E；
(2)当三棱锥B1A1D1E的体积为时，求异面直线AD，D1E所成的角．
19．(本小题满分10分)已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0(t∈R)的图形是圆．
(1)求t的取值范围；
(2)求其中面积最大的圆的方程；
(3)若点P(3,4t2)恒在所给圆内，求t的取值范围．
20．(本小题满分12分)如图所示的几何体中，四边形为平行四边形，，
⊥平面，∥，，，，，且是
的中点．
（1）求证：∥平面；
（2）求二面角的大小；
（3）在线段上是否存在一点，使得 与所成的角为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由．
21．(本小题满分13分)在平面直角坐标系中，已知圆：和圆
：．
（1）若直线过点，且与圆相切，求直线的方程；
（2）若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程；
（3）直线的方程是，证明：直线上存在点，满足过的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等．
高二上学期期中考试数学试卷答案
一、选择题(本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
C
A
B
C
D
A
C
A
B
C
C
B
二、填空题(本大题共4个小题，每小题3分，共12分，把正确答案填在题中横线上)
13．[答案] (x－2)2＋(y－1)2＝5
[解析] 由题易知，此平面区域表示的是以O(0，0)，P(4，0)，Q(0，2)所构成的三角形及其内部，能覆盖它且面积最小的圆是其外接圆，又△OPQ为直角三角形，故外接圆的圆心为斜边PQ的中点(2，1)，半径为＝，所以圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.
14．[答案]
[解析] 设直线方程为y＝k(x＋1)，代入(x－1)2＋y2＝3中得，(k2＋1)x2＋2(k2－1)x＋k2－1＝0，∵l与⊙C相交于A、B两点，∴Δ＝4(k2－1)2－4(k2＋1)(k2－2)>0，∴k2
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