绝密★考试结束前
2017年11月温州中学高三高考科目模拟考试
数学试题卷
命题:徐进光、刘旭飞 校 稿:潘克亮
本试卷分第(Ⅰ)卷(选择题)和第(Ⅱ)卷(非选择题)两部分.满分150分,考试时间120分钟
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
参考公式:
球的表面积公式:,其中R表示球的半径;
球的体积公式:,其中R表示球的半径;
棱柱体积公式:,其中为棱柱的底面面积,为棱柱的高;
棱锥体积公式:,其中为棱柱的底面面积,为棱柱的高;
台体的体积公式: 其中分别表示台体的上底、下底面积,h表示台体的高.
第Ⅰ卷(选择题 共40分)
注意事项:
1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上。
2.每小题选出答案后,用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。
一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合M={x|y=ln(2-x)},N={x|},则( )
A. B. C. D.
2.已知(为虚数单位),则“”是“为纯虚数”的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
3.下列函数中周期为且为奇函数的是 ( )
A. B.
C. D.
图1
4.如图1,四棱柱中,、分别是、的中点.下列结论中,正确的是 ( )
A. B.平面
C. D.平面
5.为△ABC部一点,且满足,,且,则的面积为( )
A. B. C. D.
6.设为实常数,是定义在上的奇函数,且当时,.若对一切成立,则的取值范围是( ).
A. B. C. D.
7.将正方形沿对角线折叠成一个四面体,当该四面体的体积最大时,直线与所成的角为( )
A. B. C. D.
8.在中,已知,且最大边的长为,则的最小边为 ( )
A.1 B. C. D.3
9.设实数a使得不等式对任意实数x恒成立,则满足条件的a所组成的集合是( )
A. B. C. D.
10.设,都是定义在实数集上的函数,定义函数:, .若,,则 ( )
A. B.
C. D.
第Ⅱ卷(非选择题 共110分)
注意事项:
1.黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上,不能答在试题卷上。
2.在答题纸上作图,可先使用2B铅笔,确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。
二、填空题:本大题7小题,11-14题每题6分,15-17每题4分,共36分,把答案填在题中的横线上.
11.若正项等比数列满足,,则公比 , .
12.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 , 表面积是 .
13.已知实数,满足条件若存在实数使得函数取到最大值的解有无数个,则 ,= .
14.一个口袋里装有大小相同的6个小球,其中红色、黄色、绿色的球各2个,现从中任意取出3个小球,其中恰有2个小球同颜色的概率是 .若取到红球得1分,取到黄球得2分,取到绿球得3分,记变量为取出的三个小球得分之和,则的期望为 .
15.在中,.若点在的角平分线上,满足,且,则的取值范围是 .
16.已知为抛物线的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,(其中O为坐标原点),则△AFO与△BFO面积之和的最小值是 .
17.已知双曲线的左右焦点分别为,抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合,在第一象限相交于点P,且,则双曲线的离心率为 .
三、解答题:本大题共5小题,共74分.解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
18.(本题满分14分)
已知函数,
(1)求函数的最小正周期与单调递增区间;
(2)若时,函数的最大值为0,求实数的值.
19.(本小题满分15分)
在四棱锥中, ,,点是线段上的一点,且,.
(1)证明:面面;
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
20.(本小题满分15分)
已知函数,
(1)当时, 若有个零点, 求的取值范围;
(2)对任意, 当时恒有, 求的最大值, 并求此时的最大值。
21.(本小题满分15分)
已知椭圆的焦点坐标为(-1,0),(1,0),过垂直于长轴的直线交椭圆于P、Q两点,且|PQ|=3,
(1) 求椭圆的方程;
(2) 过的直线l与椭圆交于不同的两点M、N,则△MN的内切圆的面积是否存在最大值?若存在求出这个最大值及此时的直线方程;若不存在,请说明理由.
22.(本小题满分15分)
已知数列的前n项和为且 .
(1)求证为等比数列,并求出数列的通项公式;
(2)设数列的前n项和为,是否存在正整数,对任意
若存在,求出的最小值,若不存在,请说明理由。
绝密★考试结束前
2017年11月温州中学高三高考科目模拟考试
数学试题参考答案
一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.
1-5 BCBBA 6-10 DBCAA
1.B
2.C
3.B【解析】B. 根据函数的周期为可知选项C,D错误,又因为选项A中为偶函数,而选项B中为奇函数,所以选B.
4. B【解析】试题分析:如图,取的中点,连接,延长交于,延长交于,∵ 、分别是、的中点,∴是的中点,是中点,从而可得是中点,是中点,所以,又平面,平面,所以平面,选B.
5.A.【解析】如图所示,作,,,∴,∴为重心,∴,∴,同理,,∴,又∵,,∴,∴,故选A.
6.D因为是定义在上的奇函数,所以当时,;当时,
,因此且对一切成立所以且,即.
7.B 【解析】法一:取的中点,分别为,则所成的角即为所求的角。当该四面体的体积最大时,即面垂直于面。设正方形边长为2,则,所以直线与所成的角为。
法二:
8.C【解析】在中,,即,所以,所以,因为,则角A所对的边最小。由可知,由正弦定理,得。
9. A【解析】令,则有,排除B、D。由对称性排除C,从而只有A正确。
一般地,对k∈R,令,则原不等式为,由此易知原不等式等价于,对任意的k∈R成立。由于,所以,从而上述不等式等价于。
10. A 试题分析:从A开始判断,,当时,
,,当时,,,当时,因此对任意的,有,A正确下面的B、C、D不再考虑了,选A
二、填空题:本大题7小题,11-14题每题6分, 15-17每题4分,共36分.
11.,
试题分析:因为,,所以,因为,所以,因为,,所以,所以,所以答案应填:,.
12.5,14+.
试题分析:由三视图可知该几何体为长方体截去两个三棱锥后剩下的部分,如图.根据三视图可知,长方体的长、宽、高分别为2,1,3,所以几何体的体积,表面积.
13.;1
14. 0.6 6
15..
试题分析:如下图,以为坐标原点,所在直线作轴建立平面直角坐标系.
则可知,直线:,可设,其中,由得,,
所以,所以.由可得:,即,所以.
16.
17.【解析】设点,,过点P做抛物线准线的垂线,垂足为A,连接。根据双曲线的定义和,可知。由抛物线的定义可知,则。在中,
,即
,由题意可知,所以,所以,化简可得,即,解得
三、解答题:本大题共5小题,共74分.
18.(1),单调递增区间为,;(2).
【解析】
试题分析:(1)化简,求出在最小正周期,解不等式,求出函数的递增区间即可;(2)根据的范围,求出的范围,得到关于的方程,解出即可.
试题解析:(1)
则函数的最小正周期, ……5分
根据,得,
所以函数的单调递增区间为,. ……7分
(2)因为,所以, ……9分
则当,时,函数取得最大值0, ……11分
即,解得: . ……14分
考点:三角函数中的恒等变换;三角函数的周期性及其求法;三角函数的最值.
19.本题主要考查空间点、线、面位置关系,线面角等基础知识.同时考查空间想象能力和运算求解能力.满分15分.
【解析】(1)由,得,
又因为,且,所以面,……5分
且面.所以,面面。……7分
(2)过点作,连结,
因为,且,
所以平面,又由平面,
所以平面平面,平面平面
,过点作,即有平面,所以为直线与平面所成角.……10分
在四棱锥中,设,则,,,∴,
从而,即直线与平面所成角的正弦值为.……15分
20.------------------------2分
(1) , , 极小值, 极大值
由题意: ----------------6分
(2)时,有, 由图示, 在上为减函数
易知必成立;--------8分
只须 得
可得------------------------10分
又 最大值为2------------------------12分
此时, 有
在内单调递增,在内单调递减,
----------------------------------------15分
21.(1) 设椭圆方程为=1(a>b>0),由焦点坐标可得c=1………1由PQ|=3,可得
=3,
解得a=2,b=,故椭圆方程为=1 …………………6分
(2) 设M,N,不妨>0,