2017--2018学年度第一学期八县（市）一中期中联考
高中一年数学科试卷
命题学校：永泰一中 命题教师：鲍日辉 审核教师：叶瑞松、吴银仙
考试日期: 2017年11月16日 完卷时间：120分钟 满分：150分
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题意要求的）
（1）设全集，集合， ，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
（2）函数的定义域是（ ）
（A） （B） （C） （D）
（3）已知幂函数的图象过（4，2）点，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
（4）设函数 ，若，则的值为（ ）
（A）2 （B）1 （C） （D）
（5）下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的是（ ）
（A） （B） （C） （D）
（6）已知函数的图象恒过定点A，若点A也在函数的图象上，则=（ ）
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
（7）利用二分法求方程的近似解，可以取的一个区间是（ ）
（A） （B） （C） （D）
（8）已知，则的大小关系为（ ）
（A） （B） （C） （D）
（9）已知函数是定义在上的偶函数，且在上是减函数，若，则实数的取值范围是（ ）
（A） （B） （C） （D）
（10）若函数的反函数在定义域内单调递增，则函数的图象大致是( )
（A） （B） （C） （D）
（11）已知，则下列各式一定正确的是（ ）
（A） （B） （C） （D）
（12）已知函数，若且，则的取值范围为（ ）
（A） （B） （C） （D）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡的相应位置上）
（13）已知集合，则集合子集的个数为_______________
（14）计算：=_________________
（15）已知是定义在上的奇函数, 当时, ,则的值为________________
（16）如果存在函数（为常数），使得对函数定义域内任意都有成立，那么称为函数的一个“线性覆盖函数”．给出如下四个结论：
①函数存在“线性覆盖函数”；
②对于给定的函数，其“线性覆盖函数”可能不存在，也可能有无数个；
③为函数的一个“线性覆盖函数”；
④若为函数的一个“线性覆盖函数”，则
其中所有正确结论的序号是___________
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（17）(本题满分10分)
已知全集，集合,
(1)求；
(2)若集合，且，求实数的取值范围．
（18）（本题满分12分）
已知函数是定义在上的奇函数，且当时，；
（1）求函数在上的解析式并画出函数的图象（不要求列表描点，只要求画出草图）
（2）（ⅰ）写出函数的单调递增区间；
（ⅱ）若方程在上有两个
不同的实数根，求实数的取值范围。
（19）（本题满分12分）
已知函数.
（1）当时，判断并证明函数在上单调性。
（2）当时，若关于的方程在上有解，求实数的取值范围。
（20）（本题满分12分）
近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司“Mobike”计划在甲、乙两座城市共投资120万元，根据行业规定，每个城市至少要投资40万元，由前期市场调研可知：甲城市收益与投入（单位：万元）满足，乙城市收益与投入（单位：万元）满足，设甲城市的投入为（单位：万元），两个城市的总收益为（单位：万元）。
（1）当甲城市投资50万元时，求此时公司总收益；
（2）试问如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使总收益最大？
（21）（本题满分12分）
已知函数
（1）设，当时，求函数的定义域，判断并证明函数的奇偶性；
（2）是否存在实数，使得函数在递减，并且最小值为1，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
（22）（本题满分12分）
已知函数 的图象过点。
（1）求的值并求函数的值域；
（2）若关于的方程有实根，求实数的取值范围；
（3）若函数，，则是否存在实数，使得函数的最大值为0？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。
2017-2018学年度第一学期八县（市）一中期中联考
高中一年数学科试卷
参考答案
一、选择题:（每题 5 分，共 60 分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
C
A
D
D
B
C
A
B
D
C
D
二、填空题:（每小题 5 分，共 20分）
13． 4 14． 15． -7 16． ②③
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
（17）（本小题共10分）
解： (1) ……………………………………………2分
……………………………………………………3分
………………………………………………………5分
（2）①当时，即，所以，此时
满足题意 ………………………………………………………………7分
②当时，，即时，
所以，解得：……………………………………………9分
综上，实数a的取值范围是…………………………………………………10分
（18）（本小题共12分）
解：（1）设则
所以
又因为为奇函数，所以
所以 即 …………………………2分
所以……………………………………………………3分
图象略…………………………………………………………………………………6分
（2）由图象得函数的单调递增区间为和……………………8分
方程在上有两个不同的实数根，
所以函数与在上有两个不同的交点，……………10分
由图象得，所以
所以实数的取值范围为……………………………………………………12分
评分细则说明：1.若单调增区间写成扣1分。
（19）（本题满分12分）
解：（1）当时，函数在上单调递增，证明如下：…………………1分
设，则
……………………………………2分
……………………………3分
因为，所以，，又
所以即………………………………………5分
所以，函数在上单调递增………………………………………………6分
（2）当时， ，定义域为
所以，函数为奇函数……………………………………………………8分
因为
所以……………………………………9分
由（1）知，时，函数在上单调递增
所以在上有解，……………………………………………10分
所以函数与函数有交点
所以，即
所以实数的取值范围为…………………………………………………12分
（20）（本题满分12分）
解：（1）当时，此时甲城市投资50万元，乙城市投资70万元…………………1分
所以总收益 =43.5（万元）…………………4分
（2）由题知，甲城市投资万元，乙城市投资万元
所以…………………………7分
依题意得，解得
故…………………………………………8分
令，则
所以
当，即万元时，的最大值为44万元…………………………………11分
所以当甲城市投资72万元，乙城市投资48万元时，总收益最大，且最大收益为44万元
………………………………………………………………………………………………12分
评分细则说明：1.函数定义域没写扣1分
（21）（本题满分12分）
（1）当时，
所以
由得，，所以函数的定义域为， ………………3分
所以定义域关于原点对称
又因为
所以函数为奇函数……………………………………………………………………6分
（2）假设存在实数
令， ，所以在上单调递增，
又∵函数在递减， 由复合函数的单调性可知，………………8分
又函数在的最小值为1，
所以所以， 所以 所以无解
所以不存在实数满足题意。…………………………………………………………12分
评分细则说明：1.若没考虑定义域求得认为存在扣2分
（22）（本题满分12分）
解：（1）因为函数 的图象过点
所以，即，所以……………………………………1分
所以，因为，所以
所以……………………………………………………3分
所以函数的值域为…………………………………………………4分
（2）因为关于的方程有实根，即方程有实根
即函数与函数有交点，
令，则函数的图象与直线有交点
又…5分
任取，则，所以，所以
所以
所以在R上是减函数
（或由复合函数判断为单调递减）……………………………6分
因为，所以
所以实数的取值范围是……………………………………8分
（3）由题意知，
令，则……………………………………9分
当时，，所以
当时，，所以（舍去）……………………11分
综上，存在使得函数的最大值为0。……………………………………12分
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